新八年级数学讲义第12讲.整体复习测评1(学生版+解析)

整体复习测评一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）(2023秋•朝阳区期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝0 B．x＝5 C．x≠0 D．x≠52．（2分）(2023秋•朝阳区期末）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术，下载一个2.4M的短视频大约只需要0.000048秒，将数字0.000048用科学记数法表示应为（）A．0.48×10﹣4 B．4.8×10﹣5 C．4.8×10﹣4 D．48×10﹣63．（2分）(2023秋•朝阳区期末）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2分）(2023秋•朝阳区期末）下列计算正确的是（）A．m3•m2•m＝m5 B．（m4）3＝m7 C．（﹣2m）2＝4m2 D．m0＝05．（2分）(2023秋•朝阳区期末）正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（）A．18° B．30° C．36° D．72°6．（2分）(2023秋•朝阳区期末）△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（）A． B． C． D．7．（2分）(2023秋•朝阳区期末）已知等边三角形ABC．如图，（1）分别以点A，B为圆心，大于的AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（2）作直线MN交AB于点D；（2）分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；（3）作直线HL交AC于点E；（4）直线MN与直线HL相交于点O；（5）连接OA，OB，OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB＝2OE；②AB＝2OA；③OA＝OB＝OC；④∠DOE＝120°，正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．③④8．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（）A．m≥4 B．m≤6 C．4＜m＜6 D．4≤m≤6二、填空题（本题共18分，第9-14题，每小题2分，第15-16题，每小题2分）9．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为．10．（2分）(2023秋•朝阳区期末）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝．11．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式．12．（2分）分解因式：3x2+6x+3＝．13．（2分）(2023秋•朝阳区期末）若a＝2019，b＝2020，则[a2（a﹣2b）﹣a（a﹣b）2]÷b2的值为．14．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝（用含α的式子表示）．15．（3分）(2023秋•朝阳区期末）如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是．16．（3分）(2023秋•朝阳区期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是．三、解答题（本题共66分，第17题4分，第18-19题，每小题4分，第20-24题，每小题4分，第25-26题，每小题4分，第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）(2023秋•朝阳区期末）依据流程图计算需要经历的路径是（只填写序号），输出的运算结果是．18．（5分）(2023秋•朝阳区期末）计算：（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）．19．（5分）(2023秋•朝阳区期末）解方程+1＝．20．（6分）(2023秋•朝阳区期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上BF＝CE，AC＝DF．（1）在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是．（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A＝∠D．21．（6分）(2023秋•朝阳区期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标．22．（6分）(2023秋•朝阳区期末）证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等．23．（6分）(2023秋•朝阳区期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．24．（6分）(2023秋•朝阳区期末）随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作（每天工作时间为8小时）．25．（7分）(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长AB至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE与AD的数量关系，并证明你的结论．26．（7分）(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．27．（8分）(2023秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（t﹣1，1）与点B关于过点（t，0）且垂直于x轴的直线对称．（1）以AB为底边作等腰三角形ABC，①当t＝2时，点B的坐标为；②当t＝0.5且直线AC经过原点O时，点C与x轴的距离为；③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是．（2）以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b的取值范围．整体复习测评一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）(2023秋•朝阳区期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝0 B．x＝5 C．x≠0 D．x≠5分析：根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣5≠0，解得，x≠5，故选：D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．2．（2分）(2023秋•朝阳区期末）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术，下载一个2.4M的短视频大约只需要0.000048秒，将数字0.000048用科学记数法表示应为（）A．0.48×10﹣4 B．4.8×10﹣5 C．4.8×10﹣4 D．48×10﹣6分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将数字0.000048用科学记数法表示应为4.8×10﹣5．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2分）(2023秋•朝阳区期末）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个分析：根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．【解答】解：第1个是轴对称图形，符合题意；第2个是轴对称图形，符合题意；第3个不是轴对称图形，不合题意；第4个是轴对称图形，符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．4．（2分）(2023秋•朝阳区期末）下列计算正确的是（）A．m3•m2•m＝m5 B．（m4）3＝m7 C．（﹣2m）2＝4m2 D．