新教材高中数学函数的概念与性质幂函数教学案新人教A版必修第一册

3.3塞函数

(教师独具内容)

课程标准：1.通过具体实例了解募函数的概念.2.会画塞函数y=x,y=f,y=f,y=\

y=播误!的图象，并能通过图象了解基函数的图象与性质.3.能正确应用事函数的知识解决相

关问题.

教学重点：1.基函数的概念.2.塞函数的图象与性质.

教学难点：应用幕函数的知识解决相关问题.

【知识导学】

知识点一幕函数的概念

一般地，函数叫做姓函数(powerfunction),其中园x是自变量,但a是常数.

知识点二一些常用基函数的图象

同一坐标系中，幕函数尸x,尸丁，尸系尸尸，尸A错误!的图象(如图).

知识点三一些常用累函数的性质

【新知拓展】

1.累函数的特征

(1)/的系数是1；

(2)r的底数x是自变量；

(3)/的指数a为常数.

只有满足这三个条件，才是事函数.对于形如尸(2x)",尸2/，尸*"+6等的函数都

不是幕函数.

2.幕函数的性质

(D所有的幕函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)如果。>0,那么基函数的图象过原点，并且在区间［0,+8)上单调递增；

(3)如果a<0,那么基函数的图象在区间(0,+8)上单调递减，在第一象限内，当x从

右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于+8时，图象在x轴

上方无限接近x轴；

(4)在(1,+8)上，随幕指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴.

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(D函数尸/+2是基函数.()

⑵累函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点.()

(3)幕函数y=x"的定义域为R,与指数无关.()

(4)当x>l时，函数尸产的图象总在函数尸系的图象的下方.()

答案⑴X⑵X(3)X(4)V

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

⑴若y=mxa+(2/7—4)是塞函数，则m+n=.

⑵已知累函数Ax)=父的图象经过点⑵8),则A-2)=.

(3)若y=aa错误!是幕函数，则该函数的值域是.

答案(1)3(2)-8(3)［0,+8)

题型一嘉函数的定义

例1已知基函数y=(序一)一1)/2一"3,求此募函数的解析式，并指出其定义域.

2

［解］：7=(病—0-1)”…T为基函数，

—解得m=2或m=—1.

当卬=2时，2®-3=—3,则尸/:且有彳#0；

当加=—1时，m—2m—3—0,则尸且有xWO.

故所求密函数的解析式为y=*7或y=x,它们的定义域都是{x|x#0}.

金版点睛

判断函数是基函数的依据

判断一个函数是否为累函数的依据是该函数是否为y=x"(a为常数)的形式，即满足:

①指数。为常数；②底数x为自变量；③系数为L

［跟踪训练1］⑴在函数尸十，y=2/,y=^+x,y=l中，基函数的个数为()

A.0B.1C.2D.3

⑵己知片=(〃/—4勿+4),浦误！+2)-3是嘉函数，求加，刀的值.

答案(1)B(2)见解析

解析（l）y=+=/2,所以是辱函数；y=2f由于系数是2,因此不是幕函数；

是两项和的形式，不是累函数；尸l=f（xWO）,可以看出，常函数y=l的图象比塞函数y

的图象多了一个点（0,1）,所以常函数y=l不是基函数.

产一4加+4=1,p?=3,

（2）由题意得（必一1/0,解得｛=之

〔2〃-3=0,I"5’

3

所以必=3,n=~.

题型二基函数的图象及应用

例2基函数尸落尸尸，尸人错误！，尸A错误!在第一象限内的图象依次是图中的

曲线（）

A.G,C\>G,C\

B.Ci,C\>G,Ci

C.G,C,Ci>G

D.6i,G,Ci,G

［解析］由于在第一象限内直线x=l的右侧，辱函数y=/的图象从上到下相应的指数

。由大变小，即累函数图象在第一象限内直线x=l右侧的“高低”关系是“指大图高”，故

塞函数y=/在第一象限内的图象为G,y=*T在第一象限内的图象为C”y=播误!在第一

象限内的图象为G,y=>错误!在第一象限内的图象为G.

