暑假新高一985培优讲义：第15讲 共点力的平衡（解析版）

第15讲共点力的平衡1.知道共点力的平衡条件，并会分析生产生活中的相关问题。2.能运用数学中的三角函数、几何关系等对力与平衡问题进行分析和推理。3.能从不同的角度解决力与平衡问题。一、共点力作用下的平衡状态和平衡条件1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态。我们就说这个物体处于平衡状态。2.平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。3.平衡条件的表达式：F合＝03.由平衡条件得出的三个结论分析思路：多力eq\o(→,\s\up7(转化))三力eq\o(→,\s\up7(转化))二力二、共点力平衡条件的应用1.处理平衡问题的常用方法合成法物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反分解法物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡正交分解法物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0，∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0矢量三角形法如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题2.应用共点力平衡条件解题的步骤(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。(4)建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。(5)求解方程，并讨论结果。三、动态平衡问题1.动态平衡问题的特点：物体受到的共点力中有几个力会发生缓慢变化，而变化过程中物体始终处于平衡状态。2.处理动态平衡问题常用的方法解析法对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出已知力与未知力的函数式，进而判断各个力的变化情况图解法根据已知力的变化画出不同状态时力的平行四边形或力的三角形(画在同一个图中)，然后判断各个力的变化情况考点一：静态平衡问题【例1】如图所示，教室天花板下挂着一盏灯，由于意外情况零线NO与火线MO分开成图示形状，若灯的重力为12N，则NO上张力大小为（）A．6N B．7.2N C．9.6N D．10N【答案】B【详解】对结点进行受力分析，将与合成后必与等大，反向，共线，如图所示则故选B。考点二：动态平衡问题【例2】如图所示，光滑小球夹于竖直墙和装有铰链的薄板OA之间，当薄板和墙之间的夹角α逐渐增大到90°的过程中，则（）

A．板对小球的支持力增大B．墙对小球的弹力增大C．墙对小球作用于力一定小于球的重力D．板对小球的支持力一定不小于球的重力【答案】D【详解】AB．以小球为研究对象，受重力、墙壁支持力和挡板支持力，球处于平衡状态，合力为零，如图

由图可知，墙壁对球的弹力F2逐渐减小，挡板对球的支持力F1逐渐减小，故AB错误；CD．由上图可以看出当薄板和墙之间的夹角α逐渐增大到90°的过程中所以板对小球的支持力一定不小于球的重力；F2可能比重力大，可能比重力小。故C错误，D正确。故选D。1．将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱，其中第3、4块固定在地基上，第1、2块间的接触面是竖直的，每块石块的两个侧面间所夹的圆心角均为30°，石块间的摩擦力可以忽略不计。则第1块对第2块的弹力F1和第1块对第3块的弹力F2的大小之比为（）

A． B． C． D．【答案】A【详解】对第一块石块进行受力分析，受到重力和两个支持力，如图所示

由图中几何关系知θ=60°所以有故选A。2．如图所示，轻绳AD跨过固定于墙轻杆BC右端的轻质定滑轮，挂一个重力为G的物体，，，忽略各处的摩擦。下列说法正确的是（

）A．轻绳AC对墙的拉力大小为 B．轻绳AC对墙的拉力大小为2GC．杆对滑轮的作用力大小G D．滑轮对轻绳的作用力大小为2G【答案】C【详解】AB．轻绳AC对墙的拉力大小等于物体的重力G，轻绳AC对墙的拉力大小也为G，选项AB错误；

CD．因AC与CD的夹角为120°，且两段绳子的拉力均为G，根据平行四边形定则可得两段绳子对滑轮的作用力为G，则杆对滑轮的作用力大小G，选项C正确，D错误。故选C。3．如图所示，竖直墙壁与光滑水平地面交于B点，质量为的光滑圆柱体紧靠竖直墙壁置于水平地面上O1为半圆柱体截面所在圆的圆心，质量为且可视为质点的均质小球用长度等于A、B两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的A点，小球静置于半圆柱体上。当换用质量不变，而半径不同的光滑半圆柱体时，细线与竖直墙壁的夹角就会跟着发生改变，已知重力的速度为g，不计各接触面间的摩擦，下列正确的是（

