新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题17数列解答题压轴题学生版

专题17数列（解答题压轴题）①数列求通项，求和1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试）数列对随意且，均存在正整数，满意，，．(1)求可能值；(2)若，成立，求数列的通项公式．2．（2024·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知无穷数列满意，其中，对于数列中的一项，若包含的连续项满意或者，则称为包含的长度为的“单调片段”.(1)若，写出全部包含的长度为3的“单调片段”；(2)若对随意正整数，包含的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且，求的通项公式；(3)若对随意大于1的正整数，都存在包含的长度为的“单调片段”，求证：存在正整数，使得时，都有.3．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满意：，(1)求a2，a3；(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；(3)求数列前20项中全部奇数项的和．4．（2024·北京四中高三开学考试）设满意以下两个条件的有穷数列为阶“期盼数列”：①；②.(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期盼数列”（不必说明理由）；(2)若等差数列是15阶“期盼数列”，求的通项公式；(3)记阶“期盼数列”的前项和为，证明：（i）；（ii）.5．（2024·全国·高三专题练习）设数列满意：对随意正整数n，有．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满意，当时，.(1)计算：，；(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；(3)设，求数列的前项和.7．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满意：，数列满意，且．(1)求的值及数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．8．（2024·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满意，求数列的通项公式.9．（2024·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.(1)求和的通项公式；(2)设求数列的前项和.10．（2024·上海·华师大二附中高一期末）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满意，且．(1)求的通项公式；(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(3)求证：对于随意正整数，．11．（2024·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满意，数列的前项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设，若数列的前项和，证明：．12．（2024·天津·耀华中学二模）已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.(1)求和的通项公式；(2)设，，，求；(3)设，其中.求的前2n项和.②数列中的恒成立（能成立）问题1．（2024·四川·雅安中学高二阶段练习）已知数列{an}是正项等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满意2Sn+bn＝1．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)假如cn＝anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．2．（2024·全国·高三专题练习）已知数列各项都是正数，，对随意n∈N*都有．数列满意，（n∈N*）．(1)求数列，的通项公式；(2)数列满意cn＝，数列的前n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求的取值范围．3．（2024·上海市松江二中高一期末）已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围；(3)若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出全部的有序数组；若不存在，说明理由.4．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，其中．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满意，，求数列的前项和；(3)若存在，使得成立，求实数的最小值．5．（2024·四川·树德中学高一竞赛）已知数列中，，．正项等比数列的公比，且满意，．(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；(2)假如，求的前n项和为；(3)若存在，使成立，求实数的取值范围．6．（2024·湖北·武汉市第一中学高二期中）设为等差数列的前n项和，其中，且．(1)求常数的值，并写出的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，若对随意的，，都有，求正整数的最小值．7．（2024·全国·高三专题练习（理））已知数列满意，，为的前n项和.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和满意对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围.8．（2024·全国·高三专题练习）设数列的前项和为,且满意.(1)求数列的通项公式;(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围.9．（2024·上海市试验学校高三阶段练习）设数列的前项和为，且，数列满意，其中.(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；(2)求使不等式对随意正整数都成立的最大实数的值；(3)当时，求证：.10．（2024·上海市建平中学高三阶段练习）已知实数列满意：，点（在曲线上．(1)当且时，求实数列的通项公式；(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列的前n项和，求的值；(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．11．（2024·全国·高三专题练习（理））已知单调递增的等比数列，满意，且是，的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，，对随意正整数，总有成立，试求实数的取值范围．12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满意：，，，且；等比数列满意：，，，且．(1)求数列、的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若不等式对随意都成立，求实数的取值范围．13．（2024·湖北武汉·高二阶段练习）设数列满意，数列的前项和为，且(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)设，若对随意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围.③数列与函数1．（2024·全国·模拟预料）已知函数，．(1)证明：；(2)若存在直线，其与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为，，，，证明：．2．（2024·上海·华师大二附中高二开学考试）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上全部点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．(1)求函数与的解析式；(2)是否存在，使得、、依据某种依次成等差数列？若存在，恳求出该数列公差确定值的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)求实数与正整数，使得在内恰有个零点．3．（2024·江苏·泰州中学高三开学考试）已知函数和有相同的最大值.(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.4．（2024·福建泉州·高二期末）已知函数和．