复数知识点汇编-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第二册）

《人教A版必修二知识点汇总》第7章《复数》知识点汇总7.1.1数系的扩充和复数的概念1.复数的概念（1）定义形如a+bia，b∈R的数叫做复数，其中这样，方程x2＝-1在复数集（2）表示方法复数通常用字母z表示，代数形式为z=a+bia，温馨提示:①i2=-1；②i和实数之间能进行加法、乘法运算；(3)实部a∈实例运用例1说出下列复数的实部和虚部：-2+13i，2+i，22，解：-2+13i的实部为2+i的实部为22的实部为2-3i的实部为0i的实部为0，虚部为1；0的实部为0，虚部为0；2.复数相等的充要条件（1）设a，b即“两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部对应相等.”（2）特别地，a＋bi＝0⇔a＝（3）实例运用例2求满足下列条件的实数x，y的值：①(x解：由题意可得x解得x②(x解：由题意可得x解得x3.复数的分类（1）实数、虚数与纯虚数的概念与充要条件对于复数a①当且仅当b=0时，它是实数；例如：2,-②当且仅当a＝b=0时，③当b≠0时，它叫做虚数;例如：2-3④当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.例如（2）复数的分类由上探究可知，复数a+（3）实例运用例3当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数?

解：（1）当虚部m-1=0，即m=1时，（2）当虚部m-1≠0，即m（3）当实部m+1=0虚部m-1≠7.1.2复数的几何意义1.复平面的概念如图,点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a通过建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．例如，复平面内的原点(0,0)表示实数0,实轴上的点(2,0)表示实数2,虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数-i,点注1：实轴上的点都表示实数；注2：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义（1）复数的几何意义一——用点表示复数由复平面的概念引入可知：每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应．由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系:注：这是复数的第一种几何意义——用点表示复数.（2）复数的几何意义二——用向量表示复数如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即注：这是复数的第二种几何意义——用起点为坐标原点的平面向量表示复数.3.复数的模如图，当我们用向量OZ表示复数z＝规定：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|即|简称为：“一个复数的模等于它实部与虚部的平方和再开算术平方根.”注：特别地，当b=0时，那么z＝a＋bi简称为：“实数的模等于这个实数的绝对值.”4.共轭复数（1）定义如图，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数注：特别地，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．例如3+5i与3-5i（2）表示复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝（3）性质共轭复数复数z与z5.实例运用例3设复数z1=4+3i，z2=4-3i．

（1）在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量;解:（1）如图，复数z1,z2对应的点分别为Z1(4,3)，Z2(4,-3)，对应的向量分别为O（2）∵已知z1=4+3i，∴||故|7.2.1复数的加、减运算及其几何意义1.复数加法的运算（1）复数加法的运算法则规定：设z1＝aaa简述为：“两个复数相加，实部与实部相加作为和的实部，虚部与虚部相加作为和的虚部.”例如(2+3注：由复数的加法法则可以看出（1）两个复数的和仍然是一个确定的复数；（2）特别地，当z1,（2）复数加法的运算律根据复数加法的运算法则可知：对任意的z1（1）交换律：z1（2）结合律：z1注：实数集中加法的交换律、结合律在复数集中仍然成立，且实数集中的移项法则（移正为负、移负为正）在复数集中仍然成立.（3）复数加法的几何意义如图所示，设复数z1＝a+bi，z1+z2.复数的减法运算（1）复数的减法法则规定：复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi记作：x+yiaa简述为：“两个复数相减，实部与实部相减作为差的实部，虚部与虚部相减作为差的虚部.”（2）复数减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a+bi，z1-z3.实例运用例1计算2+4i+3解：原式=(2+3)+[4+(-4)]例2设复数z的共轭复数为z，若复数z满足2z+z=3-解:设z=a+bi∴2又∵已知2z+∴3a=3b故例3已知复数z1=3+4i，z2解：∵已知复数z1=3+4i∴z例4计算（1）5解(1)：5-(3+2（2）(5解(2)：(5-67.2.2复数的乘、除运算1.复数加法的运算（1）复数乘法的运算法则规定：设z1＝aaa简述为：“两个复数相乘，先用多项式乘多项式展开，再将i2=-1例如(2+3i注：由复数的乘法法则可以看出①两个复数的积仍然是一个确定的复数；②特别地，当z1，z2（2）复数乘法的运算律根据复数乘法的运算法则可知：对任意的z1①交换律：z1②结合律：z1③分配律：z1z2注：复数乘法的运算律与多项式乘法的运算律相同，同时相应的公式——如完全平方公式(a±b)2.复数的除法运算（1）复数的除法法则复数的除法法则为：aa=简述为：“两个复数相除，先把除式转化为分式，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，实现分母实数化后化简.”注：由复数的除法法则可以看出两个复数的商仍然是一个确定的复数；例如(2+3i（2）复数范围内一元二次方程ax①当判别式Δ＝b2－②当判别式Δ＝b2－3.实例运用例1计算(1)7-6i(2)例2计算：(1)(2+3(2)(1+例3计算(1-=(11-2=-22