广西南宁市马山县金伦中学2025届高一下数学期末检测试题含解析

广西南宁市马山县金伦中学2025届高一下数学期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列说法正确的是（）A．命题“若，则.”的否命题是“若，则.”B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C．D．若命题，则2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．3．设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（）A．若，则对任意实数恒成立；B．若，则函数为奇函数；C．若，则函数为偶函数；D．当时，若，则（）．4．已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线，使得与（）A．平行B．相交C．异面D．垂直5．如图，在长方体中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（）A．30° B．45°C．60° D．90°6．函数f（x）=log3（2﹣x）的定义域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]7．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若直线恰好与以为直径的圆相切，则圆面积的最小值为（）A． B． C． D．8．已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A．8 B．7 C．6 D．49．从总数为的一批零件中抽取一个容量为的样本，若每个零件被抽取的可能性为，则为（）A． B． C． D．10．某防疫站对学生进行身体健康调查，与采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，已知，则____________.12．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．13．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.14．空间一点到坐标原点的距离是_______.15．已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.16．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)求函数在时的值域．18．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．19．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．20．某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为20万元，浮动成本，.若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.（1）设年利润为（万元），试求与的关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润.21．三个内角A,B,C对应的三条边长分别是，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，求．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】“若p则q”的否命题是“若则”，所以A错。在定义上并不是单调递增函数，所以B错。不存在，C错。全称性命题的否定是特称性命题，D对，选D.2、D【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.3、D【解析】

利用两角和的余弦公式化简表达式.对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题.对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题.对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题.对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得（），进而判断出D选项为假命题.【详解】.不妨设．为已知实常数.若，则得；若，则得．于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题；当时，，它为奇函数，即命题B是真命题；当时，，它为偶函数，即命题C是真命题；当时，令，则，上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．将该方程的两边同除以得，令（），则，解得（）．不妨取，（且），则，即（），所以命题D是假命题．故选：D【点睛】本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.4、D【解析】略5、D【解析】

建立空间直角坐标系，结合，求出的坐标，利用向量夹角公式可求.【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图,设,则,,,因为,所以,即有.因为,所以,即异面直线和所成角为.故选：D.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.6、C【解析】试题分析：利用对数函数的性质求解．解：函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域满足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域是（﹣∞，1）．故选C．考点：对数函数的定义域．7、A【解析】

根据题意画出图像，数形结合，根据圆面积最小的条件转化为直径等于原点到直线的距离，再求解圆面积即可.【详解】根据题意画出图像如图所示，圆心为线段中点，为直角三角形，所以，作直线且交于点，直线与圆相切，所以，要使圆面积的最小，即使半径最小，由图知，当点、、共线时，圆的半径最小，此时原点到直线的距离为，由点到直线的距离公式：，解得，所以圆面积的最小值.故选：A【点睛】本题主要考查点到直线距离公式和圆切线的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于中档题.8、B【解析】

先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【详解】满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值1，故答案为1．【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．9、A【解析】

由样本容量、总容量以及个体入样可能性三者之间的关系，列等式求出的值.【详解】由题意可得，解得，故选A.【点睛】本题考查抽样概念的理解，了解样本容量、总体容量以及个体入样可能性三者之间的关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.10、D【解析】由分层抽样的办法可知在名学生中抽取的男生有，故女生人数为，应选答案D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、84【解析】

根据余弦定理以及同角公式求得，再根据面积公式可得答案.【详解】由余弦定理可得，又，所以，所以.故答案为：84【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题.12、【解析】

根据函数图象以及不等式的等价关系即可．【详解】解：不等式等价为或，

则，或，

故不等式的解集是．

故答案为：．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．13、0.95【解析】

根据抽查一件产品是甲级品、乙级品、丙级品是互为互斥事件，且三个事件对立，再根据抽得正品即为抽得甲级品的概率求解.【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}因为事件A，B，C互为互斥事件，且三个事件对立，所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为故答案为：0.95【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14、【解析】

直接运用空间两点间距离公式求解即可.【详解】由空间两点距离公式可得：.【点睛】本题考查了空间两点间距离公式，考查了数学运算能力.15、【解析】

直接应用数量积的运算，求出与的夹角．【详解】设向量、的夹角为；∵，∴，∵，∴.故答案为：．【点睛】本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.16、【解析】

先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得.所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)化简得＝,利用周期的公式和正弦型函数的性质，即可求解；(Ⅱ)由，可得，得到∈，即可求得函数的值域.【详解】(Ⅰ)由题意，化简得＝,所以函数的最小正周期为,又由，解得所以的单调递增区间为.(Ⅱ)由，可得，所以∈，所以的值域为．【点睛】本题主要考查了三角函数的的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18、（1）详证见解析；（2）详证见解析.【解析】

（1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．（2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．【详解】（1）证明：连交于O,因为四边形是正方形,所以,连，则是三角形的中位线,,平面，平面所以平面.（2）因为平面,所以,因为是正方形，所以,所以平面,所以平面平面.【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．19、（1）见解析；（2）.【解析】

(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【详解】(Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.20、（1）；（2）产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元．【解析】

（1）由销售收入减去成本可得利润；（2）分段求出的最大值，然后比较可得．【详解】（1）由题意；即；（2）时，，时，，当