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文档简介
2023-2024学年甘肃省重点中学中考猜题数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.点A、C为半径是4的圆周上两点,点B为的中点,以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD,顶点D恰在该圆半径的中点上,则该菱形的边长为()A.或2 B.或2 C.2或2 D.2或22.二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B. C. D.3.如图,△ABC中,BC=4,⊙P与△ABC的边或边的延长线相切.若⊙P半径为2,△ABC的面积为5,则△ABC的周长为()A.8 B.10 C.13 D.144.根据文化和旅游部发布的《“五一”假日旅游指南》,今年“五一”期间居民出游意愿达36.6%,预计“五一”期间全固有望接待国内游客1.49亿人次,实现国内旅游收入880亿元.将880亿用科学记数法表示应为()A.8×107 B.880×108 C.8.8×109 D.8.8×10105.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,则△ADE的周长等于()A.8 B.4 C.12 D.166.将二次函数的图象先向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象对应的函数表达式是()A. B.C. D.7.下列计算结果正确的是()A. B.C. D.8.若x﹣2y+1=0,则2x÷4y×8等于()A.1 B.4 C.8 D.﹣169.化简(﹣a2)•a5所得的结果是()A.a7 B.﹣a7 C.a10 D.﹣a1010.化简÷的结果是()A. B. C. D.2(x+1)二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:小亮的作法如下:老师说:“小亮的作法正确”请回答:小亮的作图依据是______.12.如图,在四边形ABCD中,点E、F分别是边AB、AD的中点,BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=50°,则∠ADC的度数为_____.13.已知三角形两边的长分别为1、5,第三边长为整数,则第三边的长为_____.14.已知一个正六边形的边心距为,则它的半径为______.15.如图,线段AB=10,点P在线段AB上,在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF,点M、N分别是EF、CD的中点,则MN的最小值是_______.16.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知DE⊥EA,斜坡CD的长度为30m,DE的长为15m,则树AB的高度是_____m.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,直线经过点和,双曲线经过点B.(1)求直线和双曲线的函数表达式;(2)点C从点A出发,沿过点A与y轴平行的直线向下运动,速度为每秒1个单位长度,点C的运动时间为t(0<t<12),连接BC,作BD⊥BC交x轴于点D,连接CD,①当点C在双曲线上时,求t的值;②在0<t<6范围内,∠BCD的大小如果发生变化,求tan∠BCD的变化范围;如果不发生变化,求tan∠BCD的值;③当时,请直接写出t的值.18.(8分)如图矩形ABCD中AB=6,AD=4,点P为AB上一点,把矩形ABCD沿过P点的直线l折叠,使D点落在BC边上的D′处,直线l与CD边交于Q点.(1)在图(1)中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l.(保留作图痕迹,不写作法和理由)(2)若PD′⊥PD,①求线段AP的长度;②求sin∠QD′D.19.(8分)某新建小区要修一条1050米长的路,甲、乙两个工程队想承建这项工程.经了解得到以下信息(如表):工程队每天修路的长度(米)单独完成所需天数(天)每天所需费用(元)甲队30n600乙队mn﹣141160(1)甲队单独完成这项工程所需天数n=,乙队每天修路的长度m=(米);(2)甲队先修了x米之后,甲、乙两队一起修路,又用了y天完成这项工程(其中x,y为正整数).①当x=90时,求出乙队修路的天数;②求y与x之间的函数关系式(不用写出x的取值范围);③若总费用不超过22800元,求甲队至少先修了多少米.20.(8分)已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且位似比为2︰1,并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.21.(8分)如图,一盏路灯沿灯罩边缘射出的光线与地面BC交于点B、C,测得∠ABC=45°,∠ACB=30°,且BC=20米.(1)请用圆规和直尺画出路灯A到地面BC的距离AD;(不要求写出画法,但要保留作图痕迹)(2)求出路灯A离地面的高度AD.(精确到0.1米)(参考数据:≈1.414,≈1.732).22.(10分)解不等式组并写出它的所有整数解.23.(12分)为加快城乡对接,建设美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建,如图,A,B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.开通隧道前,汽车从A地到B地要走多少千米?开通隧道后,汽车从A地到B地可以少走多少千米?(结果保留根号)24.我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.5,≈1.73)
