电磁场与电磁波（第五版）PPT完整全套教学课件

第1章矢量分析与场论1.1节矢量及其代数运算1.2节圆柱坐标系和球坐标系1.3节矢量场1.4节标量场1.5节亥姆霍兹定理全套教学课件1.1矢量及其代数运算

本节要点标量与矢量矢量的代数运算1.标量与矢量标量(scalar)--------

一个仅用大小就能够完整地描述的物理量

如：电压、温度、时间、质量、电荷等矢量(vector)--------

一个有大小和方向的物理量

如：电场、磁场、力、速度、力矩等(1)矢量的表示矢量的一般表示

A=0,空矢(nullvector)或零矢(zerovector)

a为单位矢量(unitvector)矢量A的大小代表矢量A

的方向r(2)位置矢量(positionvector)

位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。

任一矢量可以表示为：

从原点指向空间任一点P

的矢量，称为位置矢量。直角坐标系中的一点P的位置矢量P(X,Y,Z)xyzOaxXayYazZ(3)矢量的代数运算

加法和减法矢量的乘积1.矢量的加法和减法结论:矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。

矢量的代数运算2.矢量的乘积(1)点积(dotproduct)结论如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。在直角坐标系中AB

也称为标量积(scalarproduct)。它等于一个矢量在另外一个矢量上投影与该矢量大小之乘积。矢量的标量积(2)叉积(crossproduct)任意两个矢量的叉积是一个矢量，故也称为矢量积。方向垂直于矢量A与B组成的平面，且A、B与C成右手螺旋关系AB

C大小等于两个矢量的大小与它们的夹角的正弦之乘积矢量的叉积(2)叉积（续）

在直角坐标系中，叉积还可以表示为

结论

在直角坐标系中

如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。结论矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。1.2

圆柱坐标系和球坐标系圆柱坐标系球坐标系与直角坐标系的关系本节要点a

aza

1.1圆柱坐标系x=

cos

y=

sin

z=zr=a

+azzxyz=常数z=常数P点=常数xyz

z圆柱坐标系1.2圆柱与直角坐标系的转换关系(1)单位矢量之间的转换a

=axcos

+aysin

a

=axsin

+aycos

az=aza

a

xy

(2)圆柱坐标系的拉梅系数圆柱坐标系中任意点P沿

、

和z方向的长度增量它们与各自坐标增量之比分别为

拉梅系数(lameconstant)

(3)圆柱坐标系的积分xyz=常数z=常数=常数dS

=a

d

dzdS

=a

d

dzdV=

d

d

dzxyz

xy

dSz=az

d

d

积分用拉梅系数表达是否更容易记忆?2.1球坐标系xyzr

a

a

ar=常数

=常数

P点rxyzOx=rsin

cos

y=rsin

sin

z=rcos

r=rarz球坐标系2.2-1球坐标与直角坐标系的转换

xyzOazcos

ar

aysin

sin

axsin

cos

(1)单位矢量之间的转换类似可得另两个单位矢量与直角坐标之间的变换关系(2)球坐标系的拉梅系数球坐标中的拉梅系数为

空间一点沿r、

和

方向的长度增量分别为(3)球坐标系的积分dS

=a

dlrdl

=a

rdrd

dS

=a

dlrdl

=a

rsin

drd

dSr

=ardl

dl

=ar

r2sin

d

d

dV=r2sin

drd

d

xyz1.3矢量场(vectorfield)赋予物理意义的矢性函数称为矢量场

本节要点

矢量线

通量和散度

环量和旋度1.矢量线(vectorline)如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等矢量线的方程为在直角坐标系中，其表达式为所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。xyz例1-1式中，q和

0均为常数,r=axx+ayy+azz为场点的位置矢量。设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点处所产生的电场强度矢量为求的矢量线方程并画出矢量线图。得矢量线方程为

解：例1-2设无限长直线通有电流I，方向沿z轴，它所产生的磁场在圆柱坐标系中的表达式为试画出矢量线图

解：其矢量线图为I讨论如果将产生场的物理量称为源，有标量源和矢量源；点电荷为标量源，它所产生的场是从源点出发的发散场。我们是否可以得到结论：由标量源所产生的场均为发散场，或者称为无旋场？电流源为矢量源，它所产生的场是连续的，或者说是有旋的场？实际上，后面的分析就会证明上述结论的正确。2.通量(flux)通过闭曲面的总通量可表示为面元矢量单位矢量n为面元dS的外法向矢量矢量场A与面元dS的标量积---通量dSn

A矢量场的通量讨论假定矢量场A为流体的速度，通量的物理意义：单位时间内流体从曲面S内穿出的正流量与从曲面S外流入的负流量的代数和。当

>0，流出多于流入，表示在S内必有产生流体的正源；当

<0，流入多于流出，表示在S内必有吸收流体的负源；当

=0，流入等于流出，表示在S内正源与负源的代数和为零，或者说S内没有源。矢量场在闭合面S上的通量是由S内的源决定的，它是一个积分量3.散度(divergence)

散度的定义在直角坐标系中，散度的表达式S

VPA

dS=ndSdivA为一数量，称为该点处源的强度。它表示场中一点处的通量对体积的变化率。讨论当divA>0，称为源点(sourcepoint)---表示矢量场在该点处有散发通量之正源；当divA<0，称之为汇点(sinkpoint)---表示矢量场在该点处有吸收通量之负源；当divA=0，表示矢量场在该点处无源。称divA=0的场是连续的(continuous)或无散的（螺线管式）矢量场(solenoidalvectorfield)。源与汇4.哈米尔顿（Hamilton）算子矢性微分算子，在直角坐标系中

5.散度定理(divergencetheorem)高斯散度定理xyz矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分例1-3

在矢量场中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，试求矢量场A的散度；从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。解：xyz例1-3（续）

可见，从单位立方体内穿出的通量为2，且有6.环量环量（circulation）的定义

矢量的环量也是一数量如果环量

0，则在l内必然有产生这种场的旋涡源；如果环量

=0，则我们说在l内没有旋涡源。矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘矢量场性质的重要物理量，它同样是一个积分量。矢量场的线积分7.环量面密度环量面密度若极限存在，则称它为矢量场在点P处沿方向n的环量面密度。必存在某一固定矢量R，这个固定矢量在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度！若面元与旋涡面间有一夹角，环量面密度总是小于最大值；若面元与旋涡面的方向重合，则环量面密度最大；若面元与旋涡面相垂直，则环量面密度等于零。8.旋度(curl或rotation)矢量R称为矢量A的旋度在点P处沿n方向的环量面密度与旋度的关系