）A．当时，细线对小球的拉力大小为B．当时，半圆柱体对小球的支持力大小为C．换用半径更小的半圆柱体时，半圆柱体对地面的压力保持不变D．当时，地面对半圆柱体的支持力大小为【答案】A【详解】AB．对小球进行受力分析如图甲所示，连接和，由几何关系可知小球受力平衡，有；选项A正确，B错误。CD．对小球和半圆柱体整体进行受力分析，整体受地面的支持力，墙壁的弹力，细线的拉力，重力，如图乙所示，整体受力平衡，则在竖直方向上有当时换用半径更小的半圆柱体时，改变，则改变，故CD错误。故选A。4．如图所示，质量为m的小球在细绳与轻弹簧的共同作用下处于静止状态，细绳与竖直墙壁的夹角为，轻弹簧左端固定在O点且弹簧恰好处于水平，已知重力加速度为g，则（）A．开始时，弹簧弹力大小等于B．开始时，弹簧弹力大小等于C．若将O点稍微上移一点，小球仍有可能在原位置保持静止D．若将O点稍微下移一点，小球仍有可能在原位置保持静止【答案】D【详解】AB．开始时小球受到重力、细绳的拉力和弹簧的弹力，其中弹簧的弹力水平向右，如下图所示；根据平衡条件可得弹簧弹力大小为故A、B错误；C．若将O点稍微上移一点，弹簧的弹力变为斜向下，要想使小球静止在原来的位置，弹簧弹力和细绳拉力都增大（如下图位置①所示）；但由于O点上移，弹簧的压缩量减小，弹力减小，小球不可能在原位置保持静止，故C错误；D．若将O点稍微下移一点，弹簧的弹力变为斜向上，要想使小球静止在原来的位置，弹簧弹力和细绳拉力都减小（如图位置②所示）；由于O点下移，弹簧的压缩量减小，弹力减小，所以小球仍有可能在原位置保持静止，故D正确。故选D。5．如图所示，水平面上放置一个倾角的斜面体，质量。现把一个质量的物体放在该斜面体上，用沿斜面向上大小为20N的拉力F作用于物体上时，物体与斜面体都保持静止，则下列说法正确的是（g取，，）（）

A．物体对斜面体的摩擦力方向沿斜面向下B．斜面体对物体的作用力大小等于8NC．地面对斜面体的摩擦力大小等于12ND．斜面体对地面的压力大小等于100N【答案】B【详解】A．对物体沿斜面方向有解得，方向沿斜面向下根据牛顿第三定律可知，物体对斜面体的摩擦力大小为，方向沿斜面向上，故A错误；B．斜面体对物体有支持力、摩擦力，且这两个力互相垂直，而根据平衡条件可得斜面体对物体的支持力由此可知斜面体对物体的作用力大小为故B正确；C．运用整体法进行分析，将斜面体和物块看成一个整体，整体受到斜向右上方的拉力，易知拉力在水平方向的分力即整体有向右运动的趋势，根据平衡条件可知地面给斜面体的摩擦力大小与相同，方向相反，故C错误；D．拉力在竖直方向的分力整体分析，竖直方向根据平衡条件有解得地面对斜面体的支持力而根据牛顿第三定律可知，地面对斜面体的支持力大小等于斜面体对地面的压力，即斜面体对地面的压力为，故D错误。故选B。6．如图所示，倾角为的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，则下列说法正确的是（）

