新教材高中数学必修第一册1 .5 全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

课标要求素养要求

用全称量词、存在量词梳理、表达学过

通过已知的数学实例，理解全称量词与

的相应数学内容，重点提升数学抽象、

存在量词的意义.

逻辑推理素养.

课前预习——，知识探究

教材知识探究

A情境引入

L观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：mW5；

Q-对所有的加©R,mW5.

问题（1）上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

（2）常见的全称量词有哪些？（至少写出五个）.

提示（1）语句P无法判断真假，不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所

有的“，可以判断真假，是命题.语句尸是命题。中的一部分.

⑵常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有

的”“凡是”等.

2.观察下面的两个语句，思考下列问题：

P:m>5;

Q:存在一•个mo©Z,mo>5.

问题（1）上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

（2）常见的存在量词有哪些？（至少写出五个）.

提示（1）语句P无法判断真假，不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存

在一个“，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.

⑵常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对

某个”“有的”等.

A新知梳理

1.全称量词和全称量词命题要记准概念中的关键词语，还要记住专用符号

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用

符号表示.

⑵常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.

(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M

中任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记为〃(x).

2.存在量词与存在量词命题

⑴存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,

并用符号表示.

⑵常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.

(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在

M中的元素x,使O(X)成立"可用符号简记为xRM,pg

教材拓展补遗

［微判断］

1.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(J)

2.存在量词命题"x©R,是真命题.(X)

提示不存在x©R,使得f<0成立.

3.“三角形内角和是180。”是全称量词命题.(♦)

4.x@R,d+1三1是真命题.(J)

5.“对每一个无理数x,f也是无理数”是真命题.(X)

提示小是无理数，但(小)2=3是有理数.

［微训练］

用符号"”表示下列存在量词命题：

(1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立；

⑵有些整数既能被2整除，又能被3整除；

⑶某个四边形不是平行四边形.

解x,y)G{(x,y)h©R,yGR},2x+3y+3<0.

x©Z,x既能被2整除，又能被3整除.

是四边形},X不是平行四边形.

［微思考］

1.全称量词命题中的“X,“与P。)”表达的含义分别是什么？

提示元素X可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应

的集合M是这些元素的某一特定的范围0。)表示集合〃的所有元素满足的性质.

如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“x©N,x20”.

2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？

提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以

省略.

课堂互动⑺题型剖析”

题型一全称量词命题与存在量词命题的识别

准确理解命题的意义并判断含有哪种量词

【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的速度方向不定；

(3)对任意直角三角形的两锐角NA,ZB,都有sinZA=cosZB.

解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360。”，故为全称量词命题.

(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.

(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.

规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由

于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要

会用相应的量词符号正确表达命题.

【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”

或“”表示下列命题:

(1)自然数的平方大于或等于零；

⑵有的一次函数图象经过原点；

(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.

解(1)全称量词命题.表不为

(2)存在量词命题.一次函数，它的图象过原点.

(3)全称量词命题.二次函数，它的图象的开口都向上.

题型二全称量词命题与存在量词命题的真假的判断

判断是假命题时只要举出一个反例即可

【例2】判断下列命题的真假.

(1)所有的素数都是奇数；

⑵任意矩形的对角线相等；

(3)存在x©R,使尤2+2尤+3=0.

解(1)2是素数，但2不是奇数.

所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.

(2)是真命题.

(3)由于任意x©R,d+2x+3=(x+1)?+222,因此使d+2x+3=0的实数x不

存在，所以存在量词命题“存在x©R,使d+2x+3=0”为假命题.

规律方法判断一■个命题为真命题应给出证明，判断一■个命题为假命题只需举出

反例，具体而言：

(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素X,使p(x)

成立即可，否则命题为假.

(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x,2。)都成

立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个羽使p(x)

不成立即可.

【训练2】判断下列命题的真假：

(1)有一些二次函数的图象过原点；

x©R,2x?+尤+1<0；

x©R,x2>0.

解(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y=f,其图象过原点，故

该命题是真命题.

(2)该命题是存在量词命题.

2_

"."2x'+x+l=^x+^+(鸟>。，

...不存在x@R,使21+x+1<0.

故该命题是假命题.

(3)该命题是全称量词命题.

x=0时，x=0,故该命题是假命题.

题型三依据含量词命题的真假求参数取值范围

【例3】已知命题2：x©R,函数y=ad+2x+3的图象总在x轴上方是真

命题，求实数。的取值范围.

