2025届山西省忻州市岢岚县中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2025届山西省忻州市岢岚县中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2 B． C．6 D．2．已知，则向量与向量的夹角是（）A． B． C． D．3．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则（）A． B． C． D．4．一组数据0，1，2，3，4的方差是A． B． C．2 D．45．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中个零件的长度，在这个工作中，个零件的长度是（）A．总体 B．个体 C．样本容量 D．总体的一个样本6．计算:A． B． C． D．7．已知直线：，：，：，若且，则的值为A． B．10 C． D．28．等比数列的前项和为，，且成等差数列，则等于()A． B． C． D．9．若，，且，则与的夹角是（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某市三所学校有高三文科学生分别为500人，400人，300人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从三所高三文科学生中抽取容量为24的样本，进行成绩分析，则应从校高三文科学生中抽取_____________人．12．已知，若数列满足，，则等于________13．已知，则的最大值是____．14．若，则__________.15．设是等差数列的前项和，若，则________16．已知函数，若，则的取值围为_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?18．如图，某小区有一块半径为米的半圆形空地，开发商计划在该空地上征地建一个矩形的花坛和一个等腰三角形的水池EDC，其中为圆心，在圆的直径上，在半圆周上.（1）设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；（2）当满足取得最大值时，建造效果最美观.试求的最大值，以及相应角的值.19．设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.20．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率.（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购，通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？21．已知数列前项和为，满足，（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，求证：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.考点：切线长2、C【解析】试题分析：根据已知可得：，所以，所以夹角为，故选择C考点：向量的运算3、D【解析】因为，所以，因此，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.4、C【解析】

先求得平均数，再根据方差公式计算。【详解】数据的平均数为：方差是＝2，选C。【点睛】方差公式，代入计算即可。5、D【解析】

根据总体与样本中的相关概念进行判断.【详解】由题意可知，在这个工作中，个零件的长度是总体的一个样本，故选D.【点睛】本题考查总体与样本中相关概念的理解，属于基础题.6、A【解析】

根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.【详解】，故选A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.7、C【解析】

由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【详解】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．故选C．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．8、A【解析】

根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得的值，进而求得的值.【详解】由于成等差数列，故，即，所以，，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，属于基础题.9、B【解析】

根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.【详解】由题有，即，故，因为，所以.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.10、B【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=0.1．故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、8【解析】

利用分层抽样中比例关系列方程可求.【详解】由已知三所学校总人数为500+400+300=1200，设从校高三文科学生中抽取x人，由分层抽样的要求及抽取样本容量为24，所以，，故答案为8.【点睛】本题考查分层抽样，考查计算求解能力，属于基本题.12、【解析】

根据首项、递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.【详解】，所以数列是以5为周期的数列，因为20能被5整除，所以.【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.13、4【解析】

利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．【详解】，，，则．当且仅当时，函数取得最大值．【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值．14、；【解析】

易知的周期为，从而化简求得.【详解】的周期为，且，又，.故答案为：【点睛】本题考查了正弦型函数的周期以及利用周期求函数值，属于基础题.15、5【解析】

由等差数列的前和公式，求得，再结合等差数列的性质，即可求解.【详解】由题意，根据等差数列的前和公式，可得，解得，又由等差数列的性质，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、【解析】

由函数，根据，得到，再由，得到，结合余弦函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，又由，即，即，因为，则，所以或，即或，所以实数的取值围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析；(2)中位数为29.2，分布特点见解析；(3)3720元【解析】

（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．【详解】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）中位数的估计值：由，所以中位数位于区间中，设中位数为，则，解得，因为，所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元．【点睛】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应知识的综合应用，着重考查了化简能力，推理计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．18、(1)(2)最大值为，此时【解析】

（1）连接，在中，求出，进而求出面积以及角的范围；（2）令，再求出的范围，转化为二次函数即可求出最大值，以及相应角的值.【详解】（1）连接，在中，，（2），令，因为，所以，所以因为在上单调递增，所以时有最大值为，此时【点睛】本题主要考查三角函数与实际应用相结合，最终转化为二次函数进行求解，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查解决问题的能力、仔细理解题，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19、（1）；（2）见解析.【解析】

试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证，先设P（m，n），则需证，即根据条件可得，而，代入即得.试题解析：解：（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20、（1）中位数为268.75；（2）；（3）选B方案【解析】

(1)根据中位数左右两边的频率均为0.5求解即可.(2)利用枚举法求出所以可能的情况,再利用古典概型方法求解概率即可.(3)分别计算两种方案的获利再比较大小即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得,前3组的频率和为,前4组的频率和为,所以中位数在内,设中位数为,则有,解得.故中位数为268.75.（2）设质量在内的4个芒果分别为,,,,质量在内的2个芒果分别为,.从这6个芒果中选出3个的情况共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共计20种,其中恰有一个在内的情况有,,,,,,,,,,,,共计12种,因此概率.（3）方案