新高考数学解答题重难点 题型04 概率与统计（含解析）

重难点04概率与统计

命题趋势

新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思

想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问

题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离

散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生

的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查

的热点趋势，应该引起关注。

满分技巧

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，

要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些

事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和

（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都

离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。

相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几

个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。

标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此

继续下去，依次即可完成。

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。

对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。

热点解读

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以

排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要

考查独立性检验、超凡何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，

情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为新高考中的亮点。解答

题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

限时检测

L■—―j

A卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1.（2021•福建莆田•二模）”平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每

一期增长量相加后，除以期数，即i-2.下图是我国2（）16-2020年GDP数据根据图中数据,

n—\

2016-2020年我国GDP的平均增长量为（）

2016-2020年国内生产总值（GDP）

数据来源:国家统计局2021年2月28日统计公报

A.4.60万亿元B.5.39万亿元C.6.74万亿元D.8.99万亿元

【答案】C

【分析】利用图中的数据结合所给公式直接求解即可

【详解】解：令4=74.64,“2=83.20,%=91.93,4=98.65,4=101.60

则由题意可得，2016-2020年我国GDP的平均增长量为

（%-4）+（%-生）+&-%）+（%―%）_45_1（）1.60-74.64_674故选C

444

2.（2021•福建•三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了

“勾股圆方图”（如图），用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个

区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（）

A.36B.48C.72D.96

【答案】C

【分析】根据题意，分2步依次分析区域4组和区域8的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①对于区域ABE,三个区域两两相邻，有&=24种涂色的方法，

②对于区域C。，若C区域与A颜色相同，。区域有2种选法，

若C区域与A颜色不同，则C区域有1种选法，。区域也只有1种选法，

则区域C。有2+1=3种涂色的方法，贝I」有24x3=72种涂色的方法，故选：C.

3.（2021•辽宁大连•一模）我国中医药选出的“三药三方''对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，"三药”

分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.

若某医生从''三药三方''中随机选出两种，事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种中有一方,

则P（B|A）=（）

1333

A.-B.—C.-D.一

51054

【答案】D

【分析】利用古典概型分别求出P（A）,P（AB）,根据条件概率公式可求得结果.

【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种

3

中有一方，则人力=生等=：P（AB）=罢=|,.»（44）=勺肆=鲁=］故选：D.

5

4.（2021•重庆九龙坡•高三期中）有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一

一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能

开锁的钥匙区分出来的概率是（）

、3c3

A.-B.—C.—D.一

51055

【答案】B

【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三把都能开锁，②第

一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，

由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率.

【详解】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁.

现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，

恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：

①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，

③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，

「恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：

5.（2021•山东青岛•高三期末）某种芯片的良品率X服从正态分布N（0.95,0.0V）,公司对科技改造团队的奖

励方案如下：若芯片的良品率不超过95%,不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%,每张芯片

奖励100元；若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（）元

附：随机变量4服从正态分布%（〃,4），则尸（〃一<〃+b）=0.6826,P（〃-2b<J<〃+2b）=0.9544,

-3b<J<〃+3。）=0.9974.

A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74

【答案】B

【分析】根据X~N（0.95,0.0/），得出〃=0.95,〃+。=0.96,计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖

励的数学期望.

【详解】因为X~N（0.95,0.0F）,得出〃=0.95,〃+。=0.96,所以尸（X40.95）=尸（X=0.5,

尸（0.95<X<0.96）=P（//<X<z/+cr）=-P（/z-o-<X<//+cr）=-x0.6826=0.3413；

P（X>0.96）=g[l-P（〃-cr<XW〃+<T）]=；X（1-0.6826）=0.1587,

所以E（X）=0+100x0.3413+200x0.1587=65.87（元）故选：B

6.（2021•山东聊城一中模拟预测）在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称

为视星等“，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等它能反映天体的发光本

领.如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这

些恒星的距离.下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差y关

于距离X（光年）的回归方程类型的是（）

星名天狼星南河三织女星大角星五车二水委一老人星参宿四

距离X8.611.462536.7142.8139.44309.15497.95

y=m-M-2.89-2.27-0.570.260.593.154.885.92

A.y=a+bx2B.y=a+b\gxC.y=a+b\[xD.y=a+bx

【答案】B

【分析】由表格数据在直角坐标系中标注点坐标，勾画出大概图象，对比Rlgx,4,x的图象，即可知其回

归方程类型.

