2024年大学试题(理学)-数值分析笔试考试历年高频考点试题摘选含答案

2024年大学试题(理学)-数值分析笔试考试历年高频考点试题摘选含答案第1卷一.参考题库(共75题)1.试用最小二乘法，求解下列超定方程组： 2.递推公式，如果取y0=≈1.41作计算，则计算到y0时，误差为（），这个计算公式数值稳定不稳定（）。3.推导下列三种矩形求积公式： 4.利用初等反射阵将 正交相似约化为对称三对角阵。5.用秦九韶法求P（5）。6.如何选取r，使p（x）=x2+r在[-1，1]上与零偏差最小？r是否唯一？7.给定求积公式试确定a，b，c使它的代数精度尽可能高。8.取步长h=0.2，求解初值问题，用欧拉预报—校正法求y（0.2）的近似值。9.以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。 10.写出求方程4x=cos（x）+1在区间[0，1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。11.利用尤拉方法计算积分 在点x=0.5，1，1.5，2的近似值。12.试用Gauss消去法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：13.设detA≠0，用a，b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.14.高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求x3k+1=（）。15.设x1=1.216，x2=3.654均具有3位有效数字，则x1x2的相对误差限为（）16.用简单迭代格式求方程x3-x-0.2=0的所有实根，精确至有3位有效数。17.设f（1）=1，f（2）=2，f（3）=0，用三点式求f′（1）≈（）18.已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）19.设有函数值表： 20.设方程组 证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散。21.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。 22.f（x）=x7+x4+3x+1，求f[20，21，...，27]及f[20，21，...，28]。23.用辛普森公式求积分并计算误差24.设Ux=d，其中U为三角矩阵。 （a）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 （b）计算解三角形方程组Ux=d的乘除法次数。 （c）设U为非奇异阵，试推导求U-1的计算公式。25.设A为对称正定矩阵，且其分解为A=LDLT=WTW，其中W=D1/2LT，求证： 26.已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算y（1.2）的近似值，取步长h=0.2。27.取≈1.732计算，下列方法中哪种最好？（）A、B、C、D、28.是以为节点的拉格朗日插值基函数，则（）29.设f（x）可微，求方程x=f（x）的牛顿迭代格式是（）。30.证明解y′=f（x，y）的下列差分公式 是二阶的，并求出截断误差的首项。31.直接验证柯特斯公式具有5次代数精度。32.已知函数y=f（x）的相关数据 由牛顿插值公式求三次插值多项式p3（x），并计算的近似值33.证明：（a）如果A是对称正定阵，则A-1也是正定阵；（b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A=LTL，其中L是具有正对角元的下三角阵。34.对于迭代法xn+1=φ（x），（n=0，1，...）初始近似x0，当|φ′（x0）|<1时为什么还不能断定迭代法收敛？35.已知，则A的谱半径ρ（A）=（），则=（）。36.设f（x）可微，求方程x=f（x）的根的牛顿迭代格式为（）。37.把f（x）=arccosx在[-1，1]上展成切比雪夫级数。38.说明方程在区间[1，2]内有惟一根x*，并选用适当的迭代法求x*（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。39.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？40.已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表： 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。41.设f（x）=x7+5x3+1，求差商。42.直接推导出2步Adams显式公式 43.证明n阶均差有下列性质：若F（x）=cf（x），则F[x0，x1，...，xn]=cf（x0，x1，...，xn）。44.证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的。 45.给出矩阵（a为实数），试分别求出a的取值范围： （1）使得用雅可比迭代法解方程组Ax=b时收敛； （2）使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ax=b时收敛。46.对方程可建立差分公式 试用这一公式求解初值问题 验证计算解恒等于准确解 47.设 已知方程组Ax=b的精确解为 （1）计算条件数cond（A）∞； （2）取近似解 计算残向量ry=b-Ay； （3）取近似解，计算残向量rz=b-Az； （4）就近似解y和z，分别计算定理3.11中不等式（3.55）的右端，并与不等式的左端进行比较； （5）本题计算结果说明什么问题？48.将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，其中，然后求解该方程组。49.如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）50.设Ax=b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？