河北省行唐启明中学2025届数学高一下期末考试模拟试题含解析

河北省行唐启明中学2025届数学高一下期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列角位于第三象限的是（）A． B． C． D．2．下列说法中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．函数的定义域为R，数列是公差为的等差数列，若，，则（）A．恒为负数 B．恒为正数C．当时，恒为正数；当时，恒为负数 D．当时，恒为负数；当时，恒为正数4．已知、都是单位向量，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．5．已知函数的部分图象如图所示，则函数在上的最大值为（）A． B． C． D．16．若存在正实数，使得，则（）A．实数的最大值为 B．实数的最小值为C．实数的最大值为 D．实数的最小值为7．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．8．已知，且为第二象限角，则（）A． B． C． D．9．若是2与8的等比中项，则等于()A． B． C． D．3210．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.12．化简：________13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，则的最大值为________.14．设x、y满足约束条件，则的取值范围是______.15．如图，在正方体中，点P是上底面（含边界）内一动点，则三棱锥的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.16．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设集合，其中.（1）写出集合中的所有元素；（2）设，证明“”的充要条件是“”（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.18．已知两个不共线的向量a，b满足，，．（1）若，求角θ的值；（2）若与垂直，求的值；（3）当时，存在两个不同的θ使得成立，求正数m的取值范围.19．关于的不等式，其中为大于0的常数。（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围.20．内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，，求的面积.21．如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点.（1）如果，点的横坐标为，求的值；（2）已知点，函数，若，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择.【详解】第三象限的角度范围是.对A：，是第二象限的角，故不满足题意；对B：是第二象限的角度，故不满足题意；对C：是第二象限的角度，故不满足题意；对D：，是第三象限的角度，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题.2、C【解析】试题分析：选项A中，条件应为；选项B中当时不成立；选项D中，结论应为；C正确．考点：不等式的性质．3、A【解析】

由函数的解析式可得函数是奇函数，且为单调递增函数，分和两种情况讨论，分别利用函数的奇偶性和单调性，即可求解，得到结论．【详解】由题意，因为函数，根据幂函数和反正切函数的性质，可得函数在为单调递增函数，且满足，所以函数为奇函数，因为数列是公差为的等差数列，且，则①当时，由，可得，所以，所以，同理可得：，所以，②当时，由，则，所以综上可得，实数恒为负数．故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及等差数列的性质的应用，其中解答中合理利用等差数列的性质和函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．4、B【解析】

由、都是单位向量，由向量的数量积和共线的定义可判断出正确选项.【详解】由、都是单位向量，所以.设、的夹角为.则，所以A，D不正确.当时，、同向或反向，所以C不正确.,所以B正确.故选：B【点睛】本题考查了单位向量的概念，属于概念考查题，应该掌握．5、A【解析】

由图象求出T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再求x∈[6，10]时函数f（x）的最大值．【详解】由图象可知，5﹣3＝2，解得T＝8，由T8，解得ω；∴函数的解析式是f（x）＝sin（x+φ）；∵（5，1）在f（x）的图象上，有1＝sin（φ）∴φ＝2kπ，k∈Z；φ＝2kπ，k∈Z；又﹣π＜φ＜0，∴φ；∴函数的解析式是f（x）＝sin（x）当x∈[6，10]时，x∈[，]，∴sin（x）∈[﹣1，]；∴函数f（x）的最大值是．故选A．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记图像与性质是关键，是基础题．6、C【解析】

将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.【详解】由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7、B【解析】

先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b；③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|xN﹣xP|，即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得b＞1，故有1b．综上可得b的取值范围应是，故选B．【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．8、D【解析】

首先根据题意得到，，再计算即可.【详解】因为，且为第二象限角，，..故选：D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.9、B【解析】

利用等比中项性质列出等式，解出即可。【详解】由题意知，，∴．故选B【点睛】本题考查等比中项，属于基础题。10、B【解析】

如图,设抛物线方程为,交轴于点,则,即点纵坐标为,则点横坐标为,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,故选B.【点睛】二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率．12、【解析】

根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13、【解析】

先求得的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得的最大值．【详解】中，若的面积为，，．，当且仅当时，取等号，故的最大值为，故答案为：．【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．14、【解析】

由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距取值范围的求解；通过直线平移可确定的最值点，代入点的坐标可求得最值，进而得到取值范围.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将的取值范围转化为在轴截距的取值范围问题由平移可知，当过图中两点时，在轴截距取得最大和最小值，，的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查线性规划中的取值范围问题的求解，关键是能够将问题转化成直线在轴截距的取值范围的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.15、【解析】

设正方体的棱长为，求出三棱锥的主视图面积为定值，当与重合时，三棱锥的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小.【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥的主视图是底面边为，高为的三角形，其面积为，当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，其面积最大，最大值为，所以，三棱锥的主视图与俯视图面积比的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.16、；【解析】试题分析：设垂直于直线的直线为，因为直线在轴上的截距为，所以，所以直线的方程是.考点：两直线的垂直关系.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件.【解析】

（1）根据题意，直接列出即可（2）利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。（3）利用（2）的结论完成（3）即可。【详解】（1）中的元素有，，，。（2）充分性：当时，显然成立。必要性：若=1，则若=，则若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即综上“”的充要条件是“”（3）等价于等价于由（2）得“=”的充要条件是“”即“=”是“”的充要条件【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18、（1）（2）（3）【解析】

（1）由题得，再写出方程的解即得解；（2）先求出，再利用向量的模的公式求出；（3）等价于在有两解，结合三角函数分析得解.【详解】（1）由题得所以角的集合为.（2）由条件知，，又与垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，，即，又因为，所以.即m的范围.【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.19、（1）；（2）【解析】

（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围；（2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），，得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围．【详解】（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，结合，解得.（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得.又，所以.设，其对称轴为.注意到，，对称轴，所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3，此时中恰好含有三个整数等价于：，解得.【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题．20、（1）；（2）.【解析】

（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得，从而得．（2）用余弦定理求得，再由三角形面积公式可得三角形面积．【详解】（1）因为，由正弦定理，因为，，所以.因为，所以.（2）因为，，，由余弦定理得，解得或，均适合题.当时，的面积