【详解】根据表格数据，在直角坐标系中从左至右依次标注表格数据代表的点，拟合曲线如下图示，

A.用相关指数店来刻画回归效果，R?越小说明拟合效果越好

B.已知随机变量X~N（5Q2）,若P（X<1）=0.1,则P（XM9）=0.9

3

C.某人每次投篮的命中率为：，现投篮5次，设投中次数为随机变量则E（2Y+1）=7

D.对于独立性检验，随机变量K?的观测值A值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大

【答案】A

【分析】对于判断个命题真假，只要对各选项逐个判断即可.对于A相关指数越大说明拟合效果越好，题中

说法相反：对于B根据正态分布图像知x<l概率与x>9概率相同，即可判断x«9的概率为0.9；对于C可

以根据二项分布丫~8',|）得出E（Y）=3从而求解；对于D根据独立性检验知识判断即可.

【详解】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；

对于B选项，正态分布图像关于x=5对称，因为*<1概率为0.1,所以尤>9概率为0.1,故X49的概率为0.9，

故B正确；对于C选项，服从二项分布丫~《5,|）,因此E（y）=3,则E（2Y+1）=7,故C正确；

对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量R2的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信

度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确.故选:A

8.（2021•河北•大名县第一中学高三阶段练习）若（1-2力刈'=4+平+%…+%。涓叫则

aa）

-^\-+,—2+,•••,4%-”^―--/（\）

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】C

【分析】根据题意写出2并求出£+袋+…+舞•，进而结合二项式定理求得答案.

r

【详解】由题意得ar=C201l（-2）,二£+崇+…+=_匾1+Cou-/”+•••+C郡-C型;.

-Co”+c；ou-CM”+…=（i一i）-°"=0,；.今+故+…+^H}=-i.故选：c.

二、多选题

9.（2021•吉林松原•高三阶段练习）y<P<l,随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（）

4

X012

Pp-P2PP-

A.P（X=2）的值最大B.P（X=O）<P（X=1）

C.E（X）随着概率的增大而减小D.E（X）随着概率的增大而增大

【答案】BD

【分析】本题可通过取P=T得出A错误，然后通过尸-4<i_p得出B正确，最后通过

E（X）=2（P-11+（得出C错误，D正确.

【详解】当月=!时，P（X=2）=1P（X=l）=l-i=l>lA错误；

因为:<尸<1,所以P-^='1-P）vl-P,即尸（X=O）<P（X=1）,B正确，

E（X）=0-P）+2产=2（P-

因为:<P<1,所以E（X）随着P的增大而增大，C错误，D正确，故选：BD.

10.（2021•重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球,

3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，4和4表示从甲罐取出的球是红球、

白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以8表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）

A.P（B|A）=nB.P（B）=-

C.事件B与事件A相互独立D.A，4，A3两两互斥

【答案】AD

【分析】首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.

【详解】由题意知A，&,A?两两互斥，故D正确；

1A

尸⑷得4尸⑷44叩⑷"式吃故A正确；

2

P（邳4）=q,P（B|4）=A，P（B）=P（A,B）+P（A2B）+P（A3B）

=2（4）明4）+网4）明&）+*4）尸国4）=39+3-青.=9明4）,

所以8与A不是相互独立事件，故B,C不正确.故选：AD.

11.（2021•湖北武汉•高三期中）已知二项式（如-9],则下列说法正确的是（）

A.若a=2,则展开式的常数为60B.展开式中有理项的个数为3

C.若展开式中各项系数之和为64,则“=3D.展开式中二项式系数最大为第4项

【答案】AD

【分析】写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析

/IY_3

【详解】A选项：当。=2时，0|=C；(2X)6-'一工[=(_])，C；26-”T',其中r为整数，且04Y6,令

3

6--r=0,解得：厂=4,此时(-1)'屋26T=15x4=60,故常数项为60；A正确；

B选项：&=墨(以)6[_—=(-1)‘2产56：’,其中/■为整数，且0K46,

3333

当r=0时，6-—r=6,当r=2时，6--r=3,,当r=4时，6--r=0,,当厂=6时，6-—r=-3,满足

有理项要求，故有4项，故B错误；

C选项：令中的x=l得：(4-1)6=64,所以a=3或。=-1,故C错误；

D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最

大为第4项，D正确故选：AD

12.(2021•全国•模拟预测)如果知道事件X已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息设随机变量X