51.已知y=f（x）的数据如下： 求二次插值多项式P2（x）及f（2.5）。52.构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度。 53.设f（x）=x7+x4+3x+1，求f[20，21，6，27]及f[20，21，6，28]。54.用带位移的QR方法计算 全部特征值。55.设函数f（x）由下表给出： 56.已知数值积分公式为： 试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。57.设f（x）=（x3-a）2，证明解f（x）=0的Newton迭代公式是线性收敛的58.由下列数据： 确定的唯一插值多项式的次数为（）A、4B、2C、1D、359.确定求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度。60.设f（x）=1/（1+x2），在-5≤x≤5上取n=10，按等距节点求分段线性插值函数Ih（x），计算各节点间中点处的Ih（x）与f（x）的值，并估计误差。61.已知求解常微分方程初值问题的数值格式为 问此数值格式是几阶格式？62.用Gauss-Seidel迭代法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）。63.（a）设A是对称阵且a11≠0，经过高斯消去法一步后，A约化为 证明A2是对称矩阵。 （b）用高斯消去法解对称方程组： 64.设已知一组实验数据 65.对于给定的线性方程组 （1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 （2）对收敛的方法，取初值，迭代两次，求出。66.已知x=[0，-1，2]T，求∥x∥∞，∥x∥1，∥x∥2.67.插值型求积公式的求积系数之和=（）。其中x2为权函数，68.假设f（x）在[a，b]上连续，求f（x）的零次最佳一致逼近多项式。69.证明定积分近似计算的抛物线公式： 具有三次代数精度。70.现给出一张记录{xk}={4，3，2，1，0，1，2，3}，试用改进FFT算法求出序列{xk}离散频谱{Ck}（k=0，1，...，7）。71.已知函数的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算f（15）的近似值.72.求矛盾方程组：的最小二乘解。73.用高斯-塞德尔方法解方程组取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。74.设，试说明A为可约矩阵。75.简述二分法的优缺点。第2卷一.参考题库(共75题)1.试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方程组的收敛性问题： 2.利用Gauss变换阵，求矩阵的LU分解。3.有一个长方形水池，由测量知长为（50±0.01）米，宽为（25±0.01）米，深为（20±0.01）米，试按所给数据求出该水池的容积，并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式，并求出绝对误差限和相对误差限.4.设f（x）=（x3-a）2（1）写出解f（x）=0的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。5.绘图题：画出SOR迭代法的框图。6.确定求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度。7.在[-1，1]上利用幂级数项数求f（x）=sinx的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。8.用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，使它与下列数据拟合，并求均方误差。 9.数值积分公式是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？ 10.设L为单位下三角阵，试写出解方程组的算法。11.方程组Ax=b，其中，A是对称的且非奇异。设A有误差δA，则原方程组变化为，其中δc为解的误差向量，试证明：其中λ1和λn分别为的按模最大和最小的特征值。12.设x=（3，-1，5，8）T，则=（），=（），=（）。13.证明对称矩阵 用雅可比迭代法求解方程组Ax=b才收敛。14.用高斯消去法解方程组 15.已知方程x3-x2-0.8=0在x0=1.5附近有一个根，构造如下两个迭代公式： 则用迭代公式（1）求方程的根（），用迭代公式（2）求方程的根（）。16.设x∈Rn，x=（x1，x2，...，xn）T求证 17.已知x=φ（x）在区间[a，b]内有且只有一个根，而当a<x1 （1）试问如何将x=φ（x）化为适用于迭代的形式？ （2）将x=tanx化为适用于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。</x18.如有下列表函数： 试计算此列表函数的差分表，并给出它的牛顿插值多项式及余项公式。19.f（x）是[-a，a]上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数，f（x）的最佳逼近多项式F*n（x）∈Hn也是奇（偶）函数。20.设x1=1.216，x2=3.654均具有3位有效数字，则x1+x2的误差限为（）21.给定方程f（x）=0，并设x*是其单根，且f（x）足够光滑，证明迭代格式是3阶局部收敛的。22.设x*=2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=（）。23.解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（）。24.设 求∥A∥∞，∥A|1，∥A∥2及cond（A）∞，cond（A）2。25.取节点x0=0，x1=0.5，x2=1，求函数f（x）=e-x在区间[0，1]上的二次插值多项式P2（x），并估计误差。