平面向量的概念及其运算-2022-2023学年高一数学知识考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）

知坎概要/

1.向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.

2.零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的.

3.单位向量：长度等于1个单位的向量.

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量.

6.相反向量：长度相等且方向相反的向量.

1.向量的加法

（1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接”

（2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点”

（3）向量加法的运算律

①交换律

②结合律

【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向

量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.

②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.

2.向量减法

B

【点拨】①向量减法的三角形法则中，前表示a一儿强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量

a,6的差向量a—"可以简记为“共起点，连终点指向被减”.

AaB

②如图，以48,A。为邻边作平行四边形A2C£>,则两条对角线所对应的向量成

—a一b.

3.向量的数乘

(1)

定义一般地，实数4与向量。的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作加

长度|阿=|川⑷

2>0施的方向与a的方向相同

方向4=0觞=0(零向量!)

2<0施的方向与a的方向相反

(2)几何意义：入a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|X|倍.

(3)运算律

设入〃为实数，则

(1)2(//〃)=

(2)(A+[i)a=+〃〃；

(3祝3+3=为+刃(分配律).

特别地，我们有(一％)〃=—(〃)="一。)，2(〃一3=脑一劝.

【点拨】对于非零向量”，当2==时，痴表示。方向上的单位向量.

4,向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数入山、〃2,恒有九@遂士〃2刃

=加1〃±〃/2办.

1.共线向量定理：向量a(行0)与方共线，当且仅当有唯一一个实数九使得占=%.

【点拨】①定理中存0不能漏掉.若a=b=O,则实数2可以是任意实数；若。=0,b桃,则不存在实数九

使得6=〃

②定理的另种形式：若存在不全为0的一对实数f,s,使ta+s5=0,则“与》共线；若两个非零向量”与

》不共线，且Za+s5=0,则必有f=s=0.

2.平面向量共线定理的三个应用

证明向对于非零向量a・b.若存在实数入，使a=油，

量共线贝寸Q与b共线

证明三若存在实数，使池=;1/.刘与茂有公

点共线共点A,则A,B,C三点共线

求参数利用向量共线定理及向量相等的条件列方

的值程(组)求参数的值

1.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与方,我们把数量⑷|b|cosd叫做a与b的数量积(或内积)，

定义

其中。是。与〜的夹角

记法记作ab,即a'b=\a\\b\cos0

规定零向量与任一向量的数量积为0

投影⑷cos。(|例cos。)叫做向量a在方方向上S在a方向上)的投影

几何意义数量积ab等于a的长度⑷与力在Q的方向上的投影忸|cos。的乘积

2.两个向量数量积的性质

设a、，都是非零向量，

(l)a_L)0a・>=0.

(2)当a与力同向时，a-b=\a\\b\；当丘与I反向时,。必=一|。|步|.特别地,aa=a1=|a|2^\a\=\[a^a.

(3)\a-b\<\a\\b\.

3.平面向量数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数九

(1)交换律：ab=ba.

(2)结合律：(%〃)仍=义(〃6)=〃•(肪)・

(3)分配律：(a+byc=ac+bc.

考点速比/

平面向量的有关概念

向量的线性运算㊉

共线向量旃及其应用

单位向量的应用

平面向量的概念及其运算

平面向量的数量积

向量的投影

向量的数量积与喇问题

向量的数墨积与夹角问题

<-------------:

考虑精折，

考点01平面向量的有关概念

【典例11（2022春•山东聊城•高一期中）下列命题中正确的个数是（）

①起点相同的单位向量，终点必相同；

②已知向量AB〃CZ），则AB,C,。四点必在一直线上；

③若a〃》1〃c,则d〃e；

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，

【详解】对于A,单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误,

对于B,向量M〃C£＞，则ABC。四点共线或AB〃CD,故B错误，

对于C,若。〃46〃c,当6=0时，不一定平行，故C错误，

对于D,若421三点共线，则此时起点不同，终点相同，故D错误，

故选：A

【典例21【多选题】(2022•高一单元测试)下列说法中正确的是()

A.若G，02为单位向量，则4=02B.若。与g共线，贝=b或二=)

C.若问=0,则”0D.j是与非零向量a共线的单位向量

【答案】CD

【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，向量4^2的方向不一定相同，所以A错误;

对于B中，向量0与6的长度不一定相等，所以B错误；

对于C中，由同=0,根据零向量的定义，可得a=0,所以C正确;

a1a

对于D中,由同二时“，可得口与向量。同向,

a

又由n的模等于1，所以口是与非零向量.共线的单位向量，所以D正确.

故选：CD.

【易错提醒】

有关平面向量概念的注意点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.

(4)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.

(5)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.

