2024年四川省乐山中考数学试卷真题（含答案）

乐山市2024年初中学业水平考试数学本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.考生作答时，不能使用任何型号的计算器.第Ⅰ卷(选择题共30分)注意事项：1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1.不等式x-2<0的解集是A.x＜2B.x＞2C.x＜-2D.x＞-22.下列文物中，俯视图是四边形的是3.2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一.将40000000000用科学记数法表示为A.4×10⁸B.4×10⁹C.4×10¹⁰D.4×10¹¹4.下列多边形中，内角和最小的是5.为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为交通方式公交车自行车步行私家车其它人数(人)3051582数学试题第1页(共8页)A.100B.200C.300D.4006.如图1，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是A.AB∥DC,AD∥BCB.AB=DC,AD=BCC.AO=CO,BO=DOD.AB∥DC,AD=BC7.已知1＜x＜2,化简x-12A.-1B.1C.2x-3D.3-2x8.若关于x的一元二次方程x²+2x+p=0两根为x₁、x₂,且1x1+A.-23B.C.-6D.69.已知二次函数y=x²-2x-1≤x≤t-1,当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则A.0<t≤2B.0<t≤4C.2≤t≤4D.t≥210.如图2,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=1,点P是BC边上一个动点,在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M.当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为A.36B.C.32D数学试题第2页(共8页)第Ⅱ卷(非选择题共120分)注意事项：1.考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效.2.作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚.3.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤.4.本部分共16个小题,共120分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11.计算:a+2a=▲.12.一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度,分别是:66,57,71,69,58(单位:千米/时).那么这5辆车的速度的中位数是▲.13.如图3,两条平行线a、b被第三条直线c所截.若∠1=60°,那么∠2=▲.14.已知a-b=3,ab=10,则a²+b²15.如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,若SABDSBCD=16.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数y=x+1图象的“近轴点”.(1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是▲(填序号)；①y=-x+3;②y=2x;③y=-x²+2x-1(2)若一次函数y=mx-3m图象上存在“近轴点”,则m的取值范围为▲.数学试题第3页(共8页)三、解答题：本大题共10个小题，共102分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分9分)计算：|-3|+18.(本小题满分9分)解方程组：x+y=4,19.(本小题满分9分)如图5,AB是∠CAD的平分线,AC=AD,求证：∠C=∠D.数学试题第4页(共8页)20.(本小题满分10分)先化简，再求值：2xx2-4-1解:2xx=2x=2x-x+2x+2=x+2x+2=1x-2当x=3时,原式=1.(1)小乐同学的解答过程中，第▲步开始出现了错误；(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程.21.(本小题满分10分)乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客.为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况(每人限选一种)，并将调查结果绘制成统计图，如图6所示.根据以上信息，回答下列问题：(1)本次抽取的游客总人数为▲人，扇形统计图中m的值为▲；(2)请补全条形统计图；(3)旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率.22.(本小题满分10分)如图7,已知点A(1,m)、B(n,1)在反比例函数y=3xx0)的图象上，过点A的一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C((1)求m、n的值和一次函数的表达式；(2)连结AB,求点C到线段AB的距离.数学试题第5页(共8页)23.(本小题满分10分)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几?词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(5尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉的很直)(1)如图8.1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；(2)如图8.2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA"，两次位置的高度差PQ=h.根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度?如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由.24.(本小题满分10分)如图9,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D,点E为CB上一点，且AC(1)求证:DC∥AE;(2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积.数学试题第6页(共8页)25.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线y=ax²-2ax+2a(a为常数且a＞0)与y轴交于点A.(1)若a=1,，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段OA(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；(3)若抛物线与直线y=x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”，求a的取值范围.数学试题第7页(共8页)26.(本小题满分13分)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图10.1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E在边BC上,且∠DAE=45°,BD=3,CE=4,求DE的长.解:如图10.2,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连结ED'.由旋转的特征得∠BAD=∠CAD',∠B=∠ACD',AD=AD',BD=CD'.∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠BAD+∠EAC=45°.∵∠BAD=∠CAD',∴∠CAD'+∠EAC=45°,即.∠EA∴∠DAE=∠D'AE.