(1)求在处的切线方程；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．5．（2024·四川·德阳五中高一阶段练习（理））已知函数，.(1)若，求函数在的值域；(2)若，求的值；(3)令，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.6．（2024·全国·模拟预料）设函数，．(1)若对随意，都有，求a的取值范围；(2)设，．当时，推断，，是否能构成等差数列，并说明理由．7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，探讨的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．8．（2024·山东省试验中学模拟预料）已知函数．(1)求函数的最大值；(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；(3)证明：．9．（2024·辽宁试验中学高二期中）已知数列的前n项和满意，且．(1)求数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明不等式：，其中．10．（2024·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知函数.(1)探讨函数的零点个数；(2)若数列的前项和为，证明：.11．（2024·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）已知函数，其中且．(1)探讨的单调性；(2)当时，证明：；(3)求证：对随意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）12．（2024·全国·高二单元测试）已知二次函数同时满意：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和．(1)求的表达式．(2)求数列的通项公式．(3)设，，的前项和为，若对随意，恒成立，求实数的取值范围．④数列与概率1．（2024·广东·东莞四中高三阶段练习）足球是一项大众宠爱的运动.2024卡塔尔世界杯揭幕战将在2024年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.(1)为了解宠爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：宠爱足球运动不宠爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为宠爱足球运动与性别有关?(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记起先传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．（i）求（干脆写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并推断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．2．（2024·湖北武汉·高二期末）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为，现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则接着试验，且最多试验次.记为试验结束时所进行的试验次数．(1)写出的分布列；(2)证明：．3．（2024·福建福建·高二期末）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，依据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地听从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；（参考数据：若随机变量，则，(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面对意向客户推出“玩嬉戏，送大奖”活动，客户可依据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“成功大本营”（第19格），则可获得购车实惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优实惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车起先在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“成功大本营”或“微笑大本营”时，嬉戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与嬉戏一次的顾客获得实惠券全额的期望值（精确到万元）.4．（2024·辽宁试验中学高二期中）近两年因为疫情的缘由，同学们对于居家上网课的情景越来越熟识了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很简洁走神．为了提升同学们的听课效率，授课老师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在细致听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课状况的视察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步探讨同学们上课的专注度状况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神状况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），摸索求：（Ⅰ）的通项公式；（Ⅱ）的通项公式．5．（2024·全国·高二期末）2024年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，学问让生命翱翔”主题学问竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得分的概率为，.(1)求，的值；(2)求.6．（2024·全国·高三专题练习）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，其次、三名各积2分，第四名积1分，每局竞赛相互独立.在一天内参与“双人对战”活动，每局竞赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局竞赛相互独立.已知甲参与“四人赛”活动，每局竞赛获得第一名、其次名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参与“双人对战”活动，每局竞赛获胜的概率为.(1)记甲在一天中参与“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参与一局）的总得分为，求的分布列与数学期望；(2)“挑战答题”竞赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的状况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，依据获得的阶级赐予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.7．（2024·山东·青岛高校附属中学高二期中）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特殊推出“玩嬉戏，送礼券”的活动，嬉戏规则如下：每轮嬉戏都抛掷一枚质地匀整的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮嬉戏，若累计得分为9分，则嬉戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则嬉戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮嬉戏.(1)当进行完3轮嬉戏时，总分为，求的分布列和数学期望；(2)若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记（i）证明：数列是等比数列；（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.8．（2024·江苏徐州·高二期中）为了便利出行，缓解交通压力，疼惜环境，推动生态文明建设，市政府大力推行共享交通工具出行．某企业依据市场发展状况推出共享单车和共享电动车两种产品，市场调查发觉，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受市民欢迎．一般运用共享电动车的概率为，运用共享单车的概率为，该企业为了促进市民消费，运用共享电动车一次记2分，运用共享单车一次记1分，每个市民各次运用