函数y＝Asin(ωx＋φ) 讲义（知识点 考点 练习）人教A版（2019）高一数学必修第一册

5.6函数y=/sin（0x+9）

知识点A,co,夕对函数j=Nsin3x+°）图象的影响

1.夕对了=5由（》+9）,xGR图象的影响

2.①（（y>0）对y=sin（cwx+3）图象的影响

考点一求解析式

【例1】(2020•韶关市第一中学期末)已知

/(x)=Asin(»x+^)(A>O,®>O,|^|<7z-),其部分图象如图所示，则/(%)的解

析式为()

17115〃

A./(x)=3sin-x-\——B./(x)=3sin—x-----

2626

15冗1n

C./(x)=3sin—x+——D./(x)=3sin—x----

2626

【练1】(2020•浙江高一课时练习)若函数y=sinn(«x+^)(®>0)的部分图象如

图，则。=()

A.5B.4C.3D.2

考点二伸缩平移

【例2】（2020•应城市第一高级中学高一月考）已知函数

Ax）=sin（0x+o）［o〉O，SI＜、］的最小正周期为万，将该函数的图象向左平移

［个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则/'（X）的图象（）

A.关于点对称B.关于直线％=当对称

（12）12

C.关于点信。卜寸称D.关于直线％对称

【练2】（2020•浙江衢州•高一期末）要得到函数y=4sin（2x-的图象，只需

将函数y=4sin2x的图象（）

A.向左平移;个单位长度B.向右平移二个单位长

44

C.向左平移£7T个单位长度D.向右平移g个单位长度

OO

考点三综合运用

【例3】（2020•湖南益阳・高一期末）已知函数

/（x）=加由（5+0）/〉0,0〉0,|同＜0的部分图象如图所示.

⑴求函数/⑺的解析式;

（2）将函数/（九）的图象向左平移:个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来

的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间［0,句上的值

域.

【练3】（2020•河南林州一中高一月考）函数/（x）=sin（2x+。/图＜?的图象向

左平移£个单位后关于》轴对称，则函数/（九）在0,|上的最小值为（）

课后练习

1.（2021高一下彳衢州月考）将函数y=cos2x的图象向右平移；个单位

后，所得函数图象的一条对称轴方程为（）

A.%=28.x--Q-X--

842

-57r

D.X=—

8

2.（2021•桂林模拟）将函数/（%）=Jsin（s+m）+2（3〉0）的图像向右平

z6

移W个单位长度后与原函数图像重合，则实数3的最小值是（）

A.2B.3

C.6D.9

3.（2020高一上•毕节期末）将函数y=sinQ-3的图像上所有点的横坐标

变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移g个单位，则

6

所得图像对应的解析式为（）

A.y=sin（2%+勺B.y=sin（2x—勺C.y=sin（HD.y=

S1I1<2~石）

4.（2021高二下•梅州期末）若将函数/（%）=sin（2%+?）的图象向右平移

（P个单位，所得图象关于y轴对称，则（P的最小正值是（）

7T

A.

8

B.-

4

-37T

c—

8

-37r

D—

4

5.（2021高一下,驻马店期末）已知函数/（%）=sin（。％+（p）（co>0,（pE

©，兀））的部分图象如图所示，则/（2021）=

6.（2020高一上•芜湖期末）将函数y=sM（2x-$的图象向左平移cp后

得到一个奇函数的图象，则（p的最小正值是

7.（2020高一上•合肥期末）将函数y=cos（2%—（7r）的图象向左平移

（p（（p>0）个单位，所得图象关于y轴对称，则<p的最小值为.

8.（2021高二下•房山期末）函数/（%）=4sin（o）%+@）（4>0,3>0,|@|V

与）的部分图象如图所示，则函数/（%）的最小正周期T=_,函数

/（%）的解析式为—.

9.(2020高一上•公主岭期末)已知函数/(%)=2sin(2%+勺+1

6

(I)用"五点法''画出它在一个周期内的闭区间上的图象(完成横、纵坐标列

表)；

(II)写出函数y=/(%)图象的对称中心坐标及对称轴的方程

10.(2020高一上•成都期末)已知函数/(%)=Zsin(3%+3)(其中4>0,

\(P\<1)的图象如图所示.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若将函数y=/(x)的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来

的3倍，得到函数g(%)的图象，求当%e[0,7r]时，函数y=g(%)的单调

递增区间.

