2024山西省太原市五中高三下学期一模数学试题及答案

太原五中2023—2024学年度第二学期校一模且AE则（）高三数学A．16B．12C．8D．-4的母线,侧面积为,若正四面体ABCD能在圆锥51111时间：2024.5一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．内任意转动,则正四面体ABCD的最大棱长为（）111132A．1B．6C．D．3）,则R,集合Axx2x3,Byyx,则CRBA（）22naT1a（）8．设数列a的前项之积为T,满足（nN*nnnnxxxxA．{-1＜＜2}B．{2＜＜3}C．{xxxx＜3}D．{-1＜＜0}404840474049A．B．C．D．i)1i240492．复数z的共轭复数为（）1i二、选择题：本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对得部分分,有选错的得0分．1i1i1iA．B．,条件p:C．D．f(x)Asin(xA)(0)的图象与x轴的其中两个231,条件q:sin3．设,则p是q的（）222交点为A、B,与y轴交于点C,D为线段BC的中点,OBOC,OAA．充分不要条件C．充要条件B．必要不充分条件221AD,则（）D．既不充分也不必要条件34．甲,乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习,则两人选取的科目不完全相同的概率为（）f(x)x8对称A．的图象不关于直线f(x)3385834B．C．D．的最小正周期为A．B．C．D．f(x2)的图像关于原点对称x22y22a=1(、b均为正值)的渐近线的倾斜角为,该双曲线与5．设双曲线-ab在7单调递减f(x)x2y2f(x)xRf(3x)f(1x)0,都有=（）=1的离心率之积为1,且有相同的焦距,则10．已知函数的定义域为R,且,椭圆+433173x0时，f(x),f(x)f(xf(，f(),当22则下列说法正确的是（）2243732A．B．C．D．72的图象关于点0对称f(x)A．函数6．在中,BCABCBA,设点D为的中点,上，2高三数学·校一模第1页共页)高三数学·校一模第2页(共6页)f2的学习时间的相关关系,针对本校49名考生进行了解,其中每周学习物理的B．时间不少于12小时的有21位学生,余下的人中,在物理考试中平均成绩不足f(2023)f(2024)f(2025)2C．5120分的学生占总人数的,统计后得到以下表格：7f(x)ylnx的图象有8个不同的公共点D．函数与函数大于等于120分120分82111．外接圆半径为2的满足A3cosBC4,则下列选项正确学时不少于12的是（）学时不足1242549A.BCB.AC.的面积是D.的周长是(Ⅰ)请完成上面的2×2列联表,能否有97.5%的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”？三.填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分．(Ⅱ)若将频率视为概率,从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数的期望和方差．12．化简Cn1Cn2Cn332n1Cnn．cc22Cn(adbc)2(ab)(cd)(acbd)中,内角,B,C所对的边分别是a,,c,已知2,附：K=2b2aBK2≥k0)0.1002.7060.0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.001334那么A,设边的中点为D,若a7,且的面积为,则k010.828的长是．x214．已知椭圆y2O为原点,过第一象限内椭圆外一点P(x,y)作椭圆00216．(本小题满分15分)如图,在四棱锥P中,底面//CD,是直角梯形,,.记直线,,,k,k,k,k的斜率分别为,1234的两条切线,切点分别为1,22.kk,则5x3y0kk的最小值是3若．12044(Ⅰ)点E在侧棱//平面EAC,E在侧棱上的位置;四、解答题：本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)(Ⅱ)若平面平面ABCD,生不会的内容.某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理且22,求二面角AB的余弦值.高三数学·校一模第3页共页)高三数学·校一模第4页(共6页)17．(本小题满分15分)fxa已知函数()xex1aR的图象在x0处的切线过点()2.在，上的最小值;f(x)(Ⅰ)求f(x)在0(Ⅱ)判断内零点的个数,并说明理由.318．(本小题满分17分)2,0、B2,0,直线和直线相交于点P,且直线和直已知点1线的斜率之积为.2(Ⅰ)求点P的轨迹所对应的曲线F的方程；l:y1两点,若Q2是否存在实数k,D,E(Ⅱ)直线与曲线F相交于4使得的面积为？若存在,请求出k的值；若不存在,请说明理由.319．(本小题满分17分)1且aaa(a为“指数型数列”.n0an,mN,都有给定数列,若满足,对于任意的nanmanaa,则称数列ma1*nnn1n1nN,判断数列a(Ⅰ)已知数列满足n11是不是“指数型数列”？若是,请给出证明,若不是,请说明理由;ana2a3aNa,证明:数列中naa1*(Ⅱ)若数列n任意三项都不能构成等差数列.高三数学·校一模第5页共页)高三数学·校一模第6页(共6页)太原五中高三校考数学题第卷（选择题）8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1RAxx2-2x-3＜0}Byyx2}(CRBA（）A{x-1＜x＜2}B{x2＜x＜3}C{xx＜3}D{x-1＜x<0}【答案】x-1＜x＜3}，CRByy<0}，∴A∩(CRBx-1＜x＜0}i)1i22．复数Z1的共轭复数为（1iB．）A．iC．1i1iD．i)1i2(ii)【答案】CZ==-1-i，∴共轭复数为-1+i2313．设，条件p:，条件q:sin，则p是q的（）2．充分不要条件B．必要不充分条件C．充要条件．既不充分也不必要条件22312【答案】当cos2sin，26133而sin得或，cos或，26622p是q的充分不必要条件4BCD四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为3385834A．B．C．【答案】D4×4=16种，科目完全相同434的方法共有4×1=4种，∴科目不完全相同方法共有12种，P1.x22y225-=1(ab均为正值)的渐近线的倾斜角为abx2y2椭圆+的离心率之积为1，且有相同的焦距，则sin=433732A．D．72Cc=1a2+b2=1cc22a2b2ba22ba22b离心率之积为1得=21433∴aaa2a3=3，又0，∴=226．