信号与系统-第七章

第7章采样Sampling1Maincontents●采样

(Sampling)●信号的重建

(Reconstructionofsignals)●信号内插

(Interpolation)●欠抽样

(Undersampling)27.0引言采样定理是从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。周期信号37.1采样定理SamplingTheorem4？Problem:一组等间隔的样本值是否可用来表示唯一的连续信号？(否)57.1.1冲激串采样(Impulse-trainingsampling)6相乘时域抽样1、采样定义p(t):采样函数T

:

采样周期xp(t)量化编码x(t)数字信号×采样频率:7采样过程的频谱变换FTFT频谱重复抽样后的信号的傅里叶变换是抽样前信号的傅里叶变换以抽样频率为间隔重复，但幅度为原来的1/T。8只要抽样频率满足：就能用一低通滤波器恢复出来x(t)

。9x(t)p(t)xp(t)X(jw)P(jw)Xp(jw)Xp(jw)Aliasing

混叠现象乘积卷积理想抽样的傅里叶变换时域抽样10几点认识():11低通信号与带通信号采样定理低通信号采样定理：定理1带通信号采样定理：定理22、采样定理12

奈奎斯特率：采样频率：带限信号低通信号采样定理:13

信号重建:x(t)

连续信号xp(t)抽样信号xr(t)理想低通滤波器xr(t)=x

(t)抽样后的样本通过增益为T，截止频率满足：的理想LPF，滤波器的输出即为x(t)。14X(jw)1wM-wMwXp(jw)1/TwM-wMwws-wsH(jw)Twc-wcwXr(jw)1wM-wMw15?Problem:只要采样周期T<2T0,信号x(t)=u(t+T0)-u(t-T0)的冲激串采样不会有混叠.只要采样周期T<π/ω0,FT为X(j

ω)=u(ω+ω0)-u(ω-ω0)的信号x(t)的冲激串采样不会有混叠.(3)只要采样周期T<2π/ω0,FT为X(j

ω)=u(ω)-u(ω-ω

0)的信号x(t)的冲激串采样不会有混叠.√√×16例1:解：17Idealsampling

(理想抽样）Practicalsampling

（实际抽样）Naturalsampling

（自然抽样）Flat-topsampling

（平顶抽样，零阶保持抽样）7.1.2零阶保持抽样SamplingwithaZero-OrderHold18理想抽样自然抽样平顶抽样

零阶保持抽样19对信号x(t),给定时刻的采样值一直保持到下一个采样时刻为止。1、定义：

零阶保持x(t)x0(t)T2T3T20x(t)Note:零阶保持采样输出由冲激串采样和一冲激响应为矩形脉冲的系统得到.

h0(t)x(t)×xp(t)x0(t)Zero-orderhold零阶保持抽样：等效于理想抽样再加保持电路212、重建：零阶保持:

h0(t)x(t)×xp(t)x0(t)

hr(t)xr(t)H(jω)x(t)xp(t)×冲激串采样:xr(t)Note:对于零阶保持采样，只要h0(t)与

hr(t)级联后的FT为理想LPF的特性，信号可无失真恢复。22Calculate

hr(t):ωs=2ωc237.2利用内插由样本重建信号(ReconstructionofasignalfromitsSamplesusinginterpolation）24零阶保持内插一阶保持内插

（线性内插）高阶多项式拟合理想带限内插tt内插方式1、定义：根据样本值重建一连续函数的过程。25IdealBand-LimitedInterpolation抽样定理告诉我们：一个带限信号，如果采样足够密，那么信号就能完全被恢复。也就是说，通过一个低通滤波器在样本点之间的真正内插就可以实现。利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插通常成为带限内插。2、理想带限内插26左图：通过IdealLPF实现样本点间的真正内插。H(jω)x(t)xp(t)×xr(t)=x(t)H(jω)Tωc-ωcω内插公式，表示利用样本如何拟合成一连续函数27原始信号:x(t)x(t)的样本冲激串理想带限内插28