的所有可能取值为占，々，…，x”,且〃(均)>0«=1,2,…,〃)，£p(xj=l,定义X的“自信息”为

»=1

/(x,.)=-10g2/7(x,.),一次掷两个不同的骰子，若事件A为“仅出现一个2”，事件B为“至少出现一个5"，事

件C为“出现的两个数之和是偶数”，则()

A.当以％)=1时,“自信息”/(4)=0B.当p(%)>p(w)>0时,/&)>/(%)

C.事件C的“自信息”/(C)=lD.事件A的“自信息”/(A)大于事件8的“自信息”/(8)

【答案】ACD

【分析】根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概

率计算公式，求出尸9),得到/(C),即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件A与

事件8发生的概率，得出/(A)勺/(B),即可判断D正确.

【详解】A选项,当p(%)=l时，/(x,)=-log2l=0,即A正确；

B选项，因为对数函数y=logzX是增函数，所以y=Tog2*是减函数；因此，当p(xJ>p(X2)>0时，

-log2/?（%,）<-log2p[x2）,即故B错；

c选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为6x6=36个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情

况有：1+1,1+3,1+5,2+2,2+4,2+6,3+1,3+3,3+5,4+2,4+4,4+6,5+1,5+3,5+5,

1Q1

6+2,6+4,6+6共18个基本事件；KiJP（C）=^=-,所以/（C）=-log,"（C）=1,故C正确；

362

D选项,事件A“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（1,2）,（3,2）,

（4,2）,（5,2）,（6,2）共10个基本事件；

事件8“至少出现一个5”,所包含的基本事件有：（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（1,5）,（2,5）,

（3,5）,（4,5）,（6,5）共11个基本事件;

所以P（4）=¥=2，尸（B）=工，则尸⑷<P（B）；因此/（A）>/（B）,即DIE确；故选：ACD.

361836

三、填空题

13.（2021•北京市第五中学通州校区高三期中）从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里

快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数

的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是—

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里；

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；

年份

【答案】②③

【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可.

【详解】①看2014,2015年对应的纵坐标之差小于2-15=0.5,故①错误;

②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；

③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；

④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；故答案为：②③.

14.(2021•浙江•台州一中高三期中)某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如

下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有种.(用数字作答)

【答案】624

【分析】讨论中的位置，把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列排列即可求解.

【详解】当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有右&=240：

当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有4A；河=192：

当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有&&=192；

因为共有240+192+192=624.故答案为：624.

15.(2022•浙江•模拟预测)2021年7月1日是中国共产党成立100周年，小明所在的学校准备举办一场以

音乐为载体的“学史知史爱党爱国”歌曲接龙竞赛.该竞赛一共考察的歌曲范围有10首，由于7月学考临近,

作为参赛选手的小明没有时间学习全部歌曲，只能完整学会这其中的8首.已知小明完整学会的歌曲成功接

上的概率为0.9,没有完整学会的歌曲成功接上的概率为04比赛一共考察10段歌词，每段歌词选自的歌曲

均是考察范围内的歌曲，且考察不同歌曲的概率均相同，每首歌曲均可以重复考察.己知每答对一段歌词得

10分，答错不扣分.设小明得分是X分，则尸(%>20)=(用类似〃+二的形式表示)，E(x)

41

【答案】1-伸80

【分析】由题意算出每段歌词答对的概率为之，然后设小明回答io段歌词答对的个数为乙则

然后由二项分布的知识可得答案.