在中，BC,ABCBA，设点D为的中点，上，2且AEBD则（）A．16B．12C．8D．-4【答案】0，B0,c6，D3设E，b，8b由题意可知AEBD，所以88AEBD0.即，b0所以.3.所以E.所以.故选33的最大棱长为（7.已知圆锥的母线能在圆锥内任意转动，则正四面体）32．1．．D．3【答案】B【详解】如图，在圆锥半径为，中，设圆锥母线长为，底面圆因为侧面积为，所以，即．因为，所以，所以．棱长为的正四面体则正方体的棱长为如图所示，的正四面体的外接球半径为．取轴截面则，设内切圆的半径为，，解得，即圆锥的内切球半径为．因为正四面体，即能在圆锥内任意转动，所以，所以正四面体的最大棱长为．8．设数列a的前项之积为T，满足an1（nNn（）*nnn4048404940474049．．．D．【答案】B【详解】因为aTnN)，nn13所以1T1，即aa1，所以1，111nnnnN*)T0，显然n所以所以，n1112(nnN)*，nn1111所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，nT11132(n2n1所以，n1121即n，所以．2n1121故选：B．3618分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得部分分，有选错的得0分．9．如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为ABy轴交于点D为线段BC的中点，，，，则（．）的图象不关于直线的最小正周期为对称B．C．．的图像关于原点对称单调递减在【答案】ACD【详解】由题可，，，则，有，，，，把代入上式，得，由，解得负值舍去)，，，解得，，解得，，对，，故A正确；对B：的最小正周期为，故B错误；对C：确；，为奇函数，故C正对：当正确.时，，在单调递减，为奇函数，故D故选：ACD.10．已知函数的定义域为，且，都有，当，，，时，，则下列说法正确的是（）．函数B．的图象关于点与函数对称C．．函数【答案】的图象有8个不同的公共点【详解】由由得函数关于关于对称，A正确；得函数对称，所以所以所以，，，即，，故函数的周期为，，由又知，时，，所以，，解得，所以所以时，，B正确；，C错误；画出函数和函数的图象，如图：，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确.故选：ABD.、外接圆半径为2的满足2sinA3cosBC则下列选项正确的是（）．BCB．A425C．．【答案】AC【详解】即，,，，，，，，,,,故选第Ⅱ卷（非选择题）三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.化简C1nC2nC3n32n1Cnn．33n【答案】23【详解】Cn1Cn2Cn332n1CCnn1n22Cn223C3n2Cnnn2312nCn033n22cc22sinCsinB13.在,B,C所对的边分别是a,b,c2b2a334A，设边的中点为D，若a7，且的面积为，则AD的长是．【答案】6023sinCsinBc1）在中，由正弦定理得，，bcc22sinCsinBcc22c因为，所以，2b2a2b2ab化简得，b2c2abc，2b2c2a212在中，由余弦定理得，cosA，π又因为0Aπ，所以A3123334由△ABC由abcA，得bc3，42b2c2bccosA，得7b2c23，所以b2c10．21又因为边的中点为D，所以ADABAC，2所以()121211222b2c2bcA232x214.已知椭圆yO为原点，过第一象限内椭圆外一点Px作椭圆的两0022条切线，切点分别为A，B．记直线,OB,,PB的斜率分别为k,k,k,k，若12341kk，则5x3ykk1240034【答案】51【详解】由于kk0，故,B不关于x轴对称且,B的横纵坐标不为0，124所以直线AB方程斜率一定存在，设直线AB的方程为yt，联立x2y21得，212kx4ktxt20，2221k2t221k22设Ax,y,Bx,y，则xx,xx，1121212t1t2kxx1xt2故122122t22412k2k2t2k2t2，12k2212k211y22其中1,k2，1y214yyxx故，即，xx41212128k2t2t22所以，解得t22k1，212k212k1x21又椭圆在点Ax,y的切线方程为1y1，12x22同理可得，椭圆在点Bx,y的切线方程为y2y1，21x22x20由于点Px,y为1y1与y2y1的交点，01x202x20故yy1，yy1，20100所以直线AB为xy0y1，2因为直线AB的方程为yt，对照系数可得02y01k,t，y02210又t2k21，故41，整理得x20y01，2y02y00又Px,y在第一象限，0xy1故点Px,y的轨迹为双曲线22位于第一象限的部分，00b211211k3k4，同理可得a211b222221，a222k2111则3k411k2k2又由于02y021，x00，y00，故xy，00设5030h，则h0，则两式联立得16y06hy0h250，22由Δ36h264h250得，h4，2检验，当h4时，503y04，又02y201，5434x0解得，满足要求.故5030的最小值为4故5x3ykk5y00034577分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．本小题满分13分)习时间的相关关系，针对本校49名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于12小时的有21120分的5学生占总人数的，统计后得到以下表格：7大于等于120分120分学时不少于12学时不足1282149(Ⅰ)请完成上面的2×2列联表，能否有97.5%的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”？Ⅱ)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数的期望和方差．n(bc)2附：K=2(ab)(cd)(acbd)K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82815.解：Ⅰ)完成后的2×2列联表如下大于等于120分120分21学时不少于12学时不足1213882028282149--------------------------------3分49821282129∵K2==≈5.444＞5.024--------------------------------5分∴能有97.5%--------------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)中的2×2列联表知大于等于120分且周自主学习时间不少于12小时的频率是，----------------------------------------------------------------------------7分设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数为随机变量，依题意Y~B(20，，------------------------------------------------------------------10分∴E(Y)=20×=，D(Y)=20××(1-．