山东省临沂市河东区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

山东省临沂市河东区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝i，则复数z的虚部为（）A． B．i C．1 D．i2．（5分）cos15°＝（）A． B． C． D．3．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）A． B． C． D．4．（5分）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A． B． C． D．5．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36π，则圆台较小底面的半径为（）A．8 B．6 C．4 D．26．（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为（）A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时7．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12 B．28 C． D．8．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点M，N分别在边AC，BC上，且满足，，若AN，BM相交于点P，则cos∠MPN＝（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知向量，，是与同向的单位向量，则（）A． B．与可以作为一组基底 C． D．向量在向量上的投影向量为（多选）10．（6分）下列说法正确的是（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数 B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n﹣3＝﹣i C．若1+i是关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b∈R）的根，则1﹣i也是该方程的根 D．复数z满足|z﹣1|＝1，则|z﹣i|的最大值为（多选）11．（6分）如图，正八面体E﹣ABCD﹣F的每一个面都是正三角形，并且四边形ABCD，四边形BEDF，四边形AECF都是正方形，若正方形ABCD的边长为2cm，则（）A．正八面体E﹣ABCD﹣F的表面积为 B．正八面体E﹣ABCD﹣F的体积为 C．正八面体E﹣ABCD﹣F的外接球的表面积为8πcm2 D．正八面体E﹣ABCD﹣F的内切球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝6，B'C'＝4，则边AB上的中线的实际长度为．13．（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，3），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，若点O为坐标原点，则＝．14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202﹣1261）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是．现有△ABC满足，且△ABC的面积是，则△ABC的周长为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量，，．（1）若，求实数x的值；（2）若，求向量与的夹角θ．16．（15分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12．（1）求圆锥PO的母线长；（2）过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值．17．（15分）（1）已知α，β都是锐角，，，求tan（α+2β）的值；（2）已知，，求cos（α﹣β）的值．18．（17分）已知函数在区间上的最大值为6，（1）求常数m的值；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求使f（x）＞5成立的x的取值集合．19．（17分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2＝c2+ab．（1）若c＝8，，D为边AB上的中点，求；（2）若E为边AB上一点，且，，求2a+b的最小值．参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝i，则复数z的虚部为（）A． B．i C．1 D．i【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．【解答】解：∵（1+i）z＝i，∴z＝＝，故复数z的虚部为，故选：A．【点评】本题主要考查复数的有关概念和运算，利用复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）cos15°＝（）A． B． C． D．【分析】利用半角公式cos15°＝即可得出．【解答】解：cos15°＝＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了半角公式的应用，属于基础题．3．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据条件可知＝++，结合平行四边形性质可解决此题．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，∴＝＝＝＝﹣，＝＝，∴＝++＝++＝﹣+（+）＝+（﹣﹣）＝﹣，故选：D．【点评】本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查运算能力，属于基础题．4．（5分）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A． B． C． D．【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．【解答】解：正弦曲线y＝sinx上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）＝sin（2x﹣）的图象．