在直角坐标系中，旋度的表达式

矢量场的旋度仍为矢量旋度和环量面密度讨论矢量场的旋度表示该矢量每单位面积的环量，它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。若rotA

0

，则该矢量场是有旋的（rotational）若rotA=0，则称此矢量场是无旋的(irrotational)或保守的场(conservative)旋度的一个重要性质：旋度的散度恒等于零!龙卷风的旋度9.斯托克斯定理(Stokes’theorem)

它表明矢量场A围绕曲线边界的线积分等于该矢量场的旋度沿此沿曲线所包围曲面的面积分。例1-4已知一矢量场

求该矢量场的旋度求该矢量沿如图所示的半径为3的四分之一圆盘的线积分，验证斯托克斯定理。解：例1-4（续）矢量沿四分之一圆盘的线积分显然，有讨论矢量场的性质可以用其散度和旋度来表征：散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律；旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。

如果矢量场的散度为零，则该矢量场是连续的或无散的（螺线管式）；如果矢量场的旋度等于零，则称此矢量场是无旋的或保守的。矢量场的散度等于零该矢量可以用另一个矢量的旋度来表示1.4标量场(scalarfield)

一个仅用其大小就可以完整表征的场称为标量场本节要点等值面方向导数梯度梯度的积分1.等值面例如，根据地形图上等高线及其所标出的高度，我们就能了解到该地区的高低情况，根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。

称为标量场u的等值面，随着C的取值不同，得到一系列不同的等值面.

100200300400标量场的等值线等值面与等值线标量场在不同方向上的变化率一般说来是不同的

2.方向导数(directionalderivative)

方向导数

在直角坐标系中

如果上式的极限存在，则称它为函数在点P0处沿l方向的方向导数标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。

3.梯度（gradient）

方向导数等于梯度在该方向上的投影即

梯度的旋度恒等于零如果一个矢量场满足

F=0，即是一个无旋场，则该矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即F=

u

梯度就是变化率最大方向上的方向导数。

梯度的性质

等值线与梯度4.梯度的积分

如在静电场中，已知电场强度，就可求得电位函数（第二章介绍）

由斯托克斯定理，无旋场沿闭合路径的积分必然为零

P2点为任意动点，则P2点的函数值可表示为

沿闭合路径的积分为零等价于积分与路径无关，仅与始点和终点的位置有关假如选定始点P1为不动的固定点（参考点）结论一个标量场，求其梯度得到的矢量场一定为无旋场；无旋场沿闭合路径的积分一定等于零，或者说积分与路径无关；无旋场可以用一个标量函数的梯度来表示。无旋场也称为保守场或有势场。1.5

亥姆霍兹定理矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场的重要量度，亥姆霍兹定理(Helmholtztheorem)是矢量场共同性质的总结。本节要点亥姆霍兹定理矢量场的性质，完全可以由它的散度和旋度来表明；标量场的性质则完全可由它的梯度来表明。如果一个场的旋度为零，则称为无旋场；如果一个场的散度为零，则称为无散场。就矢量场的整体而言，无旋场的散度不能处处为零；同样无散场的旋度也不能处处为零，否则场就不存在源看作是场的起因散度对应发散源(divergencesource)旋度对应旋涡源(rotationalsource)设一个矢量场既有散度，又有旋度，则它可以表示为一个无旋场分量和无散场分量之和，即亥姆霍兹定理其中无旋场分量A1的散度不等于零，设为

，无散场分量A2的旋度不等于零，设为J，则A的散度代表着形成矢量场的一种源—标量源A的旋度代表着形成矢量场的另一种源—矢量源。矢量场的分解亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理告诉我们，研究任何一个矢量场(如电场、磁场)等，需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从通量和环量两个角度去研究。一般来说，当一个矢量场的两类源(

、J)在空间的分布确定时,该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。源和场的关系小结A=

F

A=J

A=

0J连续场有旋场无散场矢量源A=

u

A=

0

保守场有势场无旋场标量源

第2章静电场与恒定电场

2.1节电场强度与电位函数2.2节真空中静电场的基本方程2.3节电介质的极化及介质中的场方程2.4节导体的电容及电耦合2.5节静电场的边界条件2.6节恒定电场2.1

电场强度与电位函数静电场（electrostatics）：由静止的且其电量不随时间变化的电荷产生的电场。本节要点点电荷的电场和电位分布电荷的电场和电位电场与电位的关系电偶极子的电位与电场1.电场强度(electricfieldintensity)

库仑定律（Coulom’slaw）

点电荷的电场强度

库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力的大小和方向取极限是为了使引入试验电荷时不致影响源电荷的状态r(1)点电荷的电场距离矢量xyzr

R=r-r

场点(观察点)P(x,y,z)源点S

(x

,y

,z

)点电荷的电场在一个空间中存在两个点电荷

n个点电荷的电场：

R2

E2

R1E1Or'1r'2r两电荷的电力线

V(2)分布电荷的电场分布电荷的电场：体电荷密度：面电荷密度：线电荷密度：RrP(r)dV'r'O两边积分例2-1（续）电力线无限长线电荷如果直线无限长，则无限长的线电荷产生的电场强度是一个沿径向发散的场，这是由源的性质决定的2.电位函数(electricpotential)若正试验电荷qt从P点到Q点的过程中电场力所做的功为W，则P点处的电位当电荷不延伸到无穷远处时，一般把参考点Q选在无穷远处，这时P点处的电位3.电位与电场强度电场强度表达为某个标量函数的梯度4.电位表达式点电荷产生的电位：

体电荷分布的电位：面电荷和线电荷分布的电位：电场强度与电位关系参考点选在无穷远点C=0，若源延伸到无穷远处，参考点就要重新选择，以表达式简捷、有意义为原则。线电荷的电位与电场例2-2球面上面元在场点产生的电位为真空中一个带电量为Q的导体球，试计算球内外的电位与电场。解：孤立的带电导体球的电荷必定均匀分布于球表面上，因而它在空间产生的电位是球对称的。为了方便，我们将场点选在z轴上。例2-2（续）带电导体球的电场电场强度

带电导体球的电位分布

结论上述结果表明：总带电量为Q的导体球产生的电位和电场与集中在球心处的电荷为Q的点电荷所产生的电位和电场相同；电位在r=a处是连续的，导体是一等电位体，它的表面是等位面；导体球的内部电场为零,在r=a处电场有一跃变，这是由于球面上的存在面电荷的缘故；在导体的表面上只有电场的法向分量，切向分量等于零。这是对静电平衡状态下导体的普遍适用的结论。xyz练习题一个半径为a,带电量为Q的圆盘,试计算过圆心的轴线上任一点处的电位与电场.提示:选择面元dS