26.在次数不超过6的多项式中，求f（x）=sin4x在[0，2π]的最佳一致逼近多项式。27.给出cosx，0°≦x≦90°的函数表，步长h=1′=（1/60）°，若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。28.方阵T分块形式为 其中Tii（i=1，2，...，n）为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T为准三角形形式，用σ（T）记矩阵T的特征值集合，证明 29.设f（x）=（x3-a）2 （1）写出解f（x）=0的牛顿迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）30.设求方程f（x）=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。A、超线性B、平方C、线性D、三次31.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？32.用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a，b）内的根时，二分n次后的误差限为（）。33.等距二点求导公式f′（x1）≈（）A、B、C、D、34.计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫（）35.有常微分方程的初值问题，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。36.证明37.已知一元方程x3-3x-1.2=0。 1）求方程的一个含正根的区间； 2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）； 3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。38.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3，1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（）。A、B、C、D、39.设xj为互异节点（j=0，1，...，n），求证： 40.设f（0）=0，f（1）=16，f（2）=46，则f[0，1]=（），f[0，1，2]=（），f（x）的二次牛顿插值多项式为（）。41.用牛顿法求的近似值，取x0=10或11为初始值，计算过程保留4位小数。42.φ（x）=x+a（x2-5），要是迭代法xk+1=Φ（xk）局部收敛到则a的取值范围是（）。43.数值求积公式的代数精度为（）44.已知一组试验数据如下： 求它的拟合曲线（直线）。45.若误差限为0.5×10-15，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）46.证明47.，求f（30）的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？48.用SOR方法解方程组（分别取松弛因子ω=1.03，ω=1，ω=1.1） 精确解要求当时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次数。49.设f（x）∈C[a，b]，把[a，b]分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数φn（x）并证明当n→∞时，φn（x）在[a，b]上一致收敛到f（x）。50.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图。51.在什么情况下Gauss消去法会出现数值不稳定？如何克服？52.证明：梯形公式 无条件稳定。53.在[-1，1]上利用插值极小化求f（x）=tg-1x的三次近似最佳逼近多项式。54.用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量： 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。55.利用积分计算ln4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超过56.通过四个互异节点的插值多项式p（x），只要满足（），则p（x）是不超过二次的多项式。57.计算方法主要研究（）误差和（）误差。58.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。 59.，则A的谱半径ρ（A）=（），A的cound（A）1=（）。60.设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中a>0）。61.用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.A、B、C、D、62.试写出求方程1/x-c=0（其中c为已知正常数）的Newton迭代格式，并证明当初值x0满足0＜x＜2/c时迭代格式收敛。该迭代格式中是否含有除法运算？63.利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h=0.1, 64.已知一组试验数据 试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）65.设f（x）=（x-x0）（x-x1）…（x-xn）求之值，其中，而节点互异。（均差的计算）66.应用Newton法于方程x3-a=0，求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。67.用LU分解法求解线性方程组 68.设求A的LU分解。69.