A．c对b的摩擦力始终增加B．地面对c的支持力始终不变C．地面对c的摩擦力始终不变D．细绳对滑轮的作用力方向始终不变【答案】D【详解】A．对b受力分析：

b受重力，a给它的拉力，斜面给它的支持力，摩擦力未画出，摩擦力有多种情况：当F大于重力的下滑分力，则摩擦力沿斜面向下，在a中的沙子缓慢流出的过程中，拉力F变小，摩擦力先变小到零后反向变大。当F小于重力沿斜面向下的分力，则摩擦力沿斜面向上，在a中的沙子缓慢流出的过程中，拉力F变小，摩擦力一直变大。故A错误；BC．选bc整体为研究对象，受力分析如图：

根据整体受力平衡可知，在a中的沙子缓慢流出的过程中，拉力F变小，故地面对c的支持力N一直变大，地面对c的摩擦力减小。故BC错误；D．a、b、c都处于静止状态，故绳子方向不发生变化，且绳上的拉力大小相关，由二力合成特点可知细绳对滑轮的作用力方向始终不变。故D正确。故选D。7．如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，小滑块在水平力F的作用下静止于P点。现在保持F的方向不变，改变F的大小，使小滑块从P点缓慢移动到容器中最低的位置，此过程中F和容器壁对小滑块的支持力FN的大小变化情况是（）A．F逐渐增大，FN逐渐增大 B．F逐渐减小，FN逐渐减小C．F先减小后增大，FN逐渐减小 D．F逐渐减小，FN先减小后增大【答案】B【详解】对小滑块受力分析如图所示根据平衡可知；从最高点缓慢移到最低点角逐渐增大，所以F、都在减小。故选B。8．如图所示，质量为M的斜面体静置于水平面，斜面体上表面光滑。小球被轻质细绳系住放在斜面上。小球质量m，斜面倾角，悬线与竖直方向夹角，则下列说法正确的是（）

A．地面对斜面的支持力是B．地面对斜面的摩擦力是C．若增大悬线与竖直方向夹角，斜面对小球的弹力增大D．若增大悬线与竖直方向夹角，绳子对小球的拉力先增大后减小【答案】C【详解】AB．以小球为研究对象，受力分析如图所示

根据平衡条件得知，T与N的合力为则有解得以小球和斜面整体为研究对象，受力分析如图所示

根据受力平衡可知，地面对斜面的支持力为地面对斜面的摩擦力为故AB错误；CD．悬线与竖直方向夹角增大，如图所示

由图分析得知小球受到的弹力增大。绳子对小球的拉力先减小后增大，故C正确，D错误。故选C。1．如图所示，用三根轻细线a、b、c将两个小球1和2连接并悬挂。两小球均处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。若用传感器测出细线c受到的张力，则可以求出（）

A．细线a对球1的拉力 B．细线b对球2的拉力C．球2受到的重力 D．球1受到的重力【答案】A【详解】对a、b整体受力分析，可得，可知可以求出细线a对球1的拉力、a、b两球的重力之和。故选A。

2．如图所示，物块A放置在倾角为的斜面B上，A、B间接触面光滑；在物块A上施加一水平力，使A、B保持相对静止并一起沿水平面向左匀速滑动。若B与水平面间的动摩擦因数为，则A与B的质量之比为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，对A、B整体分析，如图所示由平衡条件有对A分析，如图所示