m0＝0分析：根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵m3•m2•m＝m6，∴选项A不符合题意；∵（m4）3＝m12，∴选项B不符合题意；∵（﹣2m）2＝4m2，∴选项C符合题意；∵m0≠0，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，要熟练掌握．5．（2分）(2023秋•朝阳区期末）正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（）A．18° B．30° C．36° D．72°分析：根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABE≌△DCE，EB＝EC，AB＝AE＝CD＝ED，先求出∠BEA和∠CED的度数，再求∠BEC即可．【解答】解：根据正五边形的性质，△ABE≌△DCE，∴∠BEA＝∠CED＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠BEC＝108°﹣36°﹣36°＝36°．故选：C．【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．6．（2分）(2023秋•朝阳区期末）△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（）A． B． C． D．分析：首先根据三角形的三边关系确定a的取值范围，然后在数轴上表示即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，∴1＜a＜5，∴A符合，故选：A．【点评】考查了三角形的三边关系及在数轴上表示不等式的解集的知识，解题的关键是正确的利用三边关系列出不等式，难度不大．7．（2分）(2023秋•朝阳区期末）已知等边三角形ABC．如图，（1）分别以点A，B为圆心，大于的AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（2）作直线MN交AB于点D；（2）分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；（3）作直线HL交AC于点E；（4）直线MN与直线HL相交于点O；（5）连接OA，OB，OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB＝2OE；②AB＝2OA；③OA＝OB＝OC；④∠DOE＝120°，正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．③④分析：根据等边三角形的性质，三角形的外心，三角形的内心的性质一一判断即可．【解答】解：由作图可知，点O是△ABC的外心，∵△ABC是等边三角形，∴点O是△ABC的外心也是内心，∴OB＝2OE，OA＝OB＝OC，∵∠BAC＝60°，∠ADO＝∠AEO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣60°＝120°，故①③④正确，故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（）A．m≥4 B．m≤6 C．4＜m＜6 D．4≤m≤6分析：根据题意可以作出合适的辅助线，然后根据题意，利用分类讨论的方法可以计算出m的两个极值，从而可以得到m的取值范围．【解答】解：如右图所示，当直线l垂直平分OA时，O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点，∵点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，∴∠BAO＝30°，OB＝2，∴OA＝4，∵直线l垂直平分OA，点P（m，0）是直线l与x轴的交点，∴OP＝4，∴当m＝4；作BB″∥OA，交过点A且平行于x轴的直线与B″，当直线l垂直平分BB″和过A点且平行于x轴的直线有交点，∵四边形OBB″O′是平行四边形，∴此时点P与x轴交点坐标为（6，0），由图可知，当OB关于直线l的对称图形为O′B′到O″B″的过程中，点P符合题目中的要求，∴m的取值范围是4≤m≤6，故选：D．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本题共18分，第9-14题，每小题2分，第15-16题，每小题2分）9．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为4．分析：根据三角形的定义即可得到结论．【解答】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．10．（2分）(2023秋•朝阳区期末）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝．分析：根据同底数幂的除法法则解答即可．【解答】解：∵ax＝5，ay＝3，∴ax﹣y＝ax÷ay＝5÷3＝．故答案为：【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减．11．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4．分析：①阴影部分的面积＝（a+2）（a﹣2）；②阴影部分的面积＝a2﹣22＝a2﹣4；即可求解．【解答】解：①阴影部分的面积＝（a+2）（a﹣2）；②阴影部分的面积＝a2﹣22＝a2﹣4；∴（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故答案为（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4；【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．12．（2分）分解因式：3x2+6x+3＝3（x+1）2．分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2+6x+3，＝3（x2+2x+1），＝3（x+1）2．故答案为：3（x+1）2．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2分）(2023秋•朝阳区期末）若a＝2019，b＝2020，则[a2（a﹣2b）﹣a（a﹣b）2]÷b2的值为﹣2019．分析：原式中括号中利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（a3﹣2a2b﹣a3+2a2b﹣ab2）]÷b2＝﹣a，当a＝2019时，原式＝﹣2019．故答案为：﹣2019【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝2α（用含α的式子表示）．分析：根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠A的度数；【解答】解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，∴∠C＝（90﹣α）°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；故答案为2α．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．15．（3分）(2023秋•朝阳区期末）如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是①③④．分析：根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，即∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，故②错误；∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD垂直平分AC，故③正确；∴BD平分∠ABC，故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和判断，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．16．（3分）(2023秋•朝阳区期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是0＜t＜或t＞6．分析：过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：①过A作AP⊥BC时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴AP＝，∴当0＜t＜时，△ABP是钝角三角形；②过A作P'A⊥AB时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，故答案为：0＜t＜或t＞6．