浙江省宁波市2024-2025学年高二数学上学期第一次质量检测试题含解析

Page202024学年第一学期质量检测高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例支配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】【分析】依据抽样比即可求解.【详解】由题意可知：方阵乙被抽取的人数为，故选：B2.已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】【分析】依据平均数和方差的性质干脆求解.【详解】因为数据平均数为，方差为，所以，，…，的平均数和方差分别为和故选：B3.将骰子先后抛掷2次，则向上的数之和不小于4的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意利用列表法和古典概型结合独立事务概率求法运算求解.【详解】解：将骰子先后抛掷2次，全部结果的总数如下表：654321123456共36种.因为向上的数之和小于4的结果有，，共3种，所以向上的数之和小于4的概率，从而向上的数的和不小于4的概率，故选：D.4.从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事务“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”，命题“①与相互独立；②与相互独立；③与相互独立中真命题”的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.0【答案】C【解析】【分析】分别求出，，，，，，利用相互独立的概率性质逐一推断即可【详解】从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事务“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”，则，，，，，，对于命题①：，与相互独立，故①是真命题；对于命题②：，与相互独立，故②是真命题；对于命题③：，与相互独立，故③是真命题；故选：C5.在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量确定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间三个向量，则对于空间的随意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】依据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；对于②，由于向量可以平移，两个向量确定共面，故②错误；对于③，随意两个向量自然是两两共面，三个向量则不愿定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是明显轴不共面，故③错误；对于④，若共线时，明显共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的随意向量则不愿定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.故选：A6.曲线在点处切线为，则等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】依据导数的定义结合导数的几何意义，即可得出答案.【详解】由题意可得而故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及导数的定义，属于基础题.7.设是定义在上的函数，其导函数为，满意，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意令，进而依据题意得在上单调递减，故，进而得答案.【详解】解：因为满意，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以.所以.故选：A8.关于函数，下列推断正确的是（）①是的极大值点，②函数有且只有1个零点，③存在正实数，使得成立，④对随意两个正实数，且，若，则.A.①④ B.②③ C.②③④ D.②④【答案】D【解析】【分析】对于①，依据极大值点的定义，求导，探讨导数与零的大小关系，可得答案；对于②，构造函数，求导探讨其单调性，依据零点存在定理，可得答案；对于③，接受变量分别，构造函数，探讨单调性与最值，可得答案；对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导探讨其单调性和最值，可得答案.【详解】对于①，由，求导得，令，解得，可得下表：微小值则为函数的微小值点，故错误；对于②，由，求导得：，则函数在上单调递减，当时，，当时，，由，故函数有且只有1个零点，故正确；对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，令，求导得，令，则，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，，，在上单调递减，无最小值，不存在正实数，使得恒成立，故错误；对于④，令，则，，令，则，在上单调递减，则，即，令，由，且函数在上单调递增，得，则，当时，明显成立，故正确.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.某士官参与军区射击竞赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A.这组数据的平均数是8B.这组数据的极差是4C.这组数据中位数是8.5D.这组数据的方差是2【答案】AB【解析】【分析】依据平均数，极差，中位数，方差的定义和计算公式分别求得，即可推断各个选项的正误.【详解】解：对于A，这组数据的平均数是，故A正确；对于B，这组数据的极差是，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是，故D错误.故选：AB.10.已知事务，，且，，则下列结论正确的是（）A.假如，那么，B.假如与互斥，那么，C.假如与相互独立，那么，D.假如与相互独立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A选项在前提下，计算出，，即可推断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可推断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，，，，即可推断.【详解】解：A选项：假如，那么，，故A选项错误；B选项：假如与互斥，那么，，故B选项正确；C选项：假如与相互独立，那么，，故C选项错误；D选项：假如与相互独立，那么，，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立前提下的和事务与积事务的概率，是基础题.11.你是否留意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某探讨小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了探讨，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（）（注：；利润可为负数）A.利润随着瓶子半径的增大而增大 B.半径为6cm时，利润最大C.半径为2cm时，利润最小 D.半径为3cm时，制造商不获利【答案】BCD【解析】【分析】先依据条件及球的体积公式求出每瓶液体材料的利润的解析式，再利用导数的性质即可逐一推断．【详解】由已知，每个瓶子的利润为，，则，所以当时，，此时函数单调递减，故A错误；又当时，，函数单调递增，又，则当时，函数取得最大值，故B正确；当时，函数取得最小值，故C正确；又，故D正确．故选：BCD．12.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先构造，再依据求导证明，再放缩即可推断A；先构造，再依据求导证明，由，再放缩即可推断B；取特别值，得到，代入即可推断C；先依据题意得到，令，从而得到，，再构造，，利用导数推断单调性求函数最小值即可推断D．