h0(t)x(t)×xp(t)Note:零阶保持内插后,x0(t)较粗糙地近似于x(t)。输出是不连续的信号。h0(t)：零阶保持内插滤波器。内插时，两相邻样本之间用其第一个样本值拟合。3、零阶保持内插29零阶保持内插滤波器：理想内插滤波器：零阶保持内插滤波器IdealLPF304、线性内插(一阶保持内插)LinearInterpolation(First-orderholdInterpolation)：相邻样本点直接用直线连接。31x(t)txp(t)txr(t)tx(t)xr(t)p(t)xp(t)h(t)-TT32Frequencyresponse:33零阶保持、一阶内插与理想内插的比较tTh(t)wTH(jw)-ws/2ws/2ws-ws347.3欠抽样的效果：混叠

(Theeffectofundersampling:Aliasing）35冲激串抽样时的FT混叠36混叠现象只要抽样频率满足：xp(t)的频谱会发生重叠，xp(t)不能用一低通滤波器恢复出来，这种频谱重叠现象称为混叠。问题:

对欠抽样信号用低通滤波器重建的信号与原始信号有何关系?370例:采样频率低通滤波器(截止频率)π0π/TT0π满足采样定理38原信号样本值重建信号采样频率390π0π/T低通滤波器T采样频率0π欠采样40采样频率原信号样本值重建信号41采样频率原信号样本值重建信号42否则：Samplingfrequency:相位倒置较高频率信号混叠成较低频率信号。只要抽样频率满足采样定理：欠抽样信号的重建欠抽样后的重建信号xr(t)实际上是原始信号在时间上展宽了的波形,其条件是：43例:44利用欠抽样，将不便显示的频率很高信号x(t)混叠成一个容易显示的低频信号。

h

(t)x(t)×xp(t)示波器输入示波器输出欠抽样的应用:取样示波器(Samplingoscilloscope)45467.4连续时间信号的离散时间处理(Discrete-timeprocessingofcontinuous-timesignals）471、框图：CTS:连续时间系统xd[n]=xc[nT]，yc(t):

yd[n]的内插。连续到离散信号转换（C/D)xc(t)xd[n]离散系统Hd(ejω)离散到连续信号转换(D/C)yd[n]yc(t)482、连续到离散信号转换冲激串到序列转换xc(t)xp(t)×xd[n]=xc(nT)49FTdefinition(1)、xp(t)FT(2)、xd[n]FTxd[n]=xc[nT]50xd[n]的频谱是Note:51Samplingperiod523、离散序列到连续信号转换序列到冲激串转换yd[n]yc(t)yp(t)53离散系统

Hd(ejω)yd[n]冲激串到序列转换xc(t)xp(t)×xd[n]序列到冲激串转换yd[n]yc(t)yp(t)5455Note:系统等效为频率响应为：的CLTI系统。等效系统567.5离散时间信号采样对离散时间信号采样与对连续时间采样有类似的性质与结果，而且应用很多。两个重要概念：抽取与内插57xp[n]nx[n]np[n]nx[n]xp[n]7.5.1脉冲串采样Impulse-TrainSampling采样:58FTFT采样过程的频谱变换乘积性质59X(ejω)1ωM-ωMω2

-2

2

-2

ωsXp(ejω)1/NωM-ωMω-ωsP(ejω)ωM-ωMω2

-2

2

/NXp(ejω)ws1/NωM-ωMω2

-2

60

信号重建x[n]xp[n]H(ejω)xr[n]xr[n]=x

[n]抽样后的样本通过增益为N，截止频率满足：的理想LPF，滤波器的输出即为x[n]。61X(ejω)1ωM-ωMω2

-2

ωsXp(ejω)1/NωM-ωMωH(ejω)NωC-ωCω2

-2

Xr(ejω)1ωM-ωMω2

-2

利用理想低通滤波器从样本中恢复离散信号627.5.2离散时间抽取与内插Discrete-TimeDecimationandInterpolationx[n]nxp[n]nxb[n]n抽取:将每提取第N个点上的样本的过程称