11.(2021高三上•桂林月考)已知函数/(%)=2sin(oi%+3)(3>0,-]<

卬<$的图象如图所示，直线X=?、%?是其两条对称轴.

Noo

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)已知/(a)=:,且,求/G+a)的值.

5ooo

精讲答案

[例1]

【答案】D

【解析】由图可知丁=4»=子，解得。=；；又因为〃x)s=3,故可得

A=3；

由五点作图法可知m：+0=0,解得0=-£,故/(x)=3sin[x-£].故选:

D.

【练1】

【答案】B：•由题中图象可知Xo+£-Xo7=^.•.?=]..•.啰=4.故选B.

【例2】

【答案】A

【解析】由题意。=3=2,平移得函数式为

71

TTrr

g(x)=sin[2(%+—)+^]=sin(2x+—+^),其为偶函数，

o3

(P+——K7T+-,kGZ,由|倒〈—,••(p—.

/(x)=sin(2x+?),/(||^)=sin(2x||^+^)=0,

/(2)=sin(2x2+工)c1^,0)是对称中心.故选：A.

12126212

【练2】

【答案】D

【解析】解：只需将函数y=4sin2x的图象，向右平移g个单位长度，即可得

0

到函数y=4sin(2尤-?)的图象，故选：D.

【例3】

【答案】(D/(x)=0sin"-(2)[-l,V2].

77r37r

【解析】(1)由图可知，gT=?—?=4.••/=〃，①=2

2oo2

34JTJT

/.2x—+(p=Ikn+—,(p=lk7i--[keZ)

|^|<y,〃0)=AsinA=—l,/.A=A/2

/(x)=A/2sin^2x-^

(2)易知g(x)=V^sin[x+£]当xe[0,同时，x+^e?；.gd=3,

g(4n=T

g(%)在区间[0,句上的值域为11,行].

【练3】

【答案】B

【解析】平移得到的图像对应的解析式为g(x)=sin12x+。+。],

因为g(x)为偶函数，所以g@=sin'+"=±l,

所以0+《=左》+],其中左eZ.

因为|。|<9,所以夕=!，

2o

当x』0,4时，gw2x+g<?,所以—；Vsin(2x+，Vl,

_2J6662I6J

当且仅当％=彳时，/(X)1nm=T，故选B.

乙乙

练习答案

1.【答案】B

【考点】函数y=Asin(wx+4))的图象变换

【解析】函数y=cos2x的图象向右平移；个单位后得到y=cos2(x-J)=

cos(2x-；)=sin2x

要求y=sin2x的对称轴方程，

令2%=巴+左兀，kEZ,解得：x=-+—,kEZ,

242

当k=0时，％=E为y=sin2x的一条对称轴方程.

故答案为：B

【分析】根据题意由函数平移的性质以及诱导公式整理结合余弦函数的图象即

可得出答案。

2.【答案】C

【考点】函数y=Asin(3X+。)的图象变换，正弦函数的周期性

【解析】解：因为函数/(%)=；sin(3/+g)+23>0)的图像向右平移三个

单位长度后与原函数图像重合，

所以1是/(%)=|sin(o)x+^)+2(0)>0)的周期的倍数,

■J26

、n兀127T]_

设-=k--,kEZ7,

33

所以3=6k,kEZ,

因为a>0,所以当k=1时，3=6最小，

故答案为：C

【分析】根据题意函数平移的性质即可得出函数平移之后的解析式，再由周期

公式计算出3=6k,kez对k赋值即可求出最小值即可。

3.【答案】C

【考点】函数y=Asin（（JOX+4））的图象变换

【解析】将函数y=sin（x-三）的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵

坐标不变），所得到的函数的解析式为：y=sin（^-5,将y=sinG-$

的图像向左平移I个单位，得到的函数的解析式为：y=si%（%+级

白，化简得：y=sin（1-.

