2025届江西省于都实验中学高一下数学期末学业质量监测试题含解析

2025届江西省于都实验中学高一下数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤2．已知，则使得都成立的取值范围是().A． B． C． D．3．已知数列满足，，则的值为（）A． B． C． D．4．在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（）A．4 B． C． D．5．茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则，的值分别为A． B．C． D．6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，按学段用分层抽样的方法抽取该地区的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（）A．， B．， C．， D．，7．在空间中，有三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，下列判断正确的是A．若∥，∥，则∥ B．若，，则∥C．若，∥，则 D．若，，∥，则∥8．在中，所对的边分别为，若，，，则（）A． B． C．1 D．39．已知a,,若关于x的不等式的解集为,则()A． B． C． D．10．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________．12．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．13．函数的最小正周期为___________.14．在四面体A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面体A-BCD的最大体积为，则四面体A-BCD外接球的表面积为________．15．一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4，则此扇形的面积是______.16．化简：________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆及其上一点.（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.18．已知方程有两个实根,记,求的值.19．求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。20．已知函数，且．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．21．已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，当时，比较和的大小．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

直接利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.2、B【解析】

先解出不等式的解集，得到当时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可.【详解】因为，所以，因为，所以，要想使得都成立，所以取值范围是，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力.3、B【解析】

由，得，然后根据递推公式逐项计算出、的值，即可得出的值.【详解】，，则，，，因此，，故选B.【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4、B【解析】

根据正弦定理，代入数据即可。【详解】由正弦定理，得：，即，即：解得：选B。【点睛】此题考查正弦定理：，代入数据即可，属于基础题目。5、A【解析】

根据众数的概念可确定；根据平均数的计算方法可构造方程求得.【详解】甲组数据众数为甲组数据的中位数为乙组数据的平均数为：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查茎叶图中众数、中位数、平均数的求解，属于基础题.6、A【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论。【详解】由图1得样本容量为，抽取的初中生人数为人，则初中生近视人数为人，故选．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用。7、C【解析】

根据空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，A中，若∥，∥，则与可能平行、相交或异面，故A错误；B中，若，，则与c可能平行，也可能垂直，比如墙角，故B错误；C中，若，∥，则,正确；D中，若，，∥，则与可能平行或异面，故D错误；故选C．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中点、线、面的位置关系，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．8、A【解析】

利用三角形内角和为，得到，利用正弦定理求得.【详解】因为，，所以，在中，，所以，故选A.【点睛】本题考查三角形内角和及正弦定理的应用，考查基本运算求解能力.9、D【解析】

由不等式的解集为R，得的图象要开口向上，且判别式，即可得到本题答案.【详解】由不等式的解集为R，得函数的图象要满足开口向上，且与x轴至多有一个交点，即判别式.故选：D【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.10、C【解析】

设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.【详解】设球心为，的中心为，则，，球的半径，所以球的表面积为.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.12、【解析】

先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.【详解】设球半径为，则，解得，所以【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.13、【解析】

先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期公式可得函数的最小正周期.【详解】解：由题意可得：，可得函数的最小正周期为：，故答案为：.【点睛】本题主要考查二倍角的化简求值和三角函数周期性的求法，属于基础知识的考查.14、【解析】

当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大，根据最大体积为求出四面体的边长，又△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心位于的中点，从而得到半径，即可求解.【详解】如图所示：当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大为，又AB＝AC＝DB＝DC＝BC，所以△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心为的中点，又，解得，，，所以四面体A-BCD外接球的半径故四面体A-BCD外接球的表面积为.【点睛】本题考查多面体的外接圆及相关计算，多面体外接圆问题关键在圆心和半径.15、16【解析】

利用公式直接计算即可.【详解】扇形的面积.故答案为：.【点睛】本题考查扇形的面积，注意扇形的面积公式有两个：，其中为扇形的半径，为圆心角的弧度数，为扇形的弧长，可根据题设条件合理选择一个，本题属于基础题.16、【解析】

根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或.【解析】

（1）根据由圆心在直线y=6上，可设，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到圆N的半径为和得解.（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.由圆N圆心在直线y=6上，可设因为圆N与y轴相切，与圆M外切所以，圆N的半径为从而解得.所以圆N的标准方程为.（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为，即则圆心M到直线l的距离因为而所以解得或.故直线l的方程为或.【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.18、【解析】

求出的值和的范围即可【详解】因为，所以又有两个实根所以所以因为所以，所以所以所以故答案为：【点睛】1.要清楚反三角函数的定义域和值域，如的定义域为，值域为2.由三角函数的值求角时一定要判断出角的范围.19、（1）（2）或【解析】

（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线。（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题。20、（1）；（2）最小正周期为,单调递增区间为，.【解析】

（1）因为，所以，化简解方程即得．（2）由（1）可得求出函数的最小正周期，再利用复合函数和三角函数的图像和性质求函数的单调递增区间得解.【详解】解：（1）因为，所以，所以，即，解得．（2）由（1）可得，则的最小正周期为．令，，解得，，故的单调递增区间为，．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角求值，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.21、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）得，