（a）设A是对称矩阵，λ和是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为一个正交阵，使Px=e1=（1，0，...0）T 证明B=PAPT的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 （b）对于矩阵 λ=9是其特征值，是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px=e1，并计算B=PAPT。70.若用复化梯形公式计算，要求误差不超过10-6，利用余项公式估计，至少用（）个求积节点。71.确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度 72.给定迭代过程，x（k+1）=Cx（k）+g，其中C∈Rn×n（k=0，1，2，...），试证明：如果C的特征值λi（C）=0（i=1，2，...），则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。73.取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。74.对于n+1个节点的插值求积公式至少具有（）次代数精度。75.设x=020013753为真值xr=0.00013759的近似值，则x有（）位有效数字。第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：2.参考答案： ；不稳定3.参考答案： 1）此差值型求积公式的余项为 4.参考答案： 由豪斯荷尔德方法得 5.参考答案：6.参考答案： 切比雪夫多项式在[-1，1]上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常数倍， 7.参考答案： 8.参考答案： 欧拉预报-校正法： 9.参考答案：10.参考答案： 如下： 11.参考答案： 取步长h=0.5，f（0.5）=0.500000，f（1）=1.14201，f（1.5）=2.50115，f（2）=7.24502。12.参考答案：13.参考答案： J法迭代矩阵为 14.参考答案： 15.参考答案：0.005516.参考答案：17.参考答案：2.518.参考答案： 19.参考答案：20.参考答案： Jacobi迭代为 其迭代矩阵 21.参考答案： 如下： 22.参考答案： 如下： 23.参考答案： 如下： 24.参考答案： 如下： 25.参考答案： 26.参考答案： 如下： 27.参考答案：C28.参考答案：x2+229.参考答案： 30.参考答案： 如下： 31.参考答案： 柯特斯公式为 32.参考答案： 33.参考答案： 如下： 34.参考答案： 迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含x0是全局收敛性，需要在包含的区间[a，b]上证明a≤φ（x）≤b且才能说明由x0出是迭代法xn+1=φ（x）收敛。 如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为x*才可由φ′（x0）35.参考答案： ；636.参考答案： 37.参考答案： 如下： 38.参考答案： 39.参考答案： 一个求积公式如果当f（x）为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当f（x）为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令f（x）=xi（i=0，1，...，m）代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。40.参考答案： 应选三个节点，使误差尽量小，即应使|ω3（x）|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5，0.6，0.7}最好，实际计算结果sin0.63891≈0.596274，且 41.参考答案： 如下： 42.参考答案：43.参考答案： 如下： 44.参考答案： 如下： 45.参考答案： 46.参考答案： h=1，xn=n，初值条件等于准确解，由数学归纳法代入差分公式中可得 即差分法求出的解恒等于准确解。47.参考答案：48.参考答案： 如下： 49.参考答案： 50.参考答案：A对称正定，Jacobi迭代法不一定收敛。51.参考答案： 如下： 52.参考答案： 如下： 53.参考答案：54.参考答案： 55.参考答案：56.参考答案： f（x）=1显然精确成立； 所以，其代数精确度为3。57.参考答案： 58.参考答案：A59.参考答案： 如下： 60.参考答案： Ih（x）在每个小区间[xk，xk+1]上表示为 61.参考答案： 62.参考答案： 63.参考答案： 如下： 64.参考答案：65.参考答案： 66.参考答案：67.参考答案： 68.参考答案： 设所求为g（x）=c， 由定理可知g（x）在[a，b]上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为f（x）的最大值和最小值处，故由 可以解得 即为所求。69.参考答案： 如下： 70.参考答案： 如下： 71.参考答案： 72.参考答案： 73.参考答案： 74.参考答案： 取排列阵P=I23，则 A.为可约矩阵。75.参考答案： 优点： A.计算简单，方法可靠； B.对f （x） 要求不高（只要连续即可）； C.收敛性总能得到保证。 缺点： A.无法求复根及偶重根； B.收敛慢。第2卷参考答案一.参考题库1.参考答案：2.参考答案： 3.参考答案： 设长方形水池的长为L，宽为W，深为H，则该水池的面积为V=LWH 当L=50，W=25，H=20时，有V=50*25*20=25000（米3） 此时，该近似值的绝对误差可估计为 4.参考答案： 故此迭代格式是线性收敛的。5.参考答案： 用SOR方法解方程组Ax=b，其中A对称正定，数组x用来存放解向量，用控制迭代终止，k表示迭代次数。 6.参考答案： 如下： 7.参考答案： 如下： 8.参考答案： 如下： 9.参考答案： 10.参考答案：11.参考答案： 12.参考答案： 17；8；13.参考答案： 14.参考答案： 15.参考答案：收敛；发散16.参考答案： 17.