4ZO

故答案为：C

【分析】由条件利用函数丫=人引1!（3*+4））的图象变换规律，可得所得函数的解

4.【答案】C

【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin（3X+4））的图象变换

【解析】函数fix）=sin（2x+?）的图象向右平移（p个单位得：g（%）=

sin[2（x-<p）+^]=sin（2x-2（p+^）,因为g（%）的图象关于y轴对称，所

以一2伊+巳=E+左兀（攵CZ）n卬=—£—与兀（/cCZ），令k=—1,得的

4282

最小正值是In.

O

故答案为：C.

【分析】根据函数丫=人5皿（^^+4>）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数

解析式为g（%）=sin（2%-28+9,再根据所得图象关于y轴对称可得

-23+?=m+/OT（kcz）,由此求得6的最小正值.

4Z

5.【答案】—延

2

【考点】函数y=Asin（3X+4））的图象变换，诱导公式

【解析】由图知：/(0)=sin(p=—,

因为(pG(^,7T),所以(p,

N4

所以/(%)=sin®X+手),因为/(：)=sin(；3+午)=-1,

所以.+米='+2kn(keZ),

所以3=7i+等(keZ),

由图知：,所以T=变＜3,可得，

440)3

所以取k-0,to=兀，所以/(%)=sin(兀%+-),

所以/(2021)=sin(2021兀+?)=sin(—力=一?，

故答案为：—五.

2

【分析】由函数图象确定函数解析式，再利用诱导公式求解即可.

6.【答案】

【考点】函数y=Asin((JOX+4))的图象变换

【解析】将函数y=sin(2x-的图象向左平移(p后得到y=sin(2x+

2(p-？,

因为函数是一个奇函数，

所以2(p_£=eZ),

解得3=^+3/cez),

所以(p的最小正值是,

故答案为：

【分析】先利用平移变换得到y=s5(2%+20-勺，再根据函数是一个奇

函数求解可得(P的最小正值.

7.【答案】I

【考点】函数y=Asin((JOX+4))的图象变换

【解析】解：把函数y-cos(2x-|TT)的图象向左平移(p((p>0)个单位，

得到的函数解析式为y=COS［2(K+<P)—［兀］=85(2%+23—(兀)，

:所得图象关于y轴对称，:y=cos(2x+2(p-|TT)为偶函数，

贝！］1(p--Ji=ku,/cCz.即(P—~—-71,kE.Z.

(P>0,k=—10t,(p有最小值为?.

故答案为：£.

【分析】由函数平移的性质即可得出函数平移之后的函数解析式，再由余弦函

数的图象和性质即可得出函数为偶函数，由此即可求出8=浮+|兀,kCZ对k

赋值即可求出最小值。

8.【答案】7T；/(x)=2sin(2%-5

【考点】由丫=人5皿(3X+6)的部分图象确定其解析式，正弦函数的周期性

【解析】由图可知2=2,£=?+?=即7=2=兀，所以3=2,

/(%)=2sin(2x+g),令％=g,4)=2sin(y+,)=2,

那么与+0=］+2/OT,即(p=-l+2k7i,kEZ,因为取<；

所以(P=Y，即/(%)=2sin(2x.

OO

故答案为：(1)兀；(2)/(久)=2sin(2%—5.

O

【分析】由图象求得A,T的值，由周期公式求得3=2,再由五点作图的第

一点求得8=-?，可得函数/(%)的解析式。

9.【答案】解：(I)

2x+

Tt37r

0n2兀

it22

6

717157T271117T

X

12612312

y131-11

图象如下:

(II)观察图象可得出，

对称中心的坐标为：(竽—，kEZ,

对称轴方程为：X="+g，kEZ

【考点】正弦函数的图象，五点法作函数y=Asin((JOX+4))的图象，由y=Asin

(3X+4))的部分图象确定其解析式

【解析】(I)由五点法列表描点即可作出函数的图象。

(II)由图象即可得出答案。

10.【答案】(1)解：根据函数/(%)=Zsin(3%+(p)(xER,(JO>0,

QI)的部分图象，

可得a=1,.-.0)=2.

4w123

再根据五点法作图，2义5+勿=兀，

/(%)=sin(2x+]).

(2)解：若将函数y=/(%)的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到

原来的3倍，

得到函数g(%)=sin(|x+^)的图象，

对于函数y=g(%),令2/OT—^<|X+|<2/OT+1,求得3kn—^-<x<

3/OTH—4,

可得g(x)的增区间为