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．三、解答题（本题共66分，第17题4分，第18-19题，每小题4分，第20-24题，每小题4分，第25-26题，每小题4分，第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）(2023秋•朝阳区期末）依据流程图计算需要经历的路径是②③（只填写序号），输出的运算结果是．分析：先把分式化成同分母分式，再把分母相减，分子不变，即可得出答案．【解答】解：∵＝﹣＝，∴依据流程图计算需要经历的路径是②③；输出的运算结果是；故答案为：②③；．【点评】此题考查了分式的加减法，掌握分式的运算法则是解题的关键．18．（5分）(2023秋•朝阳区期末）计算：（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）．分析：首先计算整式的乘法，然后再合并同类项即可．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣4﹣m2﹣4mn，＝m2+2mn+n2﹣4﹣m2﹣4mn，＝n2﹣2mn﹣4．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算顺序．19．（5分）(2023秋•朝阳区期末）解方程+1＝．分析：根据解分式方程的步骤先去掉分母，再根据解整数方程的步骤求出x的值，然后检验即可得出答案．【解答】解：+1＝方程两边乘（x﹣2）（2x+1），得（2x+1）+（x﹣2）（2x+1）＝2x（x﹣2）解得x＝，检验：当x＝时，（x﹣2）（2x+1）≠0，所以，原分式方程的解为x＝．【点评】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意分式方程一定要检验．20．（6分）(2023秋•朝阳区期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上BF＝CE，AC＝DF．（1）在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是②③④．（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A＝∠D．分析：（1）由全等三角形的判定方法即可得出答案；（2）答案不唯一，添加条件∠ACB＝∠DFE，证明△ABC≌△DEF（SAS）；即可得出∠A＝∠D．【解答】解：（1）①在△ABC和△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∠B＝∠E，不能判定△ABC和△DEF全等；②∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；③在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；④∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；故答案为：②③④；（2）答案不惟一．添加条件∠ACB＝∠DFE，理由如下：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；∴∠A＝∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21．（6分）(2023秋•朝阳区期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标．分析：（1）依据点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2），即可得到坐标轴的位置；（2）依据轴对称的性质，即可得到△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）依据关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到点A关于x轴的对称点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系xOy．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）点A（﹣4，4）关于x轴的对称点的坐标（﹣4，﹣4）．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．22．（6分）(2023秋•朝阳区期末）证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等．分析：先利用几何语言写出已知、求证，然后证明这两个三角形中有条边对应相等，从而判断这两个三角形全等．【解答】已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AD、A′D′分别是BC，B′C′边上的高，AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．证明：∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．∵∠B＝∠B′，AD＝A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，∵∠B＝∠B′，∠C＝∠C′∴△ABC≌△A′B′C′（AAS），即如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．23．（6分）(2023秋•朝阳区期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．分析：（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【解答】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（6分）(2023秋•朝阳区期末）随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作（每天工作时间为8小时）．分析：设用传统方式每人每小时可分拣x件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合5人用此设备分拣8000件快件的时间比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再利用需要人数＝工作总量÷每人每天用智能分拣设备后的工作量，即可求出结论（利用进一法取整）．【解答】解：设用传统方式每人每小时可分拣x件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，依题意，得：＝﹣4，解得：x＝84，经检验，x＝84是原方程的解，且符合题意，∴100000÷（84×25×8）＝5（人）……16000（件），∴5+1＝6（人）．答：每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．（7分）(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长AB至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE与AD的数量关系，并证明你的结论．分析：延长AD至点N使DN＝AD，AN交CE于点M，连接CN，根据等腰三角形的性质得到MA＝ME，根据全等三角形的性质得到∠N＝∠DAB．根据平行线的性质得到∠3＝∠AEC．求得MC＝MN，于是得到结论．【解答】解：CE＝2AD；理由：延长AD至点N使DN＝AD，AN交CE于点M，连接CN，∵∠DAB＝∠AEC，∴MA＝ME，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠DAB，BD＝CD，∠1＝∠2＝90°．∴△ABD≌△NCD（AAS），∴∠N＝∠DAB．∴CN∥AE．∴∠3＝∠AEC．∴∠3＝∠N．∴MC＝MN，∴CE＝MC+ME＝MN+MA＝AN＝2AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（7分）(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．分析：（1）依题意补全图形即可；（2）①连接BD，P为BD与AE的交点．点P即为所求；②证出CD垂直平分AE．得出DA＝DE．