【详解】山题意可得，每段歌词答对的概率为8帚全9於2左4三4

设小明回答10段歌词答对的个数为y,则丫~8(10,[)

所以p(x220)=i—尸(y=i)-p(y=o)=i-c：°.m[-(gy=i-3

因为E（y）=10xg=8,所以E（x）=10E（y）=80故答案为：1一嬴80

16.（2021•辽宁•沈阳二中模拟预测）下列说法正确的是

①函数y=〃l+x）与函数y=.f（l-x）关于直线x=l对称

②若A、B、C两两独立,则尸（45.C）=P（A）P（B）P（C）

③方程x'=l（xeC其中C为复数集）的解集为{1}

@MBC,角A的外角分线交BC的延长线于点。，则黑=黑

⑤通过最小二乘法以模型y=c产去拟合一组数据时，可知y=c/过点点J）

⑥通过最小二乘法以模型y=c*去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性

方程z=0.3x+4,则。,左的值分别是e4和0.3.

⑦已知点42,1）,8（3,2）,且。为原点，则向量方在向量而上的投影的数量为史叵

13

【答案】④⑥⑦

【分析】用函数、概率、复数、解三角形、线性回归方程、向量等知识分别对7个命题判断真假即可.

【详解】对于①：函数y=/（i+x）与y=/（i-x）关于直线*=0对称.故①错误;

对于②：P（4&C）=P（A）P（B）P（。成立的前提条件是“A、B、C相互独立"，而由A、8、C两两独立不

能得出A、B、C相互独立.故②错误;

对于③：方程d=l（xeC）的解有三个：x,=\,x=」+且八工」一立八故③错误;

22322

对于④：在△ABD中，由正弦定理得黑=出，黑，在98中，由正弦定理得

BDsinZBAD

ARACARRD

ACsinZADCsinZADB依题意知sinNR4Z)=sinNC4Q,所以黑=左，即会=能.故④正确;

CD-sinACAD~sinZCADBDCDACCD

对于⑤：设z=lny,则z=h+lnc,由最小二乘法原理知z=Ax+lnc过点(1,z),而

2=—(inV)+lny2H----1-Inyn)y.故⑤错误；

对于⑥：设z=lny,则z="+lnc,依题意可知2=0.3,lnc=4即c=e".故⑥正确;

一，、一，、OAOB88M

对于⑦：04=(2,1),08=(3,2),则方在而上的投影为诲[=正=〒.故⑦正确.

故答案为：④⑥⑦.

【点睛】(1)若函数/(x)满足对VxeR,都有/(a+x)=/3-x),则函数/(*)的图象关于x=。对称；

(2)函数y=/(a+x)与y=/(a—x),二者图象关于x=0(V轴)对称.

四、解答题

17.(2021•山东省实验中学一模)2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少

学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、B两种套餐(每人每次只能

21

选择其中一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A类套餐的概率为§、选择3类套餐的概率为耳.而

13

前一天选择了A类套餐第二天选择A类套餐的概率为:、选择8套餐的概率为前一天选择8类套餐第

二天选择A类套餐的概率为3、选择8类套餐的概率也是如此往复.记某同学第〃天选择A类套餐的概

率为A.(1)证明数列是等比数列，并求数列｛2｝的通项公式；(2)记高三某宿舍的3名同学在

复课第二天选择A类套餐的人数为X,求X的分布列并求E(X)；(3)为了贯彻五育并举的教育方针，培

养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全

体同学分发套餐.如果你是组长，如何安排分发A、B套餐的同学的人数呢，说明理由.

【答案】(1)证明见解析，-；(2)分布列见解析，1；(3)A套餐的8人，8套餐的12

515<

人；理由见解析.

【分析】(1)依题意得匕M=5,X；+(l-q,)xg,根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数

列通项公式求得｛月-^｝的通项，即可求得｛匕｝的通项公式；(2)依题意求得第二天选择A、8类套餐的概

率，列出X的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；(3)由｛月｝的通项公式得当“(，根据总

人数即可求得分发A、8套餐的同学的人数.

I।21(2、

【详解】(1)依题意，^+l=^,x^+(l-^)xl,则=

当〃=i时，可得.•.数列是首项为2公比为的等比数列.

515[5J154

（2）第二天选择A类套餐的概率舄=|x；+gxg=g；

23112

第二天选择8类套餐的概率品+=§,

...3人在第二天的有X个人选择A套餐，X的所有可能取值为0、1、2、3,

有P（X=»=C；E）（|）仅=0,1,2,3）,,X的分布列为

X0123

8421

P

279927

ift£：(X)=0x—+lx-+2x-+3x—=1.