【详解】由，得，又，则，解得，对于A，构造，则，所以函数在上单调递增，所以，即，所以，即，故A正确；对于B，构造，则，所以函数在上单调递增，所以，又，所以，所以，即，故B正确；对于C，当时，，则，又，则，所以，故C错误；对于D，由，则，所以，令，则，，所以，设，，则，令，，则，则函数在上单调递增，则，则，所以在上单调递增，则，所以，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要擅长对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后推断AB选项，变形，再令，变形，是推断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某中学为了解学生的数学学习状况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成果，得到了样本的频率分布直方图，依据频率分布直方图，推想这3000名学生在该次数学考试中成果不低于80分的学生人数是___________.【答案】【解析】【分析】首先计算成果不低于80的两个小矩形的面积之和，即成果不低于80的学生的频率，再乘以3000即可．【详解】解：由频率分布直方图成果不低于80的学生的频率为10×（0.020+0.008）＝0.28，所以成果不低于80分的学生数是3000×＝故答案为：14.事务A、B是相互独立事务，若，，，则实数m的值等于______.【答案】【解析】【分析】由概率的性质与相互独立事务同时发生的概率乘法公式可得.【详解】已知，则，由事务A、B相互独立事务，则、也相互独立，又，故，已知，由概率性质得，解得.故答案为：.15.若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由题，不等式变形为，用导数法探讨的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围【详解】，直线：过定点，令，故在递增，递减，，则，，∴不等式有且只有2个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，故．故答案为：16.已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设切点为，依据导数的几何意义求出切线方程，再依据切线过点的切线有两条，从而可得关于的方程有两个不同的根，由此即可得解.【详解】设切点为，直线的斜率为，又，则，所以切线方程为，将代入化简得，所以方程有两个不同的实数解，所以，且，所以或，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为普及抗疫学问，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫学问竞赛，竞赛分两轮进行，每位选手都必需参与两轮竞赛，若选手在两轮竞赛中都胜出，则视为该选手赢得竞赛.现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，，在其次轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮竞赛中是否胜出互不影响.（1）在甲、乙二人中选派一人参与竞赛，谁赢得竞赛的概率更大？（2）若甲、乙两人都参与竞赛，求至少一人赢得竞赛的概率.【答案】（1）甲；（2）．【解析】【分析】（1）利用相互独立事务概率乘法公式分别求出甲赢得竞赛的概率和乙赢得竞赛的概率，即可推断；（2）设表示“甲赢得竞赛”，表示“乙赢得竞赛”，表示“两人中至少有一个赢得竞赛”，由，即可求出．【详解】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”，“甲在其次轮竞赛中胜出”，“乙在第一轮竞赛中胜出”，“乙在其次轮竞赛中胜出”，则“甲赢得竞赛”，.“乙赢得竞赛”，.因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.（2）由（1）知，设“甲赢得竞赛”，“乙赢得竞赛”，则；.于是“两人中至少有一人赢得竞赛”.18.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为一般市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者．某市为提高市民对文明城市创建的相识，举办了“创建文明城市”学问竞赛；从全部答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成果（满分100分，成果均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成果的第75百分位数；（3）已知落在的平均成果是51，方差是7，落在的平均成果为63，方差是4，求两组成果的总平均数和总方差．【答案】（1）0.030（2）84（3）两组市民成果的总平均数是59，总方差是37【解析】【分析】（1）依据每组小矩形的面积之和为1即可求解；（2）利用频率分布直方图及百分位数公式即可求得第75百分位数；（3）将总体平均数代入总体方差公式即可求得总方差．【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1，则，解得．【小问2详解】结合（1）可得，成果落在内的频率为，成果落在内的频率为，设第75百分位数为，则，解得，故第75百分位数为84．【小问3详解】由图可知，成果在的市民人数为，成果在的市民人数为，故两组成果的总平均数为，设成果在中10人的分数分别为，，，…，；成果在中20人的分数分别为，，，…，，则由题意可得，，，即，，所以，所以两组市民成果的总平均数是59，总方差是37．19.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的值域；（3）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、帮助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.（2）求出相位范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得.（3）由（1）的信息求出角，再利用余弦定理、结合基本不等式及三角形面积公式求解.小问1详解】依题意，，所以的最小正周期；由，得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】由，得，则，即，所以函数在区间上的值域为.【小问3详解】由（1）知，，而，即有，则，解得，由余弦定理，得，于是，当且仅当时等号成立，因此，所以面积的最大值为.20.已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.（3）设，，求数列的前项和.【答案】（1）；；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）假设公差和公比，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得，由等差和等比通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果；（3）由（1）可得，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，，解得：，；；（2）由（1）得：，，，两式作差得：，.（3）由（1）得：，则.【点睛】方法点睛：当数列通项公式满意等差等比的形式时，接受错位相减法求解数列的前项和，详细步骤如下：①列出的形式；②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；④整理所得式子求得.21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是、单调递增区间是，微小值是1，没有极大值；（2）.【解析】【分析】（1）函数的定义域为，当时，，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值.（2）由得，令，则，由此利用导数性质能求出的取值范围.【详解】解：（1）易知，函数的定义域为，当时，.当变更时，和的值的变更状况如下表：1－0＋递