在△DAE和△D'AE中,AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE,∴①.∴DE=D'E.又∵∠EC∴在Rt△ECD'中,②.∵CD'=BD=3,CE=4,∴DE=D'E=③.【问题解决】上述问题情境中,“①”处应填:▲;“②”处应填:▲;“③”处应填:▲.刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变.【知识迁移】如图10.3,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,连结AE、AF,分别与对角线BD交于M、N两点.探究BM、MN、DN的数量关系并证明.【拓展应用】如图10.4,在矩形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且.∠EAF=∠CEF=45°.探究BE、EF、DF的数量关系:▲(直接写出结论,不必证明).【问题再探】如图10.5,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D、E在边AC上,且∠DBE=45°.设AD=x,CE=y,求y与x的函数关系式.最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.数学试题第8页(共8页)乐山市2024年初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.题号12345678910答案ADCADDBACB第Ⅱ卷(非选择题共120分)二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.3a;12.66;13.120°;14.29;15.19;16.(1)③;2-1注:16题第(1)空1分,第(2)空2分.三、解答题：本大题共10个小题，共102分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.解:原式=3+1-3…………………6分=1.…………………………9分注：第一步含有三个式子的计算，答对一个得2分.18.解:x+y=4,解法一:①+②,得3x=9,解得x=3.………………3分将x=3代入①,得y=1.………………6分∴x=3y=1………….………….….解法二:由①,得y=4-x③.将③代入②,得2x-(4-x)=5,解得x=3.……………3分将x=3代入③,得y=1.……………6分∴x=3y=1………………….……19.证明:∵AB是∠CAD的平分线,∴∠CAB=∠DAB.………………………3分∴在△ABC和△ABD中,AC=AD,∠CAB=∠DAB,AB=AB,∴△ABC≌△ABD(SAS).………………7分∴∠C=∠D.………………9分数学答案第1页(共7页)20.解:(1)第③步开始出现了错误.………………3分22xx2-4-1=2xx+2x-2-=2x-x-2x+2x-2……=x-2x+2x-2…=1x+2.当x=3时,原式=15.……..21.解:(1)总人数为240人,m的值为35.……2分(2)如下图所示.(3)记A:麻辣烫,B:跷脚牛肉,C:钵钵鸡,D:甜皮鸭.解法一：由题可得树状图：第二次品尝BCDACDABDABC…………··8分P(选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”)=16.解法二：由题可列表：第一次第二次ABCDA(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(C,B)(D,B)数学答案第2页(共7页)C(A,C)(B,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)8分P(选到“钵钵鸡和跷脚牛肉9=1622.解:(1)∵点A(1,m)、B(n,1)在反比例函数y=3∴m=3,n=3.………………2分又∵一次函数y=kx+b过点A(1,3),C(0,1),∴k+b=3,b=1.解得k=2,b=1.∴一次函数表达式为y=2x+1.………………5分(2)如图,连结BC.过点A作AD⊥BC,垂足为点D,过点C作CE⊥AB,垂足为点E.∵C(0,1),B(3,1),∴BC∥x轴,|BC|=3.……………….6分∵点A(1,3),B(3,1),AD⊥BC,∴点D(1,1),|AD|=2,|DB|=2.在Rt△ADB中,|AB|=AD2又∵SABC=12|BC|⋅|AD|=1即1∴|CE|=322,即点C到线段AB的距离为323.解:(1)如图,过点A'作A'B⊥OA,垂足为点B.设秋千绳索的长度为x尺.由题可知,OA=OA'=x,AB=4,A'B=10,∴OB=OA-AB=x-4.在Rt△OA'B中,由勾股定理得:A∴10²+x-4²=x².……………….解得x=14.5.答：秋千绳索的长度为14.5尺.……………………5分数学答案第3页(共7页)(2)能.……………..6分由题可知，∠OP在Rt△OA'P中,(OP=OA'⋅cosα=OA⋅cosα……….同理，OQ=OA''⋅cosβ=OA⋅cosβ.……………..∵OQ-OP=h,∴OA·cosβ-OA·cosα=h……9分∴OA=hcosβ-24.证明:(1)如图,连结OC.∵CD为⊙O的切线,点C在⊙O上,∴∠OCD=90°,即∠DCA+∠OCA=90°.1分又∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即∠1+∠OCA=90°.∴∠DCA=∠1.………………2分∵OC=OB,∴∠1=∠2.………3分∵∴∠2=∠3...………..·4分∴∠DCA=∠3.∴DC∥AE.…………·5分(2)连结OE、BE.∵EF垂直平分OB,∴OE=BE.又∵OE=OB,∴△OEB为等边三角形.∴∠BOE=60°,∠AOE=120°.………·6分∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°.∴DC‖AE,∴∠D=∠OAE=30°.又∵∠OCD=90°,∴∠DOC=60°.∵OA=OC,数学答案第4页(共7页)∴△AOC为等边三角形.∴∠OCA=60°,OA=OC=AC.∴∠DCA=30°.∴∠D=∠DCA.∴DA=AC=OA=OC=OE=3.…………8分∴EF=OE⋅∴又∵∴S阴影=25.解:(1)当a=1时,抛物线.y=x²-2x+2=x-1²+1.·∴顶点坐标(1,1).…·3分(2)由题可知A(0,2a).∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，∴“完美点”的个数为4个或5个.……………………4分∴当“完美点”个数为4个时,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3);当“完美点”个数为5个时,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4).∴3≤2a<5.……………6分∴a的取值范围是32≤a<5(3)易知抛物线的顶点坐标为(1,a),过点P(2,2a),Q(3,5a),R(4,10a).显然,“完美点”(1,1),(2,2),(3,3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况：①当抛物线经过(2,1)时,解得a=12.此时，P(2,1),Q(3,52),R(如图所示,满足题意的“完美点”有(1,1),(2,1),(2,2),(3,3),共4个.………………9分②当抛物线经过(3,2)时,解得a=25.此时，P(2,45),Q(3,2),R(如图所示,满足题意的“完美点”有(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(4,4),共6个.数学答案第5页(共7页)∴a的取值范围是25<a≤1226.解:(1)①△ADE≌△AD'E;②EC²+CD'²=ED'²;③5.……3分2DN²+BM²=MN².………………..4证明:如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADF'.过点D作DH⊥BD交边AF'于点H,连结NH.由旋转的特征得AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF'.由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE,∴EF=DF+BE=DF+DF'=