故选：B．【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．5．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36π，则圆台较小底面的半径为（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】根据题意，设圆台较小底面的半径为r，分析可得较大的底面的半径为2r，结合圆台的侧面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设圆台较小底面的半径为r，由于圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，则较大的底面的半径为2r，又由圆台的侧面积为36π，则有π（r+2r）l＝9rπ＝36π，解可得r＝4．故选：C．【点评】本题考查圆台的结构特征，涉及圆台的侧面积计算，属于基础题．6．（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为（）A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．【解答】解：由题意知∠MPN＝75°+45°＝120°，∠PNM＝45°，在△PMN中，由正弦定理，得MN＝64×＝32，又由M到N所用时间为14﹣10＝4（小时），所以船的航行速度v＝8（海里/时）．故选：A．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用，解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力．7．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12 B．28 C． D．【分析】法一：过A作AE⊥A1B1，得A1E＝＝1，AE＝＝．连接AC，A1C1，过A作AG⊥A1C1，求出A1G＝，从而AG＝＝，由此能求出正四棱台的体积．法二：由四棱台的几何特征算出几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式能求出结果．【解答】解法一：如图ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2．在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A1E＝＝1，AE＝＝＝．连接AC，A1C1，AC＝，A1C1＝＝4，过A作AG⊥A1C1，A1G＝＝，AG＝＝＝，∴正四棱台的体积为：V＝＝＝．解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，∵该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，∴该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，则该棱台的体积为：V＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．8．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点M，N分别在边AC，BC上，且满足，，若AN，BM相交于点P，则cos∠MPN＝（）A． B． C． D．【分析】以，为平面向量一组基底，将与用基底表示，求得其模与数量积，利用向量夹角公式即可求得结论．【解答】解：由，，可得，，所以＝＝，＝，又AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，所以，＝，＝＝2，＝＝，故＝＝，即cos∠MPN＝．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算及夹角公式，属中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知向量，，是与同向的单位向量，则（）A． B．与可以作为一组基底 C． D．向量在向量上的投影向量为【分析】由向量的模、投影向量及向量共线的坐标表示对每个选项逐一进行判断．【解答】解：对于A，因为向量，，所以，所以，故A错；对于B，因为2×4≠﹣3×1，所以与不共线，所以与可以作为一组基底，故B对；对于C，因为是与同向的单位向量，所以，故C对；对于D，，所以，所以向量在向量上的投影向量为＝，故D对．故选：BCD．【点评】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了投影向量，属于基础题．（多选）10．（6分）下列说法正确的是（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数 B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n﹣3＝﹣i C．若1+i是关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b∈R）的根，则1﹣i也是该方程的根 D．复数z满足|z﹣1|＝1，则|z﹣i|的最大值为【分析】根据共轭复数的乘积是实数，判断选项A；根据复数i的运算性质，求出i4n﹣3，即可判断选项B；根据实系数一元二次方程有复数根，则它的两根为共轭复数，判断选项C；根据绝对值不等式，求出|z﹣i|的最大值，判断选项D．【解答】解：对于A，若z1，z2互为共轭复数，则z1z2＝＝为实数，选项A正确；对于B，i为虚数单位，n为正整数，则i4n﹣3＝＝＝i，选项B错误；对于C，1+i是实系数方程ax2+bx+2＝0的根，则它的共轭复数1﹣i也是该方程的根，选项C正确；对于D，由1＝|z﹣1|＝|（z﹣i）+（i﹣1）|≥|z﹣i|﹣|i﹣1|，所以|z﹣i|≤1+|i﹣1|＝1+，所以|z﹣i|的最大值为1+，选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．（多选）11．（6分）如图，正八面体E﹣ABCD﹣F的每一个面都是正三角形，并且四边形ABCD，四边形BEDF，四边形AECF都是正方形，若正方形ABCD的边长为2cm，则（）A．正八面体E﹣ABCD﹣F的表面积为 B．