人教版数学八年级下册第十八章平行四边形

第十八章平行四边形

18.2矩形（能力提升）

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角,即矩形首先是一个平

行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩

形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是

对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归

结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角

线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上"一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行

四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角

形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的

平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质

例1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，APBC和aQCD都是等边三角形，且点P在

矩形上方，点Q在矩形内.求证:(1)乙PBA=APCQ=30°；(2)PA=PQ.

【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90。，利用条件aPBC和4QCD都是等边三角形，容

易求得乙PBA和乙PCQ度数；(2)利用⑴的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB/A

PQC(SAS),从而证得PA=PQ.

【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论

作论据即可.

举一反三：

【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点9处，点A落

在点A处.

⑴求证：B'E=BF'

⑵设AE=",AB=＞，BF=J试猜想以从C之间有何等量关系，并给予证明.

例2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于。，AE平分乙BAD交BC于E,aCAE=

15°,求乙BOE的度数.

【思路点拨】4BOE在ABOE中，易知乙OBE=30。，直接求4BOE有困难，转为考虑证B0

=BE.由AE平分4BAD可求aBAE=45。得至ijAB=BE,进一步可得等边AAOB.有AB=

0B.证得BO=BE.

【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形,

因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决.

知识点3.矩形的性质综合一角度一边长计算-勾股定理计算

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE，BD,垂足为E.已

知4BCE=44DCE,贝l」ZCOE=_____度

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB,CD于点E,F,连接AF,

CE,如果4BCE=26°,贝IJaCAF=_____度。

3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,AC的垂直平分线交BC于点E,连接AE,若AE平

分4BAC,则AC的长是（）

A.2B.6C.4D.5

4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，过点A作AE1BD,垂足为点E,

若乙EAO=zlOAD,BE=2,贝!JAC=

5.如图，矩形ABCD中，AB<BC,AC、BD交于点0,若AB=AO=4,贝（|S矩形ABCD=

6.如图，矩形ABCD中，BC>AB,对角线AC、BD交于。点，且AC=10,过B点作BE1AC

于E点，若BE=4,贝IJAD=

类型二、矩形的判定

例3、如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且4BAD=ZCAE.

(1)求证：4ABE式ZXACD；

(2)求证：四边形BCDE是矩形.

【思路点拨】(1)利用SAS证得两个三角形全等即可；(2)要证明四边形BCED为矩形，则

要证明四边形BCED是平行四边形，且对角线相等.

【总结升华】本题主要考查矩形的判定，证明对角线相等的平行四边形是矩形，解题的关键

是熟练掌握矩形的判定方法.

举一反三：

【变式】矩形的判定定理一条件选择利用矩形判定定理进行证明

1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点下列条件在,能判定四边形ABCD是矩

形的是（）

A.AB〃DC,AB=CDB.AB〃CD,AD〃BCC.AC=BD,AC±BDD.OA=OB=OC=OD

2.如图所示,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,下列判断中,能判断四边形ABCD是

矩形的有个.（填写数字）

①:AB=CD,AD=BC/BAD=90。

②QA=0B=0C=0D③:AB〃CD且AB=CD,AC=BD

④:AB〃CD且AB=CD,0A=0C,0B=0D

3.平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）.

A一般平行四边形B一般四边形C对角线垂直的四边形D矩形

4.如图，在平行四边形ABCD中，点。是边BC的中点，连接D0并延长，交AB的延长线

于点E,连接BD、EC.若乙BOD=100。，则当乙A=度时，四边形BECD是矩形.

⑸如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,AO=CO,BO=DO中，且

ZABC+Z.ADC=180°.

（1）求证：四边形ABCD是矩形.

（2）若aADF：ZFDC=3：2,DF1AC,则乙BDF的度数是多少？

BFC

[6].矩形的判定与性质综合--勾股定理计算

1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AC11BC,延长BC到点E,

使得BC=CE,连结DE.若AC=4,BD=6,贝IJCD=.

2.如图，已知平行四边形ABCD,延长AB至ijE使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED二AD.

（1）四边形BECD是（填“矩形”“菱形”“正方形”）；

（2）连接AC,若AD=4,CD=2,求AC=.

类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

例4、如图所示，BD、CE是4ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点.

求证：FG_LDE.

【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的.根

据这个性质,又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角

形.温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题.

举一反三：

【变式】如图，AM0N=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON±,当B在边

ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,

运动过程中，点D到点。的最大距离为（）

A.夜+1B后

［变式］直角三角形斜边上的中线的性质定理

1.如图，Z\ABC中，ZACB=90°,D是AB的中点，则下列结论正确的有个。

£1_

①BC=2AB②CD二2AB（3）AC2+BC2=AB2®*D在线段BC的垂直平分线上

2.如图，在四边形ACBD中，ZACB=ZADB=90°,E是AB上的中点，则图中的与线段CE

长度相等的线段有个（CE除外）。

知识点2.直角三角形斜边上的中线的性质--求线段长一求角度--共斜边型

1.如图，在aABC中，D是BC上一点，AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点，EF=2,

则AC的长是.

2.如图：AABC中，AD是高线，CE是中线，且AB=8cm,G是CE的中点，且DG1CE,

G为垂足，则CD=cm.

3.在直角三角形ABC中，ZACB=9(T,CD是斜边AB上的中线，且BC=CD.贝叱B=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如图，在AABC中，ZB=50°,CDLAB于点D,乙BCD和aBDC的角平分线相交于点

E,F为边AC的中点，CD=CF,贝IJaACD+乙CED=0

5.如图，在四边形ABCD中，乙DAB=90。，ZDCB=90°,