七年级数学下册专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型(M型)与锯齿模型(原卷版+解析)

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，为等边三角形，．若，则（）

A． B． C． D．例2．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（

）

A． B． C． D．例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（

）

A．B．C．D．例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则，．

例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（

）．A． B． C． D．例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则．例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．

(1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，．①如图2，平分，过点作，若，求的度数；②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．课后专项训练1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（）

A． B． C． D．2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，，，则的大小为（

）

A． B． C． D．3．（2023·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°4．（2023下·吉林·七年级统考期末）如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南信阳·校考三模）已知，如图，一个含30°角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则（

）

A． B． C． D．6．（2023·哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（

）A． B． C． D．7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，，点A为射线CF上一点，，，则的度数为．

8．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时，（填“增大”或“减小”）度．9．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是．

10．（2023下·四川南充·七年级校考期末）如图，，，则．

11．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，直线，点E在直线上，点H在直线上，点F在直线之间，连接，．则的度数为度．

12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则°．

13．（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则．

13．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是.

14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，，．15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，直线平分，交于点，过点作平分交于，若，则度．

16．（2023下·四川德阳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是（填序号）17．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）填空，并在后面的括号中填理由：如图，已知，求证：．

证明：如图，过点C作∴______（

），∵，即∴______∴____________（

）又∵（

）∴____________（

）18．（2023下·福建南平·七年级统考期末）如图，，直线与分别交于M，N，平分，平分．(1)当时，求的大小；(2)设，用含α的式子表示．

19．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；(3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．

20．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）已知直角三角形．

(1)如图1，直线，且平分，求的度数．(用含x的式子表示)(2)在（1）的条件下，直线平分交直线于点D，如图2，在x取不同数值时，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请求出变化的范围．21．（2023下·广东河源·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明；(2)如图，若，，分别平分和，求的度数；(3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．

22．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出（1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________．（2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由．问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．

23．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作∵∵，∴∴∴∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若，，求；(2)如图，，BE平分，CF平分，，求．24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1=（用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝．（用含x，y的式子表示）

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，为等边三角形，．若，则（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形性质．得用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，故选：D．例2．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点B作，则，由平行线的性质进行求解即可．【详解】解：如图所示，过点B作，

∵，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（

）

A．B．C．D．【答案】B【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．【详解】解：过C作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的性质是解题的关键．例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则，．

【答案】【分析】过作，可得，可得出两对内错角相等，由与分别为角平平分线，利用角平分线定义得到两对角相等，再由与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两对角互补，利用等式的性质求出的度数，即可求出的度数；此类推即可确定出的度数．【详解】解：如图，过作，可得，，，

、分别为与的平分线，，，，，即，，则；、的平分线相交于点，，，，即，，即，，归纳总结得：．故答案为：，．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线定义，属于探究型试题，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，∴，∴，过点C作，则有，同理，∵和分别平分和，∴，∴，，即，解得：，故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．【详解】解：如图所示，过点，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分线，，，，，，，，即．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则．【答案】/度【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论．【详解】解：如图，过点，分别作，，

∵，∵，则，,,∴,∴,故答案为．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键．例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．

(1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，．①如图2，平分，过点作，若，求的度数；②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①，②，见解析【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）①根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可；②根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①∵平分，∴，①由平分，可设，又∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．②．理由：设，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】此题考查了平行线的性质和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点，利用代数式表示各个角之间的关系．课后专项训练1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行线的性质得到，由三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，，∴．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题关键．2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，，，则的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的性质可得，代入计算即可．【详解】解：，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角相等；两直线平行，内错角相等．3．（2023·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（2023下·吉林·七年级统考期末）如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．5．（2023·河南信阳·校考三模）已知，如图，一个含30°角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点B作，由平行线的传递性可得，由平行线的性质可得，，再根据角的和差关系即可求解．【详解】解：如图，过点B作，

∵，，∴．∴，∵，∴．∵在中，，∴，∴，又∵，∴，故选A．【点睛】本题主要考查简单的有拐点的平行线，涉及平行线的传递性，平行线的性质及判定，直角三角形两锐角互余的知识，解题的关键是掌握平行线的性质定理．6．（2023·哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，求出，再利用角平分线计算即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∵平分，∴,∴，故选：A．7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，，点A为射线CF上一点，，，则的度数为．

【答案】40【分析】根据可得，作，得出，从而得出，，，由，得．【详解】解：∵，∴，过C作，则，如图：

∴，，∵，∴，∴．故答案为：40．【点睛】本题考查平行的性质，含有平行线中的拐点模型，作出适当的辅助线是解题关键．8．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时，（填“增大”或“减小”）度．【答案】增大5【分析】作，推出，得到，，推出，即，据此即可求解．【详解】解：作，如图，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴当β增大时，增大5度．故答案为：增大，5．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，推出是解题的关键．9．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是．

【答案】8【分析】如图，过B作，根据平行线的性质求出即可得到结论．【详解】解：如图，过B作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴A地到公路的距离是，故答案为：8．

【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，点到直线的距离，解题的关键是学会添加常用辅助线．10．（2023下·四川南充·七年级校考期末）如图，，，则．

【答案】/35度【分析】过点A作的平行线，根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：过点A作，则．

