陕西省渭南市韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数列1，，5，，…的第9项是(

)A. B.19 C. D.172.已知函数在处的导数为3，则(

)A.6 B.3 C. D.3.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A.

B.

C.

D.

4.已知等差数列的前n项和为，若，，则当取得最小值时，(

)A.4 B.5 C.6 D.75.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于的描述一定正确的是(

)A.在区间上单调递减

B.当时，取得最大值

C.在区间上单调递减

D.当时，取得最小值6.设数列满足…，则(

)A. B. C. D.7.设函数，若，且，则下列不等式恒成立的是(

)A. B. C. D.8.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱.某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作.则所有鳞片中竹质鳞片个数为(

)A.120 B.124 C.128 D.130二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为(

)A. B. C. D.10.已知函数，则下列结论中正确的是(

)A.，

B.函数可能无极值点

C.若是的极值点，则

D.若是的极小值点，则在区间单调递减11.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，若，，且，则下列结论正确的是(

)A. B.

C.数列中的最大值是 D.数列无最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数，______.13.在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为______.14.设且，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分

求下列函数的导数：

Ⅰ；

Ⅱ16.本小题15分

已知等比数列的前n项和为公比，若，

求的通项公式；

证明：17.本小题15分

已知函数，

Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；

Ⅱ若在上恒成立，求a的取值范围.18.本小题17分

若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列.

Ⅰ若数列为1级等差数列，，，求数列的前n项和；

Ⅱ若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和19.本小题17分

已知函数，其中e是自然对数的底数，

Ⅰ当时，求函数的单调区间和极值；

Ⅱ是否存在实数a，使的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由题意可知，该数列可用表示，

故

故选：

该数列可用表示，将代入，即可求解．

本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：由题意可得，

则

故选：

利用极限的运算性质以及导数的几何意义化简即可求解．

本题考查了导数的几何意义以及极限的运算性质，属于基础题．3.【答案】A

【解析】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，

故

故选：

直接根据导数的几何意义以及函数的图像即可得到结论．

本题主要考查导数的几何意义的应用，属于基础题．4.【答案】B

【解析】解：，

则，

，

则，

故当取得最小值时，

故选：

根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．

本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．5.【答案】C

【解析】解：由图可知，时，，为增函数；

时，，为减函数；

当时，有极大值，不一定为最大值；

时，，为增函数；

当时，有极小值，不一定为最小值；

时，，为减函数，

综上可得只有C正确．

故选：

根据导数图象与函数图象的关系可得答案．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．6.【答案】D

【解析】解：…，

当时，

当时，…，

，

当时也成立，

故选：

利用递推关系即可得出．

本题考查了数列的通项公式求法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】D

【解析】解：，则函数为偶函数，

当时，，

则函数在上单调递增，

又，且，

则，

故

故选：

易知函数为偶函数，且在上单调递增，结合题意可得，由此得解．

本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查等差数列的实际应用，涉及等差数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．

根据题意，分析碳杆材质的鳞片和竹质鳞片之间的规律，再假设有n个“碳杆”鳞片，分析可得n的不等式，求出n的值，分析可得答案．【解答】

解：根据题意，分析可得：第n个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有n个竹质鳞片，

假设有n个碳杆材质的鳞片，，

由已知可得…①，

如果只有个碳杆材质的鳞片，则骨架总数少于140，

所以…②，

联立①②可得：且，

又，解得，即需要16个碳杆材质的鳞片，

故需要个竹质鳞片．

故选：9.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，，则，易得，则数列为递增数列，符合题意；

对于B，，则，则数列为递增数列，符合题意；

对于C，，有，数列不是递增数列，不符合题意；

对于D，，，数列为递增数列，符合题意．

故选：

根据题意，依次分析选项中数列的单调性，综合可得答案．

本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．10.【答案】ABC

【解析】解：函数，当时，，当时，，

又连续，所以，，A正确；

当时，在R上单调递增，无极值点，故B正确；

三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确；

若是的极小值点，可能还有极大值点，若，

则在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误．

故选：

由三次函数的图象特征可判断A；取函数即可判断B；由极值点的定义即可判断C；由极值点与单调性的关系即可判断

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】ABC

【解析】解：，，且，

则，，

对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于CD，，，，

则数列中的最大值是，故C正确，D错误．

故选：

根据已知条件，推得，，即可依次判断．

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．12.【答案】

【解析】解：由题，

所以，

则

故答案为：

先求出导数，即可求出常数

本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．13.【答案】35

【解析】解：正项等比数列中，为其前n项和，

故，，成等比数列；由于，，

所以，解得

故答案为：

直接利用等比数列的性质求出结果．

本题考查的知识点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14.【答案】

【解析】解：当时，由指数函数的性质可知与只有一个交点，不满足题意；

当时，

设，

则在上有2个根，

因为，

易知在0，上单调递增，

设，即有，

则当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

所以，

即，，

，，，

解得，

综上，

故答案为：

由指数函数的性质可知当时，不满足题意，当时，设，将问题转化为在上有2个根，利用导数求解即可．

本题考查了指数函数的性质、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．15.【答案】解：；

Ⅱ

【解析】由已知结合函数的求导公式及求导法则即可分别求解．

本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．16.【答案】解：等比数列中，由于，，

则有，

解得或舍去，所以

因为，且，

所以，

所以

【解析】根据题意，分析得到关于、q的方程组，解得即可；

首先求出，再利用作差法证明即可．

本题考查等不数量的求和，涉及等比数列的前n项和，属于基础题．17.【答案】解：Ⅰ当时，，

则，，

，

曲线在点处的切线方程为，即；

Ⅱ在上恒成立，等价于在上恒成立，

即，令，

则，

当时，，当时，，

在上的极小值点为，也是最小值点，

，

，

即a的取值范围为

【解析】Ⅰ利用导数的几何意义求解；

Ⅱ由题意可知，在上恒成立，即，令，利用导数求出的最小值即可．

本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．18.【答案】解：Ⅰ若数列为1级等差数列，即对一切，都成立，

则数列为等差数列，设公差为d，

由，，可得，

则

Ⅱ由数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，

可得对一切，都成立，

，，，…，

可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0，公差为3的等差数列，

则

【解析】Ⅰ结合已知定义，利用等差数列的性质及求和公式即可求解；

Ⅱ由已知递推关系，结合等差数列的求和公式即可求解．

本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：Ⅰ当时，，

则，

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增．

所以函数的极小值为，

故的单调递减区间为，单调递增区间为

的极小值为，无极大值；

Ⅱ假设存在实数a，使，的最小值是3，

，

①当时，因为所以，在上单调递减，

所以，解得舍去；

②当时，即时，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调