［答案］D

金版点睛

解决基函数图象问题应把握的两个原则

（1）依据图象高低判断基指数大小，相关结论为：在91］上，指数越大，基函数图象越

靠近x轴（简记为指大图低）；在［1,+8）上，指数越大，幕函数图象越远离x轴（简记为指

大图高）.

（2）依据图象确定累指数。与0,1的大小关系，即根据基函数在第一象限内的图象（类似

于产=-或y=x错误!或y=f）来判断.

［跟踪训练2］（1）如图是暴函数尸义与尸/在第一象限内的图象，则（）

A.—1〈水0〈派1

B.水一1,0〈冰1

C.—1</?<0,/»>1

D.水一1,ni>l

(2)己知函数y=y［\x\-

①求定义域；

②判断奇偶性；

③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.

答案(DB(2)见解析

解析(1)在(0,1)内取典，作直线x=x。，与各图象有交点，则“点低指数大”.如图，

0〈派1,/?<—1.

(幻①了二洞，定义域为实数集R.

②设y=f(x),因为/•(—x)=，『7［=Wj=f(x),且定义域关于坐标原点对称，所以

函数y=d币是偶函数.

③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数y=

W倒的图象，如图所示.

根据图象易知，函数在区间［0,+8)上单调递增，在区间(-8,o］上单调递

减.

题型三基函数的性质及应用

例3比较下列各题中两个值的大小：

(1)2.3错误!，2.4错误!；

(2)(啦)错误！，(错误!)错误！；

(3)(—0.31)2。352.

［解］⑴♦.，=人错误!在［0,+8)上单调递增，且2.3<2.4,，2.3错误!<2.4错误!.

⑵..•尸承误!在(0,+8)上单调递减,且错误!〈错误！，

二(小)错误!>(错误!)错误!.

(3)为R上的偶函数，；.(-0.31)2=0.312.

又函数尸产在［0,+8)上单调递增，且0.3K0.35,

AO.312<0.352,即(-0.31)2<0,352.

金版点睛

比较基值大小的方法

比较基值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造事函数,

然后根据所构造的塞函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题.

例4若（3—2㈤错误!>（必+1）错误！，求实数0的取值范围.

［解］因为尸,，错误!在定义域［0,+8）上单调递增，

‘3—2修0,

2

所以"+120,解得一1W成子

、3—2n>m+1,

故实数加的取值范围为一1，I）.

金版点睛

利用事函数解不等式的步骤

利用幕函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幕函数

的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：

（1）确定可以利用的基函数；

（2）借助相应的黑函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；

（3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用.

［跟踪训练3］（1）比较下列各组数的大小：

①修）错误!与错误!错误！；②一3.143与一/；

（2）已知累函数尸（/+k5）,-*3,当xG（0,+8）时，y随x的增大而减小，求此幕

函数的解析式.

解⑴①••）=/错误!在［0,+8）上单调递增，且错误!〉错误!，

错误!）错误!错误!.

②是R上的增函数，且3.14〈冗，

A3.143<Ji3,A-3.143>-n3.

⑵・・・尸（君+勿是基函数，

―:+勿-5=1,即（加一2）（勿+3）=0,

:.m=2或m=­3.

当勿=2时，/—2m—3=-3,是塞函数，且满足当才£（0,+8）时，y随x的增

大而减小；

当面=一3时，货一2m—3=\2,尸/是基函数，但不满足当x£（o,+8）时，y随矛的

增大而减小，故舍去.

1.下列函数是幕函数的是()

A.y—5'xB.y^x

C.y=5xD.y=(%+l)(

答案B

解析由幕函数的定义知函数y=5'不是黑函数；函数y=5x是正比例函数，不是幕函数;

函数尸(x+1”的底数不是自变量x,不是幕函数；函数尸片是基函数.

2.函数的图象大致是图中的()

答案B

解析•••函数y=V是奇函数，且。=3>1,则其为增函数，且y随x的增大