,其上的电荷为

SdS

,由它所产生的电位为z

R结果:5.电偶极子

(electricdipole)

偶极矩矢量(dipolemomentvector)

相距很近的两个等值异号的电荷。

P点的电位：电偶极子的电力线与等位面2.2真空中静电场的基本方程

根据亥姆霍兹定理，研究一个矢量，从积分的角度就是研究其通量和环量，得到两个基本方程的积分形式；从微分的角度就要研究其散度和旋度，得到两个基本方程的微分形式。

本节要点电通量与电通密度

高斯定律电场强度的环量静电场的性质1.电通量和力线

力线(lineofforce)或通量线(fluxline)：试验电荷在电场中移动的路线人为地规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小。力线(fieldline)表示电通量.2.电通密度和电通量电通量的性质:与媒质无关；大小仅与发出电通量的电荷有关；如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面；单位面积上的电通量，即电通密度反比于R2。除了第一条外,电通量的性质与电场强度相同,引入电通密度电通量为xyz练习题z轴上一个点电荷电量为q，试计算穿过半径为a的圆盘的电通量.提示:z

R结果:选择面元dS,穿过

dS的通量为3.高斯定律(Gauss’law)

从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。高斯定律(Gauss’law)如果封闭曲面包围的是分布电荷,则S

V利用高斯通量定理空间任意存在正电荷密度的点都发出电通量线，如果电荷密度为负，电通量线指向电荷所在的点。[例2-3]

用高斯定律求无限长线电荷在任意点P产生的电场强度。解：过P点作一单位长度的高斯柱面P由于上下底面的贡献为零，且在圆柱面电通量密度D=常数

练习题已知同轴线的内外导体半径分别为a和b，求同轴线各区域的电场。同轴线的电场小结已知电荷求电场强度有三种方法:用电场强度的矢量积分式(最麻烦!!)先求电位，再根据E=

用高斯定理，但要想得到其解析解，要求电荷必须对称分布(最简单!!!)练习题半径分别为a和b，球心距离为c的两球面间均匀分布有体密度为

V的电荷，求空间各区域的电场强度.abczyx

V

4.电场强度的环量和性质积分形式微分形式电场强度沿任意闭合路径的积分等于零，电场强度为无旋场或保守场。静电场基本方程2.3电介质的极化及介质中的场方程

本节要点极化的概念极化强度矢量束缚面电荷密度束缚体电荷密度本构方程介质中的场方程1.电介质的极化(polarized)

无极分子有极分子正负电荷的作用中心重合正负电荷的作用中心不相重合而形成一个电偶极子通常所有分子等效电偶极矩的矢量和为零极化的示意图极化后介质中的合成电场E+E

小于外加电场极化前不呈现电性在外加电场作用下，发生了极化束缚电荷产生的场束缚面电荷极化和击穿在外加电场力的作用下，它们的等效电偶极矩的矢量和不为零，这种情况称为电介质的极化。极化的结果在介质的内部和表面形成极化电荷，这些极化电荷在介质内激发与外电场方向相反的电场。当加大外加电场，当电荷所受的电场力大于其内部束缚力时，电子将摆脱内部束缚力而成为自由电子，这种现象称为击穿。击穿场强:电介质在击穿前所能承受的最大电场强度(也称为电介质强度)，如空气的击穿场强为30kV/cm

2.极化强度极化强度矢量(polarizationintensityvector)

单位体积内的电偶极矩在线性、均匀、各向同性的介质中极化强度与电场强度的关系

某些聚合物材料极化后，即使去掉外加电场，极化强度一直保留，可成为永久性极化体，称为驻极体。PRrP(r)dV'r'O3.极化介质所产生的电位在极化介质中取一体积元dV

,其内的电偶极矩为dp=PdV

,它在P产生的电位R=r

r=RaRPRrP(r)dV'r'O极化介质的电位表达式对上式积分，并对第一项应用散度定理4.束缚电荷密度束缚体电荷密度

束缚面电荷密度如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则自由电荷的作用也必须考虑在内以决定电介质中的电场anan5.媒质的本构方程对于线性各向同性媒质媒质的本构方程相对介电常数在自由空间中

r=1，因此有D=

0E媒质的介电常数6.介质中的静电场方程2.4导体的电容电容器的电容双导体的电容单导体的电容多导体系统的电容本节要点1.双导体的电容电容器(capacitor)电容(capacitance）导体a导体b相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体构成电容器

一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比(1)

双导线的电容设双导线单位长度上的电荷为

l，由高斯定理P点处电场强度为DdxzP平行双导线单位长度的电容平行双导线的电场与电容(2)同轴线的电容(练习题)同轴线单位长度的电容2.单导体电容以单导线为例。设导线单位长度上所带电荷为

l，则它在空间产生的电场为则单导线与大地间的电位差为hd地xy单位长度的单导线与大地间的电容为

3.多导体系统的电容当有三个或三个以上导体存在时，称之为多导体系统。此时每两个导体间的电压要受到其余导体上电荷的影响，这时要计算系统中两导体之间的电容时就必须考虑其它导体的存在，引入部分电容的概念。

(1)电容系数在有N个导体组成的系统中，若已知各导体的电荷，则根据电位叠加原理，各导体上的电位

i可以表示为

ij称为电位系数若已知各导体的电位，则各导体上的电荷量可以表达为

ij称为电容系数(2)部分电容导体与大地间的自有部分电容

导体i与j互有部分电容

所有部分电容都为正值，且Cij=Cji。从系统来看，一个多导体静电系统等效于一个多端电容网络。(3)考虑大地时的双导线和同轴线导体12两端、导体1对地及导体2对地的等效输入电容分别为12地C12C11C22用实验测得C1、C2和C3后，由以上三式即可求得各部分电容。事实上，多导体之间分布电容的存在也是信号相互串扰（cross-talk）的主要原因之一。在高速数字系统的设计中必须予以考虑。

2.5静电场的边界条件

边界条件（boundaryconditions）决定分界面两侧各场量变化关系的方程

本节要点电通量密度的法向分量电场强度的切向分量分界面上电场的方向电位函数的边界条件两种常用的媒质分界面1.电通量密度的法向分量分界面在两种理想电介质之间

分界面在理想电介质与导体之间(媒质2为导体)0hD1D2n在两种媒质的分界面上作一高度趋于零的高斯面at为分界面的切线方向，n为分界面的法线，s为有向闭合路径的法线方向,它们的关系为2.电场强度的切向分量0hE1E2nsat在两种媒质的分界面上作一宽度h趋于零、长度为

l的矩形讨论分界面为两种理想电介质时，分界面上电场的方向满足

一般情况下，在两种不同介质的分界面上，电场强度和电通量密度一定要改变方向；只有当

1或

2等于零时，分界面上的电场方向才不改变，象平行板、同轴线和同心球中的电场就是这种情况。[例2-4]