∴，，∴．∵，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查直线平行的性质，关键在于过点A作平行线，将角进行转化，常考题型．11．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，直线，点E在直线上，点H在直线上，点F在直线之间，连接，．则的度数为度．

【答案】150【分析】过点F作，则有，即，，解题即可求出．【详解】解：如图，过点F作，∵∴，∴，，∴，即，解得：故答案为：．

【点睛】本题考查平行线的性质和平行公理，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则°．

【答案】75【分析】由可知，又由，由平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，再由计算即可．【详解】解：，，，，，，．故答案为：75．【点睛】本题考查平行线的性质和判定的综合运用，解题关键是据图形合理利用平行线的性质和判定定理．13．（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则．

【答案】/106度【分析】由得，再由是等边三角形，即可求出结果．【详解】解：，，，是等边三角形，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．13．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是.

【答案】互余【分析】根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出结论．【详解】解：∵，∴，∵、分别是、的平分线，∴，，∴，∴，∴，∴与互余，故答案为：互余．【点睛】本题考查平行性的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质得出是解题的关键．14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，，．【答案】36【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：3615．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，直线平分，交于点，过点作平分交于，若，则度．

【答案】100【分析】延长交于点，设，根据平行线的性质，角平分线平分角和三角形的外角的性质，求出，即可．【详解】解：延长交于点，

设，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；故答案为：100．【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，以及三角形的外角的性质，正确的识图，理清角度之间的数量关系，设参法表示角的度数，是解题的关键．16．（2023下·四川德阳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是（填序号）【答案】①②④【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故①正确；∴，∴，，∴，又∵平分，∴，即，故②正确；∵与不一定相等，∴不一定成立，故③错误；∵，∴为定值，故④正确．综上所述，正确的选项①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．17．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）填空，并在后面的括号中填理由：如图，已知，求证：．

证明：如图，过点C作∴______（

），∵，即∴______∴____________（

）又∵（

）∴____________（

）【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得，再根据，即，可得，从而可得，即可得出结论．【详解】证明：如图，过点C作，∴（两条直线平行，内错角相等），∵，即，∴，∴（内错角相等，两条直线平行），又∵（已知），∴（如果两条直线都有第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．18．（2023下·福建南平·七年级统考期末）如图，，直线与分别交于M，N，平分，平分．

(1)当时，求的大小；(2)设，用含α的式子表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由角平分线求解即可；（2）根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，又∵平分，∴；（2）∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，又∵，∴．【点睛】题目考查平行线的性质及角平分线的计算，理解题意，结合图形找出各角之间的关系是解题关键．19．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；

(3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．【答案】(1)(2)详见解析(3)【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用、三角形的外角的性质：（1）依据题意，根据三角形的外角的性质，，又，故可得解．（2）过点B作，由于，从而，则，再结合，，又，可得，进而可以得解．（3）过点B作，由（2）可得，．设，，则；由，从而；又平分，可得，故，进而可得与的关系．需要熟练掌握角度之间的转化，并学会借助方程的思想来解题．【详解】（1）解：由题意，，．，．又，．故答案为：．（2）证明：如图1，过点B作，

又，，．，．．，．，．又．；（3）如图2，过点B作，由（2）可得，．设，，则．，．又平分，．．．．20．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）已知直角三角形．

(1)如图1，直线，且平分，求的度数．(用含x的式子表示)(2)在（1）的条件下，直线平分交直线于点D，如图2，在x取不同数值时，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请求出变化的范围．【答案】(1)(2)的大小不变，求其值为【分析】（1）过点A作，由平分得到，，继而求出，再由推出，用求得，利用平行公理推论得到，继而推导；（2）由得到，利用平分求得，利用得出，从而利用求得，至此得解．【详解】（1）解：如下图，过点A作，

∵平分，，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴．又∵，，∴，∴．（2）的大小不变，求其值为．理由是：依然过点A作，

由（1）得：，∴．又∵平分，∴．又∵，，∴，∴，∴的大小不变，求其值为．【点睛】本题考查与角平分线有关的计算，平行线公理的推论，平行线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．21．（2023下·广东河源·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明；(2)如图，若，，分别平分和，求的度数；(3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．

【答案】(1)见解析；(2)；(3)．【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得答案；（2）根据垂直的定义及(1)中的结论可得答案；（3）设的度数为，的度数为，则由(1)得，，由(1)(2)得，、，然后两式相加可得答案．【详解】（1）如图，过点作，则，

，，，，，（2），，由（1）知，，，分别平分和，，（3）设的度数为，的度数为，则由（1）得，，由（2）得，，，由得，．【点睛】此题考查的是平行线的性质及垂直定义，正确作出辅助线是解决此题关键．22．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出（1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________．（2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由．问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系即可解答；（2）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后根据角平分线的定义解答即可；（3）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后利用角的和差关系解答即可．【详解】解：（1），理由如下：过点作，∵，∴，∴，，∴，∴，即；

（2），理由如下，如图，过点C作，过点F作．∵，∴，∴，，∴，∴，同理：，∵BF平分，∴，∵DF平分，∴，∴，即：；

（3）过点C作，过点F作，∵，∴，∴，，∴，∴，同理：，∵，，∴，∴，