考点02平面向量的线性运算

【典例3】(2023秋・北京房山.高一统考期末)在中，。为BC的中点，则()

A.AD=AB+ACB.A£>=|AB+|AC

C.BC^AB-ACD.BCJAB-EAC

22

【答案】B

【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可.

【详解】解：因为ABC中，。为BC的中点，

所以8C=CAD=AB+^BC=AB+^AC-AB）=^AB+^AC,

故选：B

3

【典例4】（2023•高一单元测试）已知A5二-二3。，若记AC/胡，则4=______.

4

【答案】I

【分析】由向量的线性运算，求解2的值.

【详解】AB=-^BC=-^-（BA+AC）,

44、）

44，

BA+AC=——AB=-BA,

33

41

则有AC=§5A-明=］明，

A=—.

3

故答案为：（

【总结提升】

1.关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性

运算求参数.解题过程中应注意：

①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形

法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.

②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

2.平面向量的线性运算技巧

（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线

等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

3.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.

(3)比较、观察可知所求.

考点03共线向量定理及其应用

【典例5】(2021.全国.模拟预测)在ABC中，AE=-2CE>/为边A3上一点，BE与CF交于点O,若

AO=-AB+yAC,贝ijy=（）

B.2

A・—2C

3-1

【答案】A

【分析】

结合图形，根据平面向量的共线定理和向量的线性运算，得出=从而有=最

13

后利用共线向量基本定理的推论得出:+]y=l,即可求出y的值.

【详解】

解：,:AE=-24,，则AC=gAE，

-1—f1-3-

.・.AO=-AB+yAC=-AB+-yAE,

13

：：O,B,E三点共线，所以7+；；丫=1,

42

解得：y=g,

故选：A.

【典例6】(2023•高一课时练习)四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形，，汉与CG相交于点

则下列关系中正确的序号是

①网=同；©AB//FH;③BD//EH;®DCIIEC.

【答案】①②④

【分析】根据模长相等的向量、平行向量的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，「四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形，,=即网=网，①正确;

对于②，AB//CD//HG,:.AB//FH,则A5与尸”反向，,AB//“，②正确；

对于③，若BDHEH,则BD//EH,NBDC=NDEH,

若四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的正方形，如下图所示，

此时tanN3DC=l,tanZDE”=1,即NBDC#ZDEH,③错误;

对于④，3CE三点共线，。6?,£^方向相反，,1。。/比，④正确.

故答案为：①②④.

【典例7X2023秋・北京房山•高一统考期末)已知向量不共线，且。4=2"匕，OB=3a+6,OC=a+Xb.

⑴将AB用a,/?表示；

(2)若。4〃OC，求4的值；

(3)若4=一3,求证：A,B,C三点共线.

【答案】⑴AB=a+2Z?;

(2)-；;

(3)详见解析.

【分析】(1)根据向量的减法运算即得；

\1—t

（2）根据向量共线定理可得。4=/OC，进而可得,,,即得;

—1=M

（3）由题可得AC=-AB，然后根据向量共线定理结合条件即得.

【详解】（1）因为04=2〃-。，OB=3a+b

所以AB=OB—OA=3a+b—（2a—b^=a+2b；

⑵因为。4//OC，0A=2a-b^OC=a+Ab^

所以。4=，0乙，即2〃-。+,又向量〃，Z?不共线，

f2=t1

所以，，，解得仁2,彳=-：，

即A的值为;

（3）当；1=-3时，0A=2a-b，OC=a-3b，AB=a+2b,

所以AC=OC_Q4=a_36_（2a_b）=_a_26=_AB,

所以AC〃AB，又AC,A月有公共点A,

所以A,B,C三点共线.

【总结提升】

求解向量共线问题的注意事项

（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定

系数法和方程思想的运用.

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线

且有公共点时，才能得到三点共线.

考点04单位向量的应用

【典例8】（2023•高一课时练习）已知。为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点。满足:

OD=OA+A普++

〔网MJ.则点。一定在,48。的.线所在直线上.

【答案】角A的平分

ABACABAC

【分析】根据的，的分别表示平行于AB,AC的单位向量,M+M平分，BAC求解.

、

【详解】解:因为00=04+4

所以=%I网—J+回1----1

A5AC

而屈p扃分别表示平行于AB,AC的单位向量,

ABAC

所以国+口q平分N5AC，即A。平分NA4C,

所以点。一定在ABC的角A的平分线所在直线上，

故答案为：角A的平分

【总结提升】

非零向量a与3的关系：滔是与a同方向的单位向量，一涓是与a反方向的单位向量.