正八面体E﹣ABCD﹣F的体积为 C．正八面体E﹣ABCD﹣F的外接球的表面积为8πcm2 D．正八面体E﹣ABCD﹣F的内切球的体积为【分析】对于A：根据正八面体的表面是八个全等的等边三角形，根据三角形面积即可求解；对于B：根据棱锥的体积公式求解即可；对于C：根据OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，确定点O是正八面体的外接球的球心，即可求解；对于D：设正八面体的内切球的半径为r，八个面的面积分别为Si（1≤i≤8，i∈Z），根据，即可求解．【解答】解：对于A：设正八面体的表面积为S，则，因此选项A正确；对于B：记正方形ABCD的中心为O，易知EO⊥平面ABCD，，则，故＝，因此选项B错误；对于C：因为OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，故点O是正八面体的外接球的球心，则外接球表面积为，因此选项C正确；对于D：设正八面体的内切球的半径为r，八个面的面积分别为Si（1≤i≤8，i∈Z），则，即，解得，则内切球体积为，因此选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝6，B'C'＝4，则边AB上的中线的实际长度为5．【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出AB，即可求出边AB上的中线的实际长度．【解答】解：由直观图得到：其中AC＝6，BC＝2B′C′＝8，∴AB＝＝10，∴在直角△ABC中，斜边AB上的中线为＝5．故答案为：5．【点评】本题考查三角形中位线的定理，考查斜二测法、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，3），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，若点O为坐标原点，则＝2．【分析】由题意求得的坐标，再由计算即可求得．【解答】解：由题可得：，所以＝（1，3），所以，所以．故答案为：2．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202﹣1261）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是．现有△ABC满足，且△ABC的面积是，则△ABC的周长为30+6．【分析】由题意及正弦定理可得a，b，c的比值，设a，b，c，由三角形的面积公式，可得参数的值，即求出a，b，c的值，进而求出三角形的周长的大小．【解答】解：由题意及正弦定理可得a：b：c＝2：3：，设a＝2k，b＝3k，c＝k，k＞0，由题意S＝＝54，整理可得＝54，解得k＝6，所以a＝12，b＝18，c＝6，所以该三角形的周长a+b+c＝12+18+6＝30+6．故答案为：30+6．【点评】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量，，．（1）若，求实数x的值；（2）若，求向量与的夹角θ．【分析】（1）结合向量垂直的性质，即可求解；（2）结合向量共线的性质，求出x，再结合向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：（1），，，则，＝（1，5），若，则＝3+x+5＝0，解得x＝﹣8；（2），，则3×（﹣2）＝2（x﹣8），解得x＝5，故，，＝3×5+2×（﹣1）＝13，故cosθ＝＝，θ∈[0，π]，则．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题．16．（15分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12．（1）求圆锥PO的母线长；（2）过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值．【分析】（1）根据题意，设圆锥的高为h，由截面面积公式可得h的值，进而由圆锥的结构特征分析可得答案；（2）根据题意，分析可得∠APB＞90°，结合三角形面积公式，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设圆锥的高为h，若圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12，即S△PAB＝×PO×AB＝（2r×h）＝rh＝12，解可得h＝3，则其母线长l＝＝5；（2）根据题意，由（1）的结论，由于AO＞PO，则∠APO＞45°，故∠APB＞90°，当PB与PC垂直时，截面PBC面积最大，其最大值为×4×4＝8．【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的截面计算，属于基础题．17．（15分）（1）已知α，β都是锐角，，，求tan（α+2β）的值；（2）已知，，求cos（α﹣β）的值．【分析】（1）结合同角基本关系先求出tanβ，然后结合二倍角公式求tan2β，再由和差角公式即可求解；（2）结合同角平方关系及和差角公式即可求解．【解答】解：（1）∵α，β都是锐角，，，所以cosβ＝＝，tanβ＝，所以tan2β＝＝＝，tan（α+2β）＝＝＝1；（2）因为，，两边平方相加得，2+2cosαcosβ+2sinαsinβ＝＝，即2+2cos（α﹣β）＝，cos（α﹣β）＝﹣．【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式的综合应用，属于中档题．18．（17分）已知函数在区间上的最大值为6，（1）求常数m的值；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求使f（x）＞5成立的x的取值集合．【分析】（1）利用三角恒等变换将函数f（x）化简，利用整体思想即可求出其最大值，进而得出参数m的值；（2）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解不等式即可得出所求的答案；（3）将不等式转化为sin（2x+）＞，利用三角函数的图象与性质即可得出所求的答案．【解答】解：（1）因为函数＝sin2x+cos2x+1+m＝2sin（2x+）+m+1，所以令t＝2x+∈[，]，则sint∈[﹣，1]，所以f（x）的最大值为2+m+1＝6，即m＝3．（2）由（1）知：f（x）＝2sin（2x+）+4，令+2kπ≤