若玻璃的相对介电常数

r=7，绝缘强度为60kV/cm，空气的绝缘强度为30kV/cm，板间距离为d=0.5cm，当两极板间接电压为10kV时电容器是否会击穿？分别求出有介质填充区域和无填充区域中的电场强度，板上及分界面上的自由面电荷密度、束缚电荷密度电容器的电容量

平行板电容器的长和宽分别为a和b，板间距离为d，电容器的一半厚度用介电常数为的玻璃介质填充，另一半为空气，若板上外加电压为U0，求解：由边界条件[例2-4]（续）两区域中的电场强度分别为

上极板（z=d)上自由电荷面密度

下极板（z=0）上自由电荷面密度

分界面上的自由电荷面密度为零

介质中的极化强度

[例2-4]续在z=d/2和z=0处介质上的束缚电荷面密度电容器的总电荷和电容

结论：介质中的电场强度小于真空中的电场强度，这是由于介质表面的束缚电荷产生的电场与外加电场相反所致，且介质填充后电容器的电容增大。介质[例2-4]续由于，所以玻璃介质不会被击穿。将和d=0.5cm及U0代入电场的表达式得可见，E2大于空气的绝缘强度，空气介质被击穿。空气击穿后，玻璃板承受全部电压，其场强为两层同轴线的电场2.6恒定电场

(steadyfield)

电流与电流密度恒定电场的基本方程接地电阻电动势

边界条件

恒定电场与静电场的比较

恒定电场：恒定电流在空间中存在的电场。它是由作恒定运动但不随时间变化的分布电荷所产生的。本节要点1.电流设空间分布的电荷在电场作用下作定向运动，在该体积空间中任取一个面积S，若在时间内穿过

t的电量为

q，则电流的大小定义为

恒定电流（steadycurrent）-----若电荷流动的速度不变，即电流是一个标量，从场的观点来看，它是一个具有通量概念的量，它没有表明导体横截面上每一点的电流分布状况。2.电流密度(currentdensity)

J的方向规定为正电荷的运动方向

电荷流动的空间是一个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流量为在垂直于电荷流动的方向上取一面积元

S，若流过

S的电流为

I，电流密度矢量J的大小体电流密度电流密度与电流的关系，就是一个矢量场与它的通量的关系。电流密度(currentdensity

)电流方向则定义面电流的线密度矢量JS的大小为：JS的方向仍为正电荷的运动方向。

线电流——当电荷在一根很细的导线中流过或电荷通过的横截面很小时，可以把电流理想看作为线电流I。不论是体电流、面电流还是线电流，它们的大小都正比于相应电荷的运动速度，方向均为正电荷的运动方向。面电流与体电流的概念的区别!在垂直于电荷流动的方向上取一线元

l,若流过

l线元的电流为

I3.恒定电场的基本方程

电流连续性方程(equationofcurrentcontinuity)微分形式对于恒定电流此时电流连续性方程简化为从任意闭合面S流出的电流应等于由S所包围的体积V中单位时间内电荷减少的数量通过任一闭合曲面的净恒定电流为零，导电媒质通过恒定电流时，其内部电流密度是无散或连续的。nJ任意闭合曲面恒定电场的基本方程(续)恒定电场(电源外空间)为保守场电流密度与电场强度的关系，对于线性媒质：

讨论焦耳定律(Joule’slaw)的微分形式

电流恒定时，电荷分布

V不随时间变化，所以恒定电场必定与静止电荷产生的静电场具有相同的性质，因此当电流密度J已知时，电导率越大，E越小；时，E

0。即只有理想导体内才有E=0与静电场不同。小结在电源外的空间，恒定电场所满足的方程导电媒质的本构方程J=

E单位体积所消耗的功率p=J

E1）恒定电场与静电场有什么不同？2）能量来自何方？它们的物理意义？4.接地电阻(groundresistance)

接地电阻:电流由电极流向大地时所遇到的电阻跨步电压(steppingvoltage):人跨一步的两脚间的电压我们来研究半径为a的半球形良导体接地电极的接地电阻。设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为r处的地中任一点的电流密度为将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接，这种埋在地内的导体或导体系统称为接地体或接地电极。接地半球中的电流减小接地电阻的方法相应的电场强度为电流在大地中的电压为接地电阻为增大接地电极面积的具体办法有：简单采用大块接地导体；或采用由若干个具有一定粗细、一定长度的导体柱组成的一个接地系统；或采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。接地电极尺寸越大，或者说接地体的表面积越大，接地电阻越小，此时接地仪器设备的外壳越接近大地的电位。[例2-5]

一个半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，如图所示。已知土壤的导电率为

=102S/m。求：接地电阻；若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5米的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2米，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率。解：接地电极的接地电阻为已知流入地中的电流为I，则在距球心r处的电场强度为跨步电压损耗功率5.电动势

(electromotiveforce)

自由电子在电场作用下逆电场方向运动形成电流；要在导体中维持一恒定电流，就必须给导体接上电源。电源是一种将其它形式的能量转换为电能的装置。库仑场强E：不仅存在于电源内部，还存在于电源外部，且在电源内部与E

的方向相反。电流是静电力与非静电力共同作用的结果！包含电源的欧姆定律的微分形式：在电源内部，有非静电力即非库仑场强E

(非静电力与电荷的比值

)存在,使正电荷由负极向正极运动，它只存在于电源内部。电源电动势电动势(electromotiveforce)

(续)这说明含电源的闭合回路中的总电场为E

+E，若回路中有恒定电流I且是均匀分布的，则相应的总功率为在电源外的导体中，电场都具有无旋特性，可以用E=

来分析。假设导体是均匀的，导电率是常数，由基本方程

J=0可得非保守场沿闭合路径的积分----电动势这表明在均匀导体中不会有体电荷存在，即达到稳态时导体内自由电荷体密度处处等于零。与静电平衡状态下导体电荷分布在表面的结论一致！只要媒质2为理想导体，那么媒质1中的J1和E1一定垂直于交界面，此交界面可认为是等位面

6.边界条件

电流密度J的法向分量连续电场强度E的切向分量连续

用电位函数表示的边界条件两种媒质交界面上场的方向结论分界面上必有电荷分布21J1E1[例2-6]

