专题1.10 平行线章末八大题型总结（拔尖篇）（浙教版）（原卷版）

专题1.10平行线章末八大题型总结（拔尖篇）【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平行线在三角板中的运用】 1【题型2平行线在折叠中的运用】 3【题型3旋转使平行】 4【题型4利用平行线求角度之间的关系】 5【题型5利用平行线解决角度定值问题】 8【题型6平行线的阅读理解类问题】 10【题型7平行线的性质在生活中的应用】 12【题型8平行线与动点的综合应用】 13【题型1平行线在三角板中的运用】【例1】（2023下·浙江温州·七年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．

(1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．【变式1-1】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．【变式1-2】（2023上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①∠CPD∠BPN为定值；②∠BPN【变式1-3】（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板(1)如图2，当边AC落在∠DAE①∠CAD与∠②过点A作射线AF，AG，若∠CAF=13∠(2)设△ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与△ABC的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的【题型2平行线在折叠中的运用】【例2】（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【变式2-1】（2023下·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带ABCD进行两次折叠，先沿折痕MN向上折叠，再沿折痕AM向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角∠2=26°，则第一次折叠时∠1应等于°．

【变式2-2】（2023下·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM>DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1=∠2，则∠CPM

A．74° B．72° C．70° D．68°【变式2-3】（2023下·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，△BCE沿BE折叠，点C

(1)观察发现：如图①所示：∠C=60°，∠FED=45°(2)拓展探究：如图②，点F落在四边形ABCD的内部，探究∠FED，∠ABF，(3)迁移应用：如图③，点F落在边CD的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．【题型3旋转使平行】【例3】（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，边与边平行．【变式3-1】（2023下·河北唐山·七年级统考期末）如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，，，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（

）

A．旋转30° B．旋转50° C．旋转80° D．旋转130°【变式3-2】（2023下·安徽六安·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．

【变式3-3】（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图（1），在三角形ABC中，，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2），使，则（）A． B． C．或 D．或【题型4利用平行线求角度之间的关系】【例4】（2023下·广东广州·七年级统考期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．【变式4-1】（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若∠C=2∠D(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，(3)在（2）的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x【变式4-2】（2023下·安徽·七年级统考期末）如图，直线m∥n，Rt△ABC中∠ACB=90°，Rt△ABC的边AC、AB与直线

(1)将Rt△ABC如图1位置摆放，如果∠ADE=46°，则(2)将Rt△ABC如图2位置摆放，H为AC上一点，∠HFG+∠CFG(3)将Rt△ABC如图3位置摆放，若∠EDC=140°，延长AC交直线n于点K，点P是射线EG上一动点，探究∠PDK，∠【变式4-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）【问题情境】如图1，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上．直接写出∠E

【实践运用】如图2，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上．FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若

【拓广探索】如图3，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点P为平面内不在直线AB，CD，EG上的一点，若∠BHP=x，∠DGP=y

【题型5利用平行线解决角度定值问题】【例5】（2023下·河南商丘·七年级统考期末）已知AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD，AB分别交于E，

(1)如图（1），P在AB、CD之间，若∠EFB=50°，∠EDP(2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，则(3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，【变式5-1】（2023下·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E

(1)求证：AE⊥(2)求证：DE平分∠ADC(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想【变式5-2】（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB(1)如图1，若FAB=150°，求∠(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB-∠(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线AB，CD，使AB【变式5-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段(1)求证：∠ABE(2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，标记∠BFE①若∠1-∠2=16°，求∠ADC②当k=________时，k∠1+∠2为定值，此时定值为【题型6平行线的阅读理解类问题】【例6】（2023下·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）【注重阅读理解】阅读以下材料：已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥(1)如图1，若∠CDE=22°，∠DEB=75°，则(2)如图2，BG平分∠ABE，GB延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP【变式6-1】（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）[课题学习]：平行线的“等角转化”功能．

[阅读理解]：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，所以∠B=_________，又因为∠所以∠B[解题反思]：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“[方法运用]：（2）如图2，已知AB∥ED，求[深化拓展]：（3）已知AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点①如图3，若∠ABC=60°，则∠②如图4，点B在点A的右侧，若∠ABC=n°，则∠【变式6-2】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B

解：过点A作ED∥BC，所以∠B=又因为∠EAB所以∠B

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“(2)方法运用：如图1，已知AB∥CD，求(3)深化拓展：已知直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接PA、①如图2，已知∠A=50°，∠D②如图3，请判断∠PAB、∠CDP、

【变式6-3】（2023下·河南商丘·七年级永城市实验中学校考期末）阅读材料：如图1，若AB//CD，则理由：如图，过点E作EF//则∠B因为AB//所以EF//所以∠D所以∠BED交流：（1）若将点E移至图2所示的位置，AB//CD，此时∠B、∠探究：（2）在图3中，AB//CD，∠E应用：（3）在图4中，若AB//【题型7平行线的性质在生活中的应用】【例7】（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与

(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM【变式7-1】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，则∠2=．

【变式7-2】（2023下·七年级单元测试）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE//AB，求∠【变式7-3】（2023下·广东广州·七年级统考期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO=38°，∠DCO=78°，则【题型8平行线与动点的综合应用】【例8】（2023下·北京通州·七年级统考期末）已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．(1)当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子