2025届山西大同市第一中学高一下数学期末预测试题含解析

2025届山西大同市第一中学高一下数学期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和，若，则（）A．25 B．39 C．45 D．543．如图，一个边长为的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有粒，则这个月牙图案的面积约为（）A． B． C． D．4．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．85．不等式的解集是：A． B．C． D．6．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（）A．5 B．6 C．7 D．88．已知一扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为()A． B． C． D．9．设函数，则()A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递增，且其图象关于直线对称10．若直线经过A(1,0),B(2,3)两点，则直线A．135° B．120° C．60° D．45°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知是奇函数，且，则_______．12．已知，，则的值为．13．一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为.14．已知两点A（2，1）、B（1，1+）满足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），则α+β＝_______________15．已知向量，，若，则______；若，则______.16．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.18．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？19．已知，，，均为锐角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.20．如图所示，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长.21．正四面体是侧棱与底面边长都相等的正三棱锥，它的对棱互相垂直.有一个如图所示的正四面体，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点.（1）求证：面EFG；（2）求异面直线EG与AC所成角的大小.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.作出曲线的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，则直线的倾斜角的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.2、A【解析】

设等差数列的公差为，从而根据，即可求出，这样根据等差数列的前项和公式即可求出．【详解】解：设等差数列的公差为，则由，得：，，，故选：A．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，属于基础题．3、A【解析】

根据几何概型直接进行计算即可.【详解】月牙形图案的面积约为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.4、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．5、C【解析】

把不等式转化为不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，不等式，等价于，解得，即不等式的解集为，故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、C【解析】

写出变换后的函数解析式，，，结合正弦函数图象可分析得：要使函数有且仅有两个零点，只需，即可得解.【详解】由题，根据变换关系可得：，函数在区间上有且仅有两个零点，，，根据正弦函数图象可得：，解得：.故选：C【点睛】此题考查函数图象的平移和伸缩变换，根据函数零点个数求参数的取值范围.7、C【解析】

首先分析题目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，求满足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整数n．故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到，然后根据数列bn=an﹣1为等比数列，求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3an+1+an=4变形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整数n=7故选C．【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列an﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．8、C【解析】

根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．【详解】设扇形的弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数是.

则由题意可得：.

可得：，解得：，.可得：故选：C【点睛】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．9、B【解析】

先将函数化简，再根据三角函数的图像性质判断单调性和对称性，从而选择答案.【详解】

根据选项有，当时，在在上单调递增.又即为的对称轴.当时，为的对称轴.故选：B【点睛】本题考查的单调性和对称性质，属于中档题.10、C【解析】

利用斜率公式求出直线AB，根据斜率值求出直线AB的倾斜角.【详解】直线AB的斜率为kAB=3-02-1【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据奇偶性定义可知，利用可求得，从而得到；利用可求得结果.【详解】为奇函数又即，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.12、3【解析】

，故答案为3.13、【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.14、或0【解析】

运用向量的加减运算和特殊角的三角函数值，可得所求和．【详解】两点A（2，1）、B（1，1）满足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即为sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，则α+β＝0或．故答案为0或．【点睛】本题考查向量的加减运算和三角方程的解法，考查运能力，属于基础题．15、6【解析】

由向量平行与垂直的性质，列出式子计算即可.【详解】若，可得，解得；若，则，解得.故答案为：6；.【点睛】本题考查平面向量平行、垂直的性质，考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，属于基础题.16、相交【解析】

根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2），．【解析】

(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，，，，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．18、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数.【详解】（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为（2）因为，，，，所以样本数据的中位数为.（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为，所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为.从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取(人).【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19、（1）；（2）【解析】

(1)计算表达出,再根据,两边平方求化简即可求得.(2)根据,再利用余弦的差角公式展开后分别计算求解即可.【详解】（1）由题意,得,,,,.（2）,,均为锐角,仍为锐角,,,.【点睛】本题主要考查了根据向量的数量积列出关于三角函数的等式,再利用三角函数中的和差角以及凑角求解的方法.属于中档题.20、【解析】

连接，由题意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.【详解】设该扇形的半径为米，连接，如图所示：由题意，得米，米，，在△中，由余弦定理得，即，解得米.答：该扇形的半径的长为米.【点睛】本题考查了利用余弦定理解三角形，将问题转化为在三角形中求解是解题关键，属于基础题.21、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）连接EF