设单位长度上同轴线的漏电流为I，由电流密度的法向分量连续保证了在两种漏电媒质中半径为

处的电流密度为解：由此可求得由此可求得两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a，分界面半径为b，外导体半径为c；漏电导率为

1和

2。当外加电压为U时，计算介质中的电场强度、分界面上的自由面电荷密度及单位长度的漏电导。[例2-6]（续）单位长度上的漏电导两介质中的电场强度分别

分界面上的面电荷密度7.恒定电场与静电场比较静电场（的区域）

恒定电场（电源外）

练习题两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a，分界面半径为b，外导体半径为c；两层介质的介电常数分为

1和

2、当外加电压为U时，计算单位长度的电容。答案:abc

1

2两层介质的同轴中的电场第3章边值问题的解法3.1边值问题的提法3.2唯一性定理3.3镜像法3.4分离变量法3.5有限差分法1.边值问题的提法所谓边值问题就是给定边界条件下，求解电位函数所满足的方程。就边界条件而言，不同的问题有不同的给定方式，通常可以分为三类；而求解区域电位函数所满足的方程通常有泊松方程和拉普拉斯方程2.边值问题的分类第一类边界问题：已知场域边界面S上各点电位的值，即第二类边界问题：已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即

第三类边界问题：已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值，即如果边界面是导体，三类问题如何描述？3.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程(Poisson’sequation)——在线性、各向同性、均匀的电介质中对电荷分布在导体表面即

V=0，则拉普拉斯方程(Laplace’sequation)圆上的拉普拉斯方程3.2唯一性定理本节要点唯一性定理描述唯一性定理证明唯一性定理应用1.唯一性定理描述

给定边界条件给定边界条件静电场问题通常都可以归结为：在给定边值条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。即唯一性定理(uniquenesstheorem)描述静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有两解

1和

2，2.唯一性定理证明由于方程是线性的，两个解的差

=

1

2也满足方程，即在第一类边界条件下，来证明唯一性定理。

由格林第一定理令

=

=

，同时考虑

2

=0，则唯一性定理的证明（续）

在边界上的值又，所以，因而可以推得。而非负，故只有即在边界上，因此在第一类边界条件下拉普拉斯方程的解是唯一的。

唯一性定理也适合其它两类边界条件。3.唯一性定理的应用唯一性定理给出了拉普拉斯方程（或泊松方程）定解的充分必要条件。这个定理启发我们，不管采用什么方法，只要能找到一个既能满足给定的边界条件，又能满足方程的电位函数，则这个解就是正确的。镜像法、分离变量法等求解方法就是唯一性定理的具体应用。3.3镜像法

本节要点镜像法点电荷与平面边界点电荷与球面边界

线电荷的镜像1.镜像法(imagemethod)镜像----暂时忽略边界的存在，在所求的区域之外放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的电荷分布来进行计算，这个虚拟的电荷被称为实际电荷的镜像。原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边界条件。镜像法---唯一性定理的应用电荷产生的电位在源点外一定满足拉普拉斯方程。原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边界条件，以决定镜像电荷的大小及位置。注意！镜像电荷是虚拟电荷镜像电荷置于所求区域之外导电体的表面是等位面

2.点电荷与平面边界无限大导电平面上方d处有一点电荷q，则导电平面对点电荷的影响可以用置于导电平面下方的镜像电荷-q来代替，空间任一点P处的电位为显然，电位函数在上半平面（除点电荷所在的点外）均满足拉普拉斯方程；在边界分界平面上，电位函数满足边界条件。根据唯一性定理，上式必是我们所求问题的解。r2d-qdr1zxqP(1)镜像电荷的确定若两平面的夹角为

，而360

/

=n（偶数），则可以用镜像法求解，且镜像电荷数为n-1。若360

/

不是偶数，则镜像电荷就会出现在所求区域之内，这将改变该区域内电位所满足的方程，因而不能用镜像法求解。镜像电荷的数目对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界对称的位置上，且其两者大小相等、符号相反。[例3-1]

两平面夹角为，解：

所求点P(x,y,z)的电位：在（3，5，0）点的电位和电场强度分别为

：自由空间垂直放置的两无限大导电平面，电量为100nC的点电荷置于（3，4，0），求（3，5，0）点的电位和电场强度。其中3.点电荷与球面边界由电位函数在球表面处满足电位为零的边界条件，求出

自由空间中一接地导体球半径为a，一点电荷q置于距球心距离d处。计算导体球的表面电荷密度。解：由于导电球面弯曲，因此镜像电荷在数量上一般不等于真实电荷q，假设为-mq；其位置应在球内，且位于球心与实际电荷的连线上。任意点的电位为点电荷与球面边界(续)导体球的表面电荷密度

显然，只有当真实电荷在球面上时，镜像电荷在数量上才等于真实电荷。当电荷远离球体移动时，镜像电荷则趋向于球心。

如果导体球不接地,结果又如何?q-mqmq点电荷与球面边界4.线电荷的镜像自由空间中无限长接地导体圆柱半径为a，一个线电荷密度为

l的无限长带电直线置于离圆柱轴线距离d处，求圆柱外空间任一点处的电位。

分析：导体圆柱在带电线的作用下，在柱面上出现感应电荷。假设感应电荷为-

l

；其位置在距原点b处，则柱外任意点P处的电位为

电位函数在圆柱表面处满足电位为零的边界条件，即在

=a处对任意角度有在导体圆柱表面电场强度的切向分量等于零，即

（1）边界条件（2）结果此时圆柱外空间任一点处的电位为

圆柱面上的感应电荷面密度为

单位长度圆柱上的感应电荷为

感应电荷的总量与镜像电荷的大小相等。镜像法的本质就是用集中镜像电荷代替分布感应电荷的作用。

线电荷的镜像[例3-2]

两半径均为a的无限长平行双导线，导线间距为D，若导线间电压为U，求空间任一点的电位和单位长度的电容。利用接地导体圆柱的镜像（上面的分析）得以原点为参考点，线电荷在任意点处的电位分别为

右、左边圆柱上任一点的电位为

任意点P处的总电位为

[例3-2]（续）结论因此，两圆柱导体间的电压为单位长度的电容

可见，不考虑两电荷之间的影响时的结果与第2章的结果完全一致。

3.4分离变量法

分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。本节要点直角坐标系分离变量法圆柱坐标系分离变量法球坐标系分离变量法1.直角坐标系中的分离变量法

如果待求问题的边界面形状适合用直角坐标系表示,待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。电位函数的拉普拉斯方程为代入拉普拉斯方程可得到以下四个方程：分离变量法（续）kx、ky、kz称为分离常数,它们三个中只有两个是独立的，且它不能全为实数，也不能全为虚数或者为零。