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】
过B作直径,连接AC交AO于E,如图①,根据已知条件得到BD=OB=2,如图②,BD=6,求得OD、OE、DE的长,连接OD,根据勾股定理得到结论.【详解】过B作直径,连接AC交AO于E,∵点B为的中点,∴BD⊥AC,如图①,∵点D恰在该圆直径上,D为OB的中点,∴BD=×4=2,∴OD=OB-BD=2,∵四边形ABCD是菱形,∴DE=BD=1,∴OE=1+2=3,连接OC,∵CE=,在Rt△DEC中,由勾股定理得:DC=;如图②,OD=2,BD=4+2=6,DE=BD=3,OE=3-2=1,由勾股定理得:CE=,DC=.故选C.【点睛】本题考查了圆心角,弧,弦的关系,勾股定理,菱形的性质,正确的作出图形是解题的关键.2、C【解析】试题分析:∵二次函数图象开口方向向下,∴a<0,∵对称轴为直线>0,∴b>0,∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴的图象经过第一、二、四象限,反比例函数图象在第一三象限,只有C选项图象符合.故选C.考点:1.二次函数的图象;2.一次函数的图象;3.反比例函数的图象.3、C【解析】
根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案.【详解】连接PE、PF、PG,AP,由题意可知:∠PEC=∠PFA=PGA=90°,∴S△PBC=BC•PE=×4×2=4,∴由切线长定理可知:S△PFC+S△PBG=S△PBC=4,∴S四边形AFPG=S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC=5+4+4=13,∴由切线长定理可知:S△APG=S四边形AFPG=,∴=×AG•PG,∴AG=,由切线长定理可知:CE=CF,BE=BG,∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE=AC+AB+CF+BG=AF+AG=2AG=13,故选C.【点睛】本题考查切线长定理,解题的关键是画出辅助线,熟练运用切线长定理,本题属于中等题型.4、D【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】880亿=88000000000=8.8×1010,
故选D.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.5、A【解析】
∵AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,∴DA=DB,EA=EC,则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8,故选A.6、B【解析】
抛物线平移不改变a的值,由抛物线的顶点坐标即可得出结果.【详解】解:原抛物线的顶点为(0,0),向左平移1个单位,再向下平移1个单位,那么新抛物线的顶点为(-1,-1),
可设新抛物线的解析式为:y=(x-h)1+k,
代入得:y=(x+1)1-1.
∴所得图象的解析式为:y=(x+1)1-1;
故选:B.【点睛】本题考查二次函数图象的平移规律;解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标.7、C【解析】
利用幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项及零指数幂的定义分别计算后即可确定正确的选项.【详解】A、原式,故错误;B、原式,故错误;C、利用合并同类项的知识可知该选项正确;D、,,所以原式无意义,错误,故选C.【点睛】本题考查了幂的运算性质及特殊角的三角函数值的知识,解题的关键是能够利用有关法则进行正确的运算,难度不大.8、B【解析】
先把原式化为2x÷22y×23的形式,再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可.【详解】原式=2x÷22y×23,=2x﹣2y+3,=22,=1.故选:B.【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算,根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键.9、B【解析】分析:根据同底数幂的乘法计算即可,计算时注意确定符号.详解:(-a2)·a5=-a7.故选B.点睛:本题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握同底数的幂相乘,底数不变,指数相加是解答本题的关键.10、A【解析】