由平衡条件有联立解得A与B的质量之比为故选A。3．如图所示，物体静止在斜面上，斜面对物体的支持力为，物体受到的摩擦力为，则当斜面倾角变小时，下列说法正确的是（）A．变小，变小 B．变小，变大C．变大，变小 D．变大，变大【答案】C【详解】对物体受力分析如图所示可得，斜面对物体的支持力为物体受到的摩擦力为由上述式子可知，当斜面倾角变小时，变大、变小，所以变大、变小。故选C。4．如图所示，半径为3R的半圆柱体P静止在水平地面上，静止于P上的光滑小圆柱体Q质量为m，半径为R，此时竖直挡板MN恰好与P、Q相切，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A．P对Q的弹力与挡板MN对Q的弹力之比为B．若挡板水平向右缓慢移动一小段距离且P仍静止时，P受到地面的摩擦力不变C．若挡板水平向右缓慢移动一小段距离且P仍静止时，P受到地面的支持力不变D．若P向左缓慢移动一小段距离后，Q受到P的弹力变小【答案】C【详解】A．对圆柱体Q受力分析，受到重力、挡板MN的弹力和P对Q的弹力，如图所示由几何关系得可得根据受力平衡可得，P对Q的弹力与挡板MN对Q的弹力之比为故A错误；BC．对P、Q整体受力分析，受重力、地面支持力、MN挡板对其向左的弹力和地面对其向右的摩擦力，根据共点力平衡条件，有，挡板水平向右缓慢移动一小段距离且P仍静止时，逐渐减小，逐渐减小，则P受到地面的摩擦力逐渐增大，P受到地面的支持力不变，故B错误，C正确；D．若P向左缓慢移动一小段距离后，根据由于逐渐减小，逐渐减小，则Q受到P的弹力变大，故D错误。故选C。5．在车间里，有一个光滑的圆柱体器件A，架在两个挡板B、C之间，挡板与水平地面的夹角均为，系统处于静止状态，截面图如图所示。现保持挡板B不动，将C沿逆时针方向缓慢转动到水平地面上。设B对A的弹力大小为，C对A的弹力大小为。在转动过程中（

）A．一直减小，一直增大 B．一直减小，先减小后增大C．先增大后减小，一直增大 D．先增大后减小，先减小后增大【答案】B【详解】由题意可知，小球重力大小方向均不变，B对小球的弹力方向不变，以小球为对象，受力如图所示由图可知一直减小，先减小后增大。故选B。6．如图，一根不计质量的轻杆垂直固定于竖直墙内，杆的另一端装有一质量不计的光滑定滑轮，绳子跨过滑轮挂着一质量为的物体，绳子的端固定在墙上，且与墙之间的夹角为，则轻杆对定滑轮的作用力为（）A．大小为，方向与轻杆成斜向上B．大小为，方向与轻杆成斜向上C．大小为，方向与轻杆成斜向上D．大小为，方向与轻杆成斜向上【答案】A【详解】物体受力平衡，故绳子的张力等于物体的重力mg；将绳子的拉力进行合成，如图所示故绳子对滑轮的压力为F＝mg滑轮受绳的压力和杆的支持力平衡，故杆对滑轮的作用力大小为mg，根据牛顿第三定律，滑轮对杆的作用力的大小也为mg，方向与AC成30°斜向上。故选A。7．如图所示，物体所受重力为60N，用不可长的细绳OC悬挂于O点，现用细绳AB绑住绳OC的A点，再用水平力牵引A点使其向右缓慢运动的过程中（

）A．AB绳拉力逐渐变小B．OA绳拉力逐渐变大C．若θ=60°时，OA绳的拉力为，AB绳的拉力为60ND．若θ=60°时，OA绳的拉力为120N，AB绳的拉力为【答案】BD【详解】AB．以A点为研究对象，受到三段细绳的拉力作用，如图所示则OA绳的拉力为，AB绳的拉力为F=Gtanθ由于θ逐渐增大，则OA绳拉力变大，AB绳的拉力增大，A错误，B正确；CD．若θ=60°时，OA绳的拉力为，AB绳的拉力C错误，D正确。故选BD。8．如图所示，A、B质量分别为mA和m，叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑，则（）

A．A、B间无摩擦力作用B．B受到的滑动摩擦力大小为（mA＋m）gsinθC．B受到的静摩擦力大小为mAgsinθD．取下A物体后，B物体仍能匀速下滑【答案】BCD【详解】A．对A分析有因此A、B间有静摩擦力的作用。A错误；B．对AB整体分析有，B正确；C．A给B的摩擦力为静摩擦力，大小为mAgsinθ，C正确；D．取走物体A后，物体B有物体B仍能做匀速直线运动，D正确。故选BCD。9．如图所示，物块受水平力F。物块和放在水平