分离变量法（续）若kx为实数若kx为虚数，或若kx=0，则微分方程的解为

g(y)和h(z)的情况类似因而求得对于给定边界条件的具体问题的解，拉普拉斯方程解的形式由边界条件来确定。[例3-3]

长方形截面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与槽绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。解：这是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为：令由分离变量法得以下三个方程[例3-3]（续）sin(nx/a)

称为在上述边界条件下的本征函数

要满足和时的边界条件在f(x)的三种可能的解中，只有f(x)=A1sinkxx且kx的取值为n

/a

kx=n

/a

为本征值

[例3-3]（续）若要g(y)满足时，的边界条件电位函数的通解为

由常数方程得，即ky为虚数，因此g(y)的解必为第二种。只有[例3-3]（续）

由时的边界条件决定，即系数Dn，利用三角函数的正交性质再对x从0到a积分得因此电位函数将等式两边同乘以，xampsin电位函数与求和的阶数U0=100V槽内电位分布、等位线及梯度边界条件改变槽内电位分布、等位线及梯度分离变量法（小结）根据问题所给定的边界情况，选定适当的坐标系，写出该坐标系的拉普拉斯（或泊松）方程的表达式；确定待求电位函数为几个变量函数；把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个函数仅是一个坐标变量的函数；若待求位函数为二维函数，则将其表示成两个单变量函数的乘积；将二个未知函数的乘积代入拉普拉斯（或泊松）方程，分解出二个常微分方程和一个常数方程。根据给定的边界条件和而二个常数之间的关系，写出二个常微分方程解的通解形式；用给定的边界条件及三角函数的正交性，确定待定常数。练习题长方形截面的导体槽，边界条件如图所示，求槽内的电位函数。U=U0sinx/a边界条件变化对结果的影响

以上为直角坐标系中二维拉普拉斯方程的求解过程，三维拉普拉斯方程的求解与上述类似，只是解答形式较复杂，在展成傅立叶级数时会遇到双重傅立叶积分。

2.

圆柱坐标系中的分离变量法

在求解圆柱空间或有柱面边界的场问题时，采用圆柱坐标较为方便。圆柱坐标中电位的拉普拉斯方程为采用分离变量法，圆柱坐标系中拉普拉斯方程的一个解为n阶第一类贝塞尔函数

n阶第二类贝塞尔函数或纽曼函数

式中的所有系数均由边界条件确定！

第一类贝塞尔函数曲线特殊情况1如果我们研究的问题是圆柱沿方向无限长，则电位与z无关，此时拉普拉斯方程变为应用分离变量法上述方程的解为式中的所有系数由边界条件确定！

特殊情况2如果圆柱的电位是圆对称的且z方向无限长，即电位与z和

方向无关，此时拉普拉斯方程为此时方程的解为

以上分析了几种条件下圆柱结构拉普拉斯方程解的可能形式，下面举例来说明其具体应用。式中的系数同样由边界条件确定！

[例3-5]

半径为a、介电常数为

的无限长介质圆柱置于均匀电场E0中，圆柱轴线与E0垂直，求圆柱内、外的电位和电场分布。分析：在均匀电场作用下，介质圆柱表面将出现极化电荷，因而空间任一点的电位是均匀场的电位和圆柱面上的极化电荷所产生的电位的叠加。根据坐标面一致的要求，选择圆柱坐标系如图所示。此时，均匀电场的电位和圆柱表面的极化电荷所产生的电位均与坐标z无关。[例3-5](续)设柱内、外的电位分别为

1和

2，其表达式分别为其边界条件为

（1）在圆柱轴线

=0处，

1应为有限值；（2）当

时，

2应为-E0

cos

；（3）在

=a的圆柱面上，

1=

2和

[例3-5](续)由条件(1)得C2=0、Fn=0，此时圆柱内电位表达为圆柱外的电位表达式为[例3-5](续)由条件（3）得上面两式任意角度都成立，比较sin

和cos

的系数得联立两组方程解得[例3-5](续)再比较其它正弦和余弦项的系数得

综合上述各系数，可得到圆柱内、外的电位为[例3-5](续)分别对电位函数求负梯度，可得相应的电场强度

可见，介质圆柱内的电场比原外加电场要小，这是由于介质圆柱在外加电场作用下发生极化，极化后在右半圆柱面上产生正的极化电荷，在左半圆柱面上产生负的极化电荷，极化电荷在圆柱内产生的电场与外加电场E0反向，因而总电场减弱。外加电场中的介质柱3.

球坐标系中的分离变量法

在求解球空间或有球面边界的场问题时，采用球坐标较为方便。球坐标中电位的拉普拉斯方程为，利用分离变量法求得方程的通解为m阶l次第一类连带勒让德函数

球对称性问题的解具有球对称性问题的拉普拉斯方程的通解为

勒让德多项式

[例3-7]

设有一半径为a的接地导体球，放置于均匀的外电场E0中，球外为真空，试求空间任一点处的电位和电场分布。

zraOE0分析：静电平衡状态下球面和球内电位处处相等，由于导体球接地，所以球面和球内电位均为零。由于电位对极轴对称，电位与坐标

无关，此时电位函数的通解应为：

[例3-7](续)所以上式展开成如下形式

所以球外任意点的电位为球外任意点的电场强度为

由上式可见：在导体球表面仅有电场的法向分量，导体表面感应电荷密度为3

0E0cos

，导体球外的电位（电场）是由均匀电场E0和感应电荷共同产生的。事实上能用分离变量法进行求解的结构是十分有限的，对于复杂结构的电磁场问题，一般采用数值法求解。

[例3-7](续)外加电场中的接地导体球3.5有限差分法当所求问题的边界比较复杂，通常采用数值解法。目前，比较成熟的求解电磁场问题的数值解法很多，如主要有矩量法、有限差分法、有限元法、边界元法等等，采用计算机求数值解，理论上可以得到任意要求的精度。本节要点差分方程的建立简单迭代法