---------------------------------------------------13分16．本小题满分15分)如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90º，DA=DC=2AB=2．(Ⅰ)点E在侧棱上，且PD∥平面EAC，确定E在侧棱上的位置；(Ⅱ)若平面⊥平面ABCD，且2，求二面角A—PD—B的余弦值．16.解：Ⅰ)连接BD，设BD∩AC=F，连接EF，则平面PDB∩平面EAC=EF，∵PD∥平面EAC，∴∥EF，-------------------------------------------------3分∵底面ABCD是直角梯形，AB∥，且DC=2AB，∴DF=2BF，∴PE=2BE，∴E为侧棱PB上靠近B处的三等分点；--------------------------------------6分Ⅱ)∵平面⊥平面ABCD2，∴PO⊥，∴PO⊥平面ABCD，为中点)∴如图所示建立空间直角坐标系，则依题意有A(1，0，0)，B(1，1，0)，D(-1，0，0)，---------------8分PO=2=7，∴P(0，0，7，2∴DP，0，7，DA，0，0)，DB，1，0)，-------------------------------------------------------------------------9分x7z0n0设nx，y，z是平面APD的一个法向量，则111，1111n0011取y=1得n10)(指向二面角内)-----------------------------------------------11分11设nx，y，z)是平面BPD的一个法向量，2222n0x7z0122，取z2=7得n2-7，14，7指向二面角外)则n0012---------------------------------------------------------------------13分nn7∴cos＜n，n＞=12=，---------------------------------------------------14分12nn1327∴二面角A—BD—C的大小的余弦值为．----------------------------15分11317．本小题满分15分)已知函数的图象在处的切线过点.(1)求在上的最小值;(2)判断在内零点的个数,并说明理由.17.解法一:(1),-------------------------------------2分，-----------------------------------3分又,所以切线方程为又切线过点得,,所以----------------------------------------------------------------4分所以,当时,,所以在上单调减------------------------------6分所以的最小值为在------------------------------------------------7分(2)判断零点个数,等价于判断方程根的个数,等价于判断方程令根的个数-------------------------------------------------8分,令,则,得------------------------------------------------------------------------------------10分当当时,在单调递增;时,在单调递减----------------------------12分,或)所以所以时,方程有2根,在有2个零点---------------------------------------------------15分解法二:(1)-----------------------------------------2分所以切线方程为因此切点为,--------------------------------------------------------3分,得,所以,---------------------------------------------------------------4分所以,当时,,所以在上单调递减----------------------------6分-------------------------------------------------7分,--------------------------------8分所以的最小值为(2)由(1)得令,则在上为减函数,--------9分,所以在从而当所以上必有一个零点,使得------------------10分时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减.又,所以在当上必有一个零点,使得--------------------------------------12分时,,即,此时单调递增;当时,,即,此时单调递减------------------------13分又因为所以在上有一个零点,在上有一个零点----------------14分综上,在有且只有2个零点--------------------------------------------15分18．本小题满分17分)已知点2,0、B2,0，且直线和直线相交于点P，且直线和1直线的斜率之积为.2Ⅰ求点P的轨迹所对应的曲线F的方程；(Ⅱ)直线l:y1与曲线F相交于D,E两点，若Q2是否存在实数k，使得4的面积为?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。318.解：设点P的坐标为x,y，因为点A的坐标是0，所以直线的斜率ykx2-------------------------------------------------------------------------2分x2y同理，直线的斜率kx2---------------------------------------------4分x2yy1x2y2所以化简得点P的轨迹方程F为1x2-------------6分x2x2242y1（2）设Dx,y,Ex,y联立，化为：12k2x2420，1122x22y244k12k212k0，∴xx,xx.--------------------------