㈤Ia\Ia\

考点05平面向量的数量积

【典例9X2022春・吉林长春•高一校考期中）如图，已知平行四边形A8CD的两条对角线相交于点M,P是

的中点，若|AB|=4,|AO|=2,且/BAD=60,则APCB等于（）

【答案】A

【分析】将A尸和C5都用AB和AD表示，然后进行数量积运算可得答案.

【详解】由题意得

13-1.

AP=-(AD+AM)=-AD+-AB,CB=DA=-AD,

244

贝UAPCB=(-AD+-AB)-(-AD)=--AD--ADAB=-4.

4444

故选：A.

【典例10】(2023•高一课时练习)在ABC中，|叫=3,M|=4,ZC=30°,则BC-CA=

【答案】-673

【分析】由题得，BC与Q4的夹角为150。，结合平面向量数量积公式解决即可.

【详解】由题知，,4=3,|AC|=4,ZC=30°,

所以BC与CA的夹角为150。，

所以8℃4=忸4同8$150。=3.4.--=一6—,

I2?

故答案为：-6框.

【总结提升】

求向量的数量积的两个关键点

(1)求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.

(2)若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关

公式进行化简.

考点06向量的投影

【典例11】(2023•高一课时练习)已知同=4,忖=5,当々〃耐，b在a方向上的投影数量为;当

时，〃在a方向上的数量投影为;当卜,可=60。时，，在°方向上的数量投影为.

【答案】±50g

【分析】根据》在a方向上的投影数量为：Wc°s<a，b>=7代入求解.

【详解】"在a方向上的投影数量为：Wcos<a,6>=(

当.〃6时<a,6>=0°或者<a*>=180°,所以Wcos<a,>>=鲁=±5

当a_Lb时<>=90°,所以,卜°$<a,b>=-r-r-=0

一H

当(。,6)=60°时，所以Wcos<o,b>=j^=5xcos60°=|

故答案为：±5,0

【规律方法】

求一个向量在另一个向量方向上的投影时，首先要根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式

计算即可.

考点07向量的数量积与模的问题

【典例12]（2023•高一课时练习）已知向量.与b的夹角9=120?,忖=4,帆=2,求

（l）（rb;

⑵卜a-40.

【答案】（DT

⑵4M

【分析】（1）由数量积的定义计算；

（2）把模平方转化为数量积的计算.

【详解】（1）根据数量积的定义可得am=AWcose=-4

（2）13a-时=9忖2+16彳-24。.6=144+64+96=304,

所以pa-叫==4M

【总结提升】

利用数量积求解长度（模）问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法是：

（1）a=〃•〃=|a|2或同=y[a^a.

（2）±Z?|=yl（a±b）2=ya+b±2a-b.

考点08向量的数量积与夹角问题

/.、

ARAC

【典例13】（2022春.江苏泰州•高一校考阶段练习）已知非零向量AB、AC满足^+i一rBC=0,且

UABIlACU

ABAC1

网•网=5,则树的形状是（）

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰（非等边）三角形D.等边三角形

【答案】D

/、

ABAC1

【分析】由।_|+1_।•8C=0可得AB=AC,再由画,扇=5可求出/A，即得三角形形状。

ABAC

【详解】解：因为777；和G分别表示向量AB和向量方向上的单位向量，

IA8|AC

/、

AD\r

由总+nBC=O,，NA的角平分线与3C垂直，

UABIlACU

ABC为等腰三角形，且AB=AC,

ABAC1

2AB20=21431•|AC|vosA且冏.6=7，

\AB\lACl2

cosZA=^,又NAe（O,1）,

N/A4——冗,

3

71

N3=NC=NA=-,

3

，三角形为等边三角形.

故选：D.

【典例14】（2023•高一课时练习）已知〃、6都是非零向量，且a+3b与7”5b垂直，°-4〃与7”26垂直，

求.与方夹角的大小.

【答案】y

【分析】设夹角为6，由向量的垂直建立方程组联立解出口、的关系，然后利用夹角公式求解即可.

【详解】因为0、方都是非零向量，

由〃+3。与7〃-5人垂直，

贝|J（a+3力）•（7〃-5力）=0,

BPla+i6a-b-15b=0，①

由a-4。与7a-2Z?垂直，

贝lj（a-4人）.（7〃-2b）=0,

BP7a-30a-b+Sb=0^②

①一②得：2a'b=b=|/?|,③

③代入①得：w=w，

设a与6夹角为1。，则cos6=।)=2,=—,

H-HW2

因为640,兀］,所以6=1,

所以a与6的夹角为土

【总结提升】

1.应用向量夹角公式cos〈a,b)=箭，要注意涉及到了向量运算和数量运算.

2.注意应用a.Lb^ab=0.