超松弛法

1.差分方程的建立1）一般来说，网格划分得愈细所能达到的精度愈高，但计算时间也愈长；2）网格的划分有不同的方法，这里仅介绍正方形网格划分。

首先把求解区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用网格节点上的离散的数值解代替。有限差分法是把微分方程在给定点附近用差分代数方程代替而计算电位的一种近似方法。差分方程的建立（续）设二维平面场中每个正方形格子的边长为h

i-1,j和

i+1,j可以用在点(i,j)附近的泰勒级数展开为线与线的交点为节点设区域中某点(i,j)的电位为

i,j，则其上下左右四个点的电位分别为差分方程的建立（续）同理

i,j+1和

i,j-1在点(i,j)附近的泰勒级数展开为在h足够小的情况下，忽略4阶以上的高次项,将以上四式相加得泊松方程与拉普拉斯方程的差分形式设所研究区域中电荷密度为

V，点(i,j)电位满足泊松方程

如果所研究的区域

V=0

，则二维拉普拉斯方程的有限差分形式为

在没有体电荷分布的区域，任意点的电位等于围绕它的四个点的电位的平均值。1.简单迭代法首先对待求节点设置初值；当初值给定后，利用拉普拉斯方程的有限差分形式，按一个固定的顺序（从左到右，从下到上）依次计算每点的电位，用围绕它的四个点的电位平均值作为新值，当所有的点计算完后，用它们的新值代替旧值就完成了一次迭代。然后再进行下一次迭代，直到每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围为止。特点是用前一次迭代得到的节点电位作为下一次迭代的初值。

2.超松弛法

与简单迭代法相比，超松弛法有两点重大改进：第一是计算每一节点电位时，把刚才得到的邻近点第二电位新值代入，即在计算(i,j)点的电位时，把它左边的点和下面的点的电位新值代入，即

第二，再把上式写成增量的形式由于提前使用了新值，所以加快了收敛速度!

增量超松弛法(续)为了加快收敛，我们引进松弛因子s，上式可以表达为松弛因子s的取值一般在1与2之间，它有一个最优值。如果松弛因子选择适当，收敛速度还将加快。

当我们给予每点的增量超过使方程达到局部平衡所需要的值，将加快收敛速度。[例3-8]长方形截面的无限长导体槽，其上有一块与槽绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为100V，求槽内的电位函数。分析：在直角坐标系中，矩形槽的电位满足拉普拉斯方程，利用Laplace方程的差分形式，采用超松弛法即可求得槽内的电位。取步长为1，将长方形截面划分成x方向网格数为16、y方向网格数为10的格子，共有16×10=160个网孔、17×11=187个节点，其中槽内节点为15×9=135个（待求），边界节点有187-135=52个（电位已知）。

设迭代精度为10-6，利用MATLAB编制程序可以求得结果。导体槽内的电位分布、等位线及电力线这个问题采用简单迭代法需要的迭代次数为222，而采用超松弛法，当松弛因子取1.591时，在同样的精度下迭代次数只有40，显然超松弛法比简单迭代法收敛快。

矩形槽内的电位分布是左右对称，说明计算的场域可以缩小一倍。[例3-9]

长方形截面的无限长导体槽，边界条件如图所示，求槽内的电位函数。

分析：在直角坐标系中，矩形槽的电位仍满足拉普拉斯方程，但这是一个含第二类边界条件的问题，仍然利用Laplace方程的差分形式，采用超松弛法求得槽内的电位，但须要保证每次迭代后保证第二类边界上各节点的取值相等。取步长为1，将长方形截面划分成x方向网格数为16、y方向网格数为10的格子，共有16×10=160个网孔、17×11=187个节点，其中槽内节点为15×9=135个（待求），边界节点有187-135=52个（电位已知）。

导体槽内的电位分布、等位线及电力线矩形槽内的电位分布左右不对称，且其电位值全部大于零，这是由边界条件所决定的。

有限差分法第4章恒定电流的磁场

4.1节恒定磁场的基本方程

4.2节磁介质的磁化、磁场强度4.3节边界条件

4.4节自感和互感

4.1真空中恒定磁场的基本方程磁通密度及其散度磁通连续性原理磁矢位和磁偶极子磁场强度安培环路定律矢量泊松方程本节要点当产生磁场的电流恒定时，它所产生的磁场也不随时间变化----恒定磁场(magnetostatics)1.磁通密度(magneticfluxdensity)

安培力定律C1I1C2I2dl2r2dl1Or1R括号中的量值取决于电流回路C1的电流分布及场点到源点的距离矢量，而与电流回路C2无关磁通密度2.毕奥—萨伐尔定律(Biot-Savart’slaw)

三者互相垂直并遵循右手螺旋关系。用不带撇的坐标表示场点，用带撇的坐标表示源点

磁通密度的单位为T(特斯拉tesla)，或(韦伯/平方米)，工程上，常因这个单位太大而选用高斯(Gaussion)，1高斯(G)=10-4特斯拉(T)OSrP(x,y,z)线电流元产生的磁通密度,也称为毕奥——萨伐尔定律[例4-1]

一根沿z轴放置长度为2l的直导线通过z方向的电流I。求其在周围产生的磁通密度。

解：

无限长载流直导线的磁通密度为

选择柱坐标系，源点坐标为(0,0,z

)，场点坐标为P(,,z)根据毕奥——萨伐尔定律，则线电流的磁场3.磁通密度的散度利用式及矢量恒等式磁通密度又根据恒等式

可得由恒定电流产生的场是无散场或连续的场4.磁矢位(magneticvectorpotential)由第1章已知，只有当一个矢量场的散度和旋度同时确定时，这个矢量场才唯一确定。

库仑规范(Coulomb’sgauge)

A称为磁矢位，单位为Wb/m（韦伯/米）

矢量A的表达式为（选无穷远处为参考点）磁通密度的散度恒等于零,它可以用矢量的旋度来表示[例4-2]

电流圆环产生的磁场求如图所示的一个半径为a的微小电流环的磁矢位和磁通密度。

解：电流环在P点产生的磁矢位的表达式为

上式写成球坐标中的表达式，有

选择球坐标。源点坐标为，场点坐标为[例4-2]（续）令小电流环的面积S的方向与电流的方向成右手螺旋关系小电流环的磁矢位可以表达为小电流环的磁通密度为

小电流环也称为磁偶极子IS=pm5.磁偶极子

带电流的圆环所产生的磁力线在磁场的实验中已证实：一根微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布是相同的。对偶：

磁偶极子及其磁场与电偶极子及其电场之间存在对偶关系。一种解释是永久磁针的两端分别存在正磁荷和负磁荷。这种虚构的磁荷+qm相隔距离d便形成一个磁偶极子，其磁矩为pm=qmd，也一定等效于电流回路的磁矩pm=IS

电流的磁场6.磁通连续性原理

通过任意曲面S上的磁通量（magneticflux）定义为

若曲面S为闭合曲面，则穿过闭合曲面S的磁通量为

对上式应用散度定理，有穿过一个封闭面的磁通量等于离开这个封闭面的磁通量，换句话说，磁通线永远是连续的，称为磁通连续性原理。CS7.磁场强度与安培环路定律

自由空间中磁场强度H（magneticintensity）：

安培环路定律(Ampere’scircuitallaw)：应用斯托克斯定理，有磁场强度沿任一闭合路径的线积分等于闭合路径所包围的净电流由恒定电流产生的磁场是有旋场J8.恒定磁场的基本方程积分形式微分形式[例4-3]