279927

（3）由（D知：修=1一《［一；］，•♦•/=：，即第30次以后购买A套餐的概率约为羡.

51514J55

2

则20xg=8,20-8=12；.负责A套餐的8人，负责B套餐的12人.

【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值;

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如

超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）

18.（2021•江苏南通•模拟预测）2020年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台

各项政策支持企业复工复产，以减轻企业负担.为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职

工，在甲、乙两行业里随机抽取了200名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在2000元

到8000元之间，具体统计数据见下表.

月薪/[2000,[3000,[4000,[5000,[6000,[7000,

元3000)4000)5000)6000)7000)8000)

人数203644504010

将月薪不低于6000元的工人视为“I类收入群体”，低于6000元的工人视为“II类收入群体”，并将频率视为

概率.（1）根据所给数据完成下面的2x2列联表：

I类收入群体II类收入群体总计

甲行业60

乙行业20

总计

根据上述列联表，判断是否有99%的把握认为“〃类收入群体”与行业有关.

附件：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃

k3.8416.63510.828

P(K2>k)0.0500.0100.001

（2）经统计发现该地区工人的月薪X（单位：元）近似地服从正态分布N（〃/40（）2）,其中〃近似为样本的平

均数口每组数据取区间的中点值）.若X落在区间（M-2b，M+2b）外的左侧，则可认为该工人“生活困难”，政

府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助.

①已知工人王强参与了本次调查，其月薪为2500元，试判断王强是否属于“生活困难’’的工人；

②某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于〃的获得两次赠送，月薪不低于〃的

获得一次赠送.每次赠送金额及对应的概率如下：

赠送金额/元100200300

J_

概率_1_

236

求王强获得的赠送总金额的数学期望.

【答案】（1）列联表答案见解析，没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关；（2）①王强不属于“生

活困难”的工人；②竿.

【分析】

（1）根据已知数据，补充列联表，进而计算即即可判断；

（2）①根据题意，计算对应的平均数，再结合正态分布求解即可；

②结合①得y的可能取值为200,300,400,500,600,再根据独立事件的概率求解概率分布列，计算期望

即可.

【详解】

解析（1）2x2列联表如下：

I类收入群体II类收入群体总计

甲行业306090

乙行业2090110

总计50150200

片=（30x9。-20x6。"。=200。6661V6.635,

50x150x90x11033

从而没有99%的把握认为TI类收入群体”与行业有关.

(2)①所调查的200名工人的月薪频率分布表如下:

月薪/

[2000,3000）[3000,4000）[4000,5000）[5000,6000）[6000,7000）[7000,8000）

元

人数203644504010

频率0.10.180.220.250.20.05

所以〃=2500x0.1+3500x0.18+4500x0.22+5500x0.25+6500x0.2+7500x0.05=4920.

因为这200名工人的月薪X服从正态分布N(〃,MOO?),

所以b=1400，

从而〃-2。=4920-2800=2120.

因为王强的月薪为2500元，2b=2120,所以王强不属于“生活困难”的工人.

②由①知〃=4920,王强的月薪为2500元，低于4920元，所以王强可获赠两次购物券，从而他获得的赠

送总金额丫的可能取值为200,300,400,500,600,则

P（y=200）=gx；=；,

P（r=300）=C^xlxl=l,

p（y=4oo）=-xl+c'x-!-x-=—

P（r=500）=C^x1xl=l,

p（r=6oo）=-xl=—,

6636

故y的分布列如下:

Y200300400500600

£5]_1

P

4318936

所以王强获得的赠送总金额的数学期望E(y)=200x!+300x4400x[+500x!+600xL=要.

43189363

【点睛】本题考查独立性检验，独立事件的概率分布列，正态分布的应用，考查数据处理能力，运算求解

能力，是中档题.本题解题的关键在于认真审题，从试题中提炼数据，进而结合相关知识求解.

19.(2021•山东烟台•模拟预测)如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A,

B,C三个区域每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A,B,C中的某一个区域现有一款游戏：每局交

10元钱随机转动上述转盘3次；每次转动转盘时，指针停留在区域4B,C分别获得积分10,5,0；三次

转动后的总积分不超过5分时获奖金2元，超过25分时获奖金50元，其余情况获奖金5元.假设每次转动

转盘相互独立，且指针停留在区域A,B的概率分别是p和2P(0<p<>.