真题探秘/

1.(2022•全国•统考高考真题)在二ABC中，点。在边A5上，BD=2DA.记C4=〜CD=〃，则C3=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边上，BD=2DA,所以j?£)=2Z)A，BPCD-CB=2(CA-CD^,

所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故选：B.

2.(2020•全国•统考高考真题)已知向量a,b满足1。1=5,\b\=6,a-b=-6>则cos<a,a+6>=()

A31191719

A.----D.-----C.---Lf.---

35353535

【答案】D

【分析】计算出。♦(〃+力)、“的值，利用平面向量数量积可计算出cos<〃,〃+B〉的值.

［详解］忖=5,|“=6,&•b=—6，.,.々•(〃+6)=同+Q-5=52_6=19.

\a+t\=J(a+b)=+2a-b+b=025-2x6+36=7，

a+b)1919

因止匕，cos<a,a+b>=

卜|.卜+05x735

故选：D.

一、单选题

1.（2023秋・北京西城•高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC-AB=（）

A.CBB.ADC.BDD.CD

【答案】B

【分析】根据向量运算得AC-AB=AD

【详解】由图知AC-AB=8C=A。，

故选：B.

2.（2022春•陕西渭南•高一渭南高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若卜卜卜卜则a=c

B.若W妨，则存在唯一实数2使得“=X。

C.若a//6，bile，贝1U〃C

a

D.与非零向量d共线的单位向量为土同

【答案】D

【分析】对A,向量模相等，则向量相等或相反；对B,向量共线定理判断；对C,利用向量平行（或共线）

的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.

【详解】若“=卜|,则“=或&=e,所以选项A错误；

若6=0,a/0，此时2不存在，选项B错误；

若石=0，由〃///?,bile，不一定得到a〃c，选项C不正确；

由向量G为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.

故选：D.

3.(2023•高一课时练习)对于非零向量0与6,下列不等式中恒成立的是()

A.a-Z?>|a|-|z?|；B,a-/?<|a|-|z?|；C.a-Z?>|a|-|z?|；D.<|a|-|ft|.

【答案】B

【分析】由向量数量积公式，结合cosOe[-l,l],可判断答案.

【详解】设非零向量a与6的夹角为凡则。«0,兀],cos0e[-l,l],

贝a•b=M-|/?|-cos^<|a|-|/?|

故选：B

4.(2020•全国•统考高考真题)已知单位向量。，b的夹角为60。，则在下列向量中，与b垂直的是()

A.a+2bB.la+bC.a~2.bD.2a—b

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

【详解】由已知可得：a-^=|«|-|z?|-cos60°=lxlx^=^.

.215

A：因为(a+2Z?).)=2》=—+2xl=—^0,所以本选项不符合题意；

---21一

B：因为(2a+b)2=2a•人+人=2x—+l=2^0,所以本选项不符合题意；

„213

C：因为(a—2Z?).》=〃.》-25=——2xl=——^0,所以本选项不符合题意；

一-一21

D：因为(2。一与2=2。力一6=2x--l=0,所以本选项符合题意.

故选：D.

5.(2023•高一课时练习)已知两个非零向量a、6满足卜+目=卜-@,贝|()

A.a//bB.a-LbC.a=bD.a+b=a—b

【答案】B

【分析】由卜+q=|〃-q两边平方，结合数量积的性质化简可得结论.

【详解】因为卜+*卜-q，所以+

所以(a+b)=(〃-])，化简可得4a.0=()，又a、B为非零向量,

故〃_LZ?，

故选：B.

6.（2023・高一课时练习）已知在ABC中，AB=AB-AC+BABC+CACB>则ABC是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用平面向量的加法、减法法则以及数量积的运算律即可求解.

【详解】由题可知A，-AB.AC=2AIC+C4CB，

所以A8.（A8-AC）=8C.（BA-CA）,

即ABCB=BCBC,

所以ARBC+8C-BC=0即BC-（AB+BC）=0,

所以BC-AC=0，所以BC_LAC,

所以ABC是直角三角形.

故选:A.

二、填空题

7.（2023•高一课时练习）已知卜|=2,°与b的夹角为奇，e是与B同向的单位向量，则a在b方向上的投

影向量为.

【答案】-e

【分析】根据则£在心方向上的投影向量的定义可得

【详解】£在6方向上的投影向量为Wcos<a,6>-e=2cosg•工=-）,

故答案为：-e.

8.（2023・高一课时练习）已知同=5,忖=8,且d与6的夹角为150,则e8=.

【答案】-206

【分析】根据向量数量积的定义可直接求得结果.

【详解】a-^=|a|-|^|cosl50=5x8x一3=-20』.

I2）

故答案为：-20石.

9.（2022•全国•统考高考真题）设向量°,b的夹角的余弦值为g，且忖=1,1|=3,则（2a+6）/=.

【答案】1