载流长直导线的磁场一根沿z轴放置的无限长直导线通过方向的电流I。试用安培定律求空间任一点的磁场强度与磁通密度。解：由对称性，该电流产生的磁力线必然是同心圆，对任意半径

空间任一点的磁场强度为磁通密度为用安培定律算得的结果与例4-1相同，但却简便得多。小结由恒定电流产生的磁场是无散场（连续的场）求解磁通密度的三种方法1)用矢量积分式直接求磁通密度2)先求磁矢位再求磁通密度3)安培定律求磁场强度9.矢量泊松方程必须指出：这里的后面是矢量，所以称为矢量拉普拉斯算子，同标量拉普拉斯方程中的算子（后面是标量称为标量算子）完全不同。

根据矢量恒等式：

同时考虑到库仑规范，有对于无源区域

矢量拉普拉斯方程(vectorialLaplaceequation)矢量泊松方程(vectorialPossionequation)直角坐标系中的矢量泊松方程在直角坐标系中

由于矢量泊松方程可分解为三个分量(标量)的泊松方程

三个分量方程和静电场的电位泊松方程形式相同，因此它们的求解方法也相同。4.2磁介质的磁化、磁场强度

物质的分类磁化强度磁化介质的磁矢位束缚电流密度媒质的本构方程本节要点1.物质的分类抗磁体(diamagnetic)—感受轻微推斥力的物质。顺磁体(paramagnet)—受到轻微力量拉向中心的物质。铁磁体(ferromagnetic)—被磁力吸进去的物质。铁磁物质所受磁力可能是顺磁物质所受磁力的5000倍。如铁、磁铁矿等像金属铝、铜等由于顺磁物质与抗磁物质所受的力很弱，因此将它们归在一起，统称为非磁性物质，且非磁性物质的磁导率与自由空间的相同。所有的有机化合物和大部分无机化合物是抗磁体2.磁性物质的磁化

其磁偶极矩的表达式为在没有外加磁场时，就一般媒质而言，由于各分子磁矩的取向随机而相互抵消，对外不呈磁性。在外施磁场作用下，各分子磁矩沿磁场方向排列，媒质内部磁偶极子的有序排列，相当于沿媒质表面流动的这些电流称为束缚电流(boundcurrent)它在媒质内部产生一个附加场。分子中的电子以恒速围绕原子核作圆周运动形成分子电流，它相当于一个微小电流环可以等效为磁偶极子3.磁化的物理过程

(a)(b)(c)(a)磁偶极子随机排列的磁性物质(b)外场使磁偶极子有序排列

(c)(b)中排列好的电流环等效于沿物质表面的电流4.磁化强度设在体积内有n个原子，pmi是第i个原子的磁矩，于是单位体积的磁矩定义为设在磁化介质中取一个体积元，其磁矩为，由它所产生的磁矢位为体积V内的磁化磁矩所产生的磁矢位为如果M

，表明该物体是已经磁化的5.束缚电流密度利用恒等式磁矢位可重写为束缚体电流密度

束缚面电流密度

6.本构方程(constitutiveequations)

对于线性、均匀、各向同性的媒质，有比例常数称为磁化率(magneticsusceptibility)

本构方程——

媒质的磁导率(permeability)——

在计算磁化后总的合成磁场时，可以把媒质所占空间视为真空，由束缚电流和自由电流在真空中产生的磁场进行叠加讨论对于顺磁物质，

m数量级为10-3的正数；对于抗磁物质，

m数量级为10-610-9的负数；对于上述两种物质的

r都接近于1。一般工程中常把这些物质的磁性质看作与真空相同。铁磁物质的B与H不成线性关系，且B与H的函数关系随铁磁物质的结构而异，但仍满足B=

H，只是其中的

不再是常数。BrHm-HmBm-BmBr为剩余磁通硬磁材料----永久磁铁（直流电机）软磁材料----交流电磁滞回线-----每周磁滞损耗磁滞回线4.3

边界条件

磁通密度的边界条件磁场强度的边界条件两种媒质分界面上磁场的方向本节要点1.边界条件表达式两种磁介质的分界面在两种不同媒质的分界面上，有如果分界面上的面电流密度为零，则2.两种特殊情况

磁介质2磁介质1

铁磁体非磁物质

磁场垂直穿过两种磁介质的分界面时，磁场的方向不改变，且数值相等磁场由铁磁体物质穿出进入一个非磁性物质的区域时，磁场几乎垂直于铁磁体物质的表面[例4-4]

设x<0的半空间充满磁导率为的均匀媒质，x>0的半空间的磁导率为，现有一无限长直电流沿z轴正向流动，且处在两种媒质的分界面上，如图所示。求两种媒质中的磁通密度和磁化电流的分布。两种媒质中的磁通密度解：根据安培定律在两种媒质的交界面上磁通密度的法向分量连续再利用媒质的本构方程可以求得两种媒质中的磁通密度为[例4-4]（续）由于导磁媒质是均匀的，所以媒质内部无磁化电流。

在两种媒质的分界面上，由于磁场与界面垂直，故也没有磁化电流。

在电流与媒质相接触的媒质分界面上，存在磁化电流

Ib磁化电流为

现以z轴为中心轴作一圆，并用安培定律，得[例4-4]中的磁场强度与磁通密度分布4.4自感和互感磁通和全磁通磁链自感和互感本节要点1.自感(self-inductance)

在线性媒质中，一个电流回路在空间任一点产生的磁通密度的大小与其电流成正比，因而穿过回路的磁通量也与回路电流成正比；

如果一个回路是由一根导线密绕成N匝，则穿过这个回路的总磁通（称为全磁通）等于与单匝线圈交链的磁通和匝数的乘积；全磁通又称为磁链(magneticfluxlinkage)。

自感——穿过回路的磁链是由回路本身的电流产生的，则磁链与电流的比值称为自感。自感取决于回路的形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率。

2.互感(mutualinductance)若有两个彼此靠近的回路C1和C2，电流分别为I1和I2，如果回路C1中电流I1所产生的磁场与回路C2相交链的磁链为

12C1C2I1I2S1S2M12和M21均称为回路与的互感，且有M12=M21

如果回路C2中电流I2所产生的磁场与回路C1相交链的磁链为

21，则

21与I2的比值定义为互感则互