(1)设某人在一局游戏中获得总积分为5的概率为/(P),求/(P)的最大值点外；(2)以(1)中确定的也

作为P值，某人进行了5局游戏，设“在一局游戏中获得的总积分不低于5”的局数为求J的数学期望;

(3)有人注意到：很多玩家进行了大量局数的该游戏，不但没赚到钱，反而输得越来越多.请用概率统计的

相关知识给予解释.

(3)答案见解析.

【分析】(1)先求得/(P)，然后利用导数求得力.(2)利用二项分布的知识求得EJ.

(3)设每一局游戏中获得的奖金数为X,求得E(X),利用导数求得E(X)<10,从而作出解释.

【详解】(1)由题可知,f(p)=C；(2p)(l-3p)2=54/-36p2+6p(0<p<》，

所以/5)=162/-72〃+6,令f(p)=0,得。="或p=；(舍去)，

当pe(0,")时，/(p)>0,〃P)单调递增，当peg,>时，/")<0,/(P)单调递减，

所以当p=w时，/(P)取得最大值，故/(P)的最大值点为=，

(2)由⑴知所以每一局游戏中总积分不低于5的概率P|=l-(l-3p)3=l-(l-:)3=2，

9327

191995

由题意可知4~8(5,二)，所以拶=5xu=u.

272727

(3)设每一局游戏中获得的奖金数为X,则X的所有可能取值为2,5,50；

p(X=2)=(1-3p)3+C；(1-3p)2(2p)=27/-9/-3p+1,

p(X=50)=/,p(X=5)=1-(27p'-9/-3p+1)-/=-28/+9/+3p,

所以E(X)=2x(27/_9p2_3p+i)+50/+5(_28/+9/+3。)=-36/73+27p2+9/7+2,

令g(P)=-36/Z+27/+9。+2,则g，(")=-l°8/?2+54〃+9，pe(0,^).

因为g(P)在(0,3单调递增，所以g(P)>g'(O)=9>O,g(P)在(0,3单调递增，

6o

E(X)=g(p)<g(])=曰<1°•

所以，每局游戏获得奖金的期望远低于所交的钱数，玩得越多，输得越多.

20.(2021•湖北•黄冈中学三模)科教兴国，科技强国.探索浩潮宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工

作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共

同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.

(1)为助力我国航空事业，某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，

产品的次品率会大幅度增加.为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生

产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在了(单位：百件)件产品中，得到次品数量y(单位：件)的情况

汇总如表所示，且y(单位：件)与了(单位：百件)线性相关：

X(百件)520354050

y(件)214243540

请根据表格中的数据，求出)‘关于x的线性回归方程：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，

请判断可否安排一小时试生产10000件产品的任务？(2)“战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某

项试验任务，一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为匕，6,勺，假设舄互不

相等，且假定各人能否完成任务相互独立.①如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能完成的

概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

②假定1>6>6>A,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.

（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程9=gx+G的系数公式，

b=-------------=上—............,a=y-bx.）

£（七一元y

i=li=l

55

（参考数据：Z匕M=5x2+20x14+35x24+40x35+50x4（）=4530,^x,2=52+202+352+402+502=5750.）

i=l/=1

【答案】（1）5>=0.864%-2.92,可以安排一小时试生产10000件产品的任务；（2）①甲最先，乙次之，丙

最后的顺序派人，任务被完成的概率为：6+£+6-［6-4乙-£6+6鸟〃；任务能被完成的概率不会发

生变化；②先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.

【分析】（1）根据所给数据求得线性回归直线方程，用x=100代入求得估计值可得；（2）根据相互独立事

件同时发生的概率公式计算概率可得；（3）按派出顺序求出概率分布列，计算出期望，比较可得丙先派出

期望较大，因此比较甲乙咖个先派出的期望后可得结论.

_5+20+35+40+502+14+24+35+40

【详解】（1）由已知可得:x=-----------------------=30,=23.

5

又因为m?+202+35?+4()2+502=5750,=5x2+20x14+35x24+40x35+50x40=4530

i=i»=I

________4530—5x30x231080

山回归直线的系数公式知:b=-^-------------