原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.【详解】原式=•(x﹣1)=.故选A.【点睛】本题考查了分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、两点确定一条直线;同圆或等圆中半径相等【解析】
根据尺规作图的方法,两点之间确定一条直线的原理即可解题.【详解】解:∵两点之间确定一条直线,CD和AB都是圆的半径,∴AB=CD,依据是两点确定一条直线;同圆或等圆中半径相等.【点睛】本题考查了尺规作图:一条线段等于已知线段,属于简单题,熟悉尺规作图方法是解题关键.12、140°【解析】
如图,连接BD,∵点E、F分别是边AB、AD的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD,BD=2EF=12,∴∠ADB=∠AFE=50°,∵BC=15,CD=9,BD=12,∴BC2=225,CD2=81,BD2=144,∴CD2+BD2=BC2,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50°+90°=140°.故答案为:140°.13、2【解析】分析:根据三角形的三边关系“任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边”,求得第三边的取值范围,再进一步根据第三边是整数求解.详解:根据三角形的三边关系,得第三边>4,而<1.又第三条边长为整数,则第三边是2.点睛:此题主要是考查了三角形的三边关系,同时注意整数这一条件.14、2【解析】试题分析:设正六边形的中心是O,一边是AB,过O作OG⊥AB与G,在直角△OAG中,根据三角函数即可求得OA.解:如图所示,在Rt△AOG中,OG=,∠AOG=30°,∴OA=OG÷cos30°=÷=2;故答案为2.点睛:本题主要考查正多边形和圆的关系.解题的关键在于利用正多边形的半径、边心距构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解.15、2【解析】
设MN=y,PC=x,根据正方形的性质和勾股定理列出y1关于x的二次函数关系式,求二次函数的最值即可.【详解】作MG⊥DC于G,如图所示:设MN=y,PC=x,根据题意得:GN=2,MG=|10-1x|,在Rt△MNG中,由勾股定理得:MN1=MG1+GN1,即y1=21+(10-1x)1.∵0<x<10,∴当10-1x=0,即x=2时,y1最小值=12,∴y最小值=2.即MN的最小值为2;故答案为:2.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值.熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键.16、1【解析】
先根据CD=20米,DE=10m得出∠DCE=30°,故可得出∠DCB=90°,再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°,由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°,故∠GBF=30°,所以∠DBC=30°,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.【详解】解:作DF⊥AB于F,交BC于G.则四边形DEAF是矩形,∴DE=AF=15m,∵DF∥AE,∴∠BGF=∠BCA=60°,∵∠BGF=∠GDB+∠GBD=60°,∠GDB=30°,∴∠GDB=∠GBD=30°,∴GD=GB,在Rt△DCE中,∵CD=2DE,∴∠DCE=30°,∴∠DCB=90°,∵∠DGC=∠BGF,∠DCG=∠BFG=90°∴△DGC≌△BGF,∴BF=DC=30m,∴AB=30+15=1(m),故答案为1.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)直线的表达式为,双曲线的表达式为;(2)①;②当时,的大小不发生变化,的值为;③t的值为或.【解析】
(1)由点利用待定系数法可求出直线的表达式;再由直线的表达式求出点B的坐标,然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式;(2)①先求出点C的横坐标,再将其代入双曲线的表达式求出点C的纵坐标,从而即可得出t的值;②如图1(见解析),设直线AB交y轴于M,则,取CD的中点K,连接AK、BK.利用直角三角形的性质证明A、D、B、C四点共圆,再根据圆周角定理可得,从而得出,即可解决问题;③如图2(见解析),过点B作于M,先求出点D与点M重合的临界位置时t的值,据此分和两种情况讨论:根据三点坐标求出的长,再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM的长,最后在中,利用勾股定理即可得出答案.【详解】(1)∵直线经过点和∴将点代入得解得故直线的表达式为将点代入直线的表达式得解得∵双曲线经过点,解得故双曲线的表达式为;(2)①轴,点A的坐标为∴点C的横坐标为12将其代入双曲线的表达式得∴C的纵坐标为,即由题意得,解得故当点C在双曲线上时,t的值为;②当时,的大小不发生变化,求解过程如下:若点D与点A重合由题意知,点C坐标为由两点距离公式得:由勾股定理得,即解得因此,在范围内,点D与点A不重合,且在点A左侧如图1,设直线AB交y轴于M,取CD的中点K,连接AK、BK由(1)知,直线AB的表达式为令得,则,即点K为CD的中点,(直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)同理可得:A、D、B、C四点共圆,点K为圆心(圆周角定理);③过点B作于M由题意和②可知,点D在点A左侧,与点M重合是一个临界位置此时,四边形ACBD是矩形,则,即因此,分以下2种情况讨论:如图2,当时,过点C作于N又,即由勾股定理得即解得或(不符题设,舍去)当时,同理可得:解得或(不符题设,舍去)综上所述,t的值为或.【点睛】本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.18、(1)见解析;(2)【解析】