解命题p为真命题，①当a=0时，一次函数y=2x+3的图象总在x轴上方，

显然不能恒成立；

②当aWO时，由二次函数y=a?+2x+3的图象总在x轴上方，得

a>0,

<

2

J=2-4XflX3<0,

a>0,

即，1a>^.

d>yJ

综上，a的取值范围为

规律方法根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范

围.

【训练3】命题p：任意x©R,一次函数y=2x+6的图象不经过第四

象限，若命题"为真命题，求实数6的取值范围.

解因为一次函数y=2九+》的图象不经过第四象限，如图所示，故6N0.

核心素养全面提升

一\素养落地

1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全

称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.

2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量

词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判

断.

3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能

举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.

4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经

过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.

二'素养训练

1.下列命题中全称量词命题的个数是（）

①任意一个自然数都是正整数；

②有的平行四边形也是菱形；

③三角形的内角和是180°.

A.OB.1

C.2D.3

解析①③是全称量词命题.

答案C

2.下列命题中，不是全称量词命题的是（）

A.任何一个实数乘以0都等于0

B.任意一个负数都比零小

C.每一个正方形都是矩形

D.一定存在没有最大值的二次函数

解析D选项是存在量词命题.

答案D

3.下列存在量词命题是假命题的是（）

A.存在xGQ,使4—f=0

B.存在x©R,使/+1+1=0

C.有的素数是偶数

D.有的有理数没有倒数

解析对于任意的x©R,f+x+l=（x+］）+,>0恒成立.

答案B

4.以下四个命题，既是存在量词命题，又是真命题的是（）

A.锐角三角形的内角是锐角或直角

B.至少有一个实数x,使/W0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使1>2

答案B

5.命题2：x©R,f+2x+5=0是（填“全称量词命题”或“存在量词

命题”），它是命题（填“真”或“假”）

答案存在量词命题假

课后作业巩固提高

基础达标

一、选择题

1.下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育；

③有人既能写小说，也能搞发明创造；

④任何正方形都是平行四边形.

其中全称量词命题的个数是（）

A.lB.2

C.3D.4

解析命题①②④都是全称量词命题.

答案C

2.下列命题中存在量词命题的个数是（）

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对

于任意xGR,总有

A.OB.l

C.2D.3

解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是

全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是

全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.

答案B

3.已知命题/?：xGR,x2+4x+tz=0,若命题p是假命题，则实数a的取值范

围是（）

A.0<tz<4B.a>4

C.a<0D.a>4

解析是假命题，I.方程d+4x+a=0没有实数根，即/=16—4a<0,即

a>4.

答案B

4.下列四个命题：

①一切实数均有相反数；②a©N,使得方程1=0无实数根；③梯形的对

角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.

其中，真命题的个数为（）

A.lB.2

C.3D.4

解析①为真命题；对于②，当。=0时，方程ax+l=0无实数根；对于③，等

腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.

答案C

5.下列全称量词命题中真命题的个数为（）

①对于任意实数x,都有x+2>x；

②对任意的实数a,b,都有若|a|>|例，则">廿成立;

③二次函数y=d—依一1与x轴恒有交点；

④x©R,y©R,都有

A.lB.2

C.3D.4

解析①②③为真命题.

答案c

二、填空题

6.给出下列三个命题：

①x©R,x2+l#0；②矩形都不是梯形；

③x,yGR,f+yYl.

其中全称量词命题是(填序号).

解析②省略了量词“所有的”.

答案①②

7.对任意x>3,恒成立，则实数a的取值范围是..

解析对任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,...aW3.

答案aW3

8.试判断下列全称量词命题的真假：

①x©R,x2+2>0；

②x©N,%4^1；

③对任意x,»都有f+Jwo.

其中真命题的个数为.

解析①由于x©R,都有因而有f+2>2>0,即d+2>0,所以命题

“x©R,X2+2>0>>是真命题.

②由于0©N,当x=0时，%4>1不成立，所以命题“x£N,是假命

题.

③当x=y=O时，x2+y2=0,所以是假命题.

答案1

三'解答题

9.试判断下列全称量词命题的真假：

(1)xGR,f+i》2；

(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；

(3)每个二次函数都有最小值.

解(1)取x=0,则尤2+1=1<2,所以“xGR,f+l》2”是假命题.

(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.

(3)对于丁=0?+法+°,当。<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数

都有最小值”是假命题.

10.判断下列存在量词命题的真假：

(1)xGZ,x3<l；

⑵存在一个四边形不是平行四边形；

(3)存在一对整数x,