(1)根据题意作出图形即可;(2)由(1)知,PD=PD′,根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′,根据全等三角形的性质得到AD=PB=4,得到AP=2;根据勾股定理得到PD==2,根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】(1)连接PD,以P为圆心,PD为半径画弧交BC于D′,过P作DD′的垂线交CD于Q,则直线PQ即为所求;(2)由(1)知,PD=PD′,∵PD′⊥PD,∴∠DPD′=90°,∵∠A=90°,∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°,∴∠ADP=∠BPD′,在△ADP与△BPD′中,,∴△ADP≌△BPD′,∴AD=PB=4,AP=BD′∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4,∴AP=2;∴PD==2,BD′=2∴CD′=BC-BD′=4-2=2∵PD=PD′,PD⊥PD′,∵DD′=PD=2,∵PQ垂直平分DD′,连接QD′则DQ=D′Q∴∠QD′D=∠QDD′∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=.【点睛】本题考查了作图-轴对称变换,矩形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,正确的作出图形是解题的关键.19、(1)35,50;(2)①12;②y=﹣x+;③150米.【解析】
(1)用总长度÷每天修路的长度可得n的值,继而可得乙队单独完成时间,再用总长度÷乙单独完成所需时间可得乙队每天修路的长度m;(2)①根据:甲队先修建的长度+(甲队每天修建长度+乙队每天修建长度)×两队合作时间=总长度,列式计算可得;②由①中的相等关系可得y与x之间的函数关系式;③根据:甲队先修x米的费用+甲、乙两队每天费用×合作时间≤22800,列不等式求解可得.【详解】解:(1)甲队单独完成这项工程所需天数n=1050÷30=35(天),则乙单独完成所需天数为21天,∴乙队每天修路的长度m=1050÷21=50(米),故答案为35,50;(2)①乙队修路的天数为=12(天);②由题意,得:x+(30+50)y=1050,∴y与x之间的函数关系式为:y=﹣x+;③由题意,得:600×+(600+1160)(﹣x+)≤22800,解得:x≥150,答:若总费用不超过22800元,甲队至少先修了150米.【点睛】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.20、解:(1)如图,△A1B1C1即为所求,C1(2,-2).(2)如图,△A2BC2即为所求,C2(1,0),△A2BC2的面积:10【解析】
分析:(1)根据网格结构,找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点、、的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点的坐标;(2)延长BA到使A=AB,延长BC到,使C=BC,然后连接A2C2即可,再根据平面直角坐标系写出点的坐标,利用△B所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,列式计算即可得解.本题解析:(1)如图,△A1B1C1即为所求,C1(2,-2)(2)如图,△B为所求,(1,0),△B的面积:6×4−×2×6−×2×4−×2×4=24−6−4−4=24−14=10,21、(1)见解析;(2)是7.3米【解析】
(1)图1,先以A为圆心,大于A到BC的距离为半径画弧交BC与EF两点,然后分别以E、F为圆心画弧,交点为G,连接AG,与BC交点点D,则AD⊥BC;图2,分别以B、C为圆心,BA为半径画弧,交于点G,连接AG,与BC交点点D,则AD⊥BC;(2)在△ABD中,DB=AD;在△ACD中,CD=AD,BC=BD+CD,由此可以建立关于AD的方程,解方程求解.【详解】解:(1)如下图,图1,先以A为圆心,大于A到BC的距离为半径画弧交BC与EF两点,然后分别以E、F为圆心画弧,交点为G,连接AG,与BC交点点D,则AD⊥BC;图2,分别以B、C为圆心,BA为半径画弧,交于点G,连接AG,与BC交点点D,则AD⊥BC;(2)设AD=x,在Rt△ABD中,∠ABD=45°,∴BD=AD=x,∴CD=20﹣x.∵tan∠ACD=,即tan30°=,∴x==10(﹣1)≈7.3(米).答:路灯A离地面的高度AD约是7.3米.【点睛
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