2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.15分）直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是()A23）B2，3）C.(﹣3，2）D3，2）→25分）若{a，b，c}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是()，，→a+b+c，c35分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为()A．5fB．2fC．4fD．2f45分）“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件55分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有()A．6种B．12种C．18种65分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yiA小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程=0.4699x+0.235，决定系数R2＝0.8732．B小组先将数据按照变换u＝x2，v＝y2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程=−0.5006u+0.4922，决定系数R2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是()A．0.4699x﹣y+0.235＝0B．0.5006x+y﹣0.4922＝075分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点．设0A+0B+0C=0，则|AD|+|BD|+|CD|不可能等于()85分）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为△PF1F2的内心．直线PI交x轴于A点，||=c，且P1⋅P2=a2，则椭圆C的离心率为()二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则()A．x1是f（x）的一个极大值点B．x2是f（x）的一个极小值点C．x3是f（x）的一个极大值点D．x4是f（x）的一个极小值点（多选）105分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6抛掷两次．设事点数之和小于10”，则()A．事件B与事件C互斥B．P(AB)=C．P(B|A)=D．事件A与事件C相互独立（多选）115分）设双曲线C：a2+4=1(a＞0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确的是()A．双曲线C离心率的最小值为4B．离心率最小时双曲线C的渐近线方程为3x±y=0C．若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|＝|BD|D．若a＝1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值（多选）125分）已知曲线f(x)=，g(x)=，及直线y＝a，下列说法中正确的是()A．曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行B．若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=C．曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点1eD．若直线y＝a与曲线f（x）交于点A（x1，y1B（x2，y2与曲线g（x）交于点B（x2，y2C（x3，y3则x1x3=x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.135分x﹣yx+y）8展开式中，x3y6项的系数为.145分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x处的曲率k=．已知f（xcos（x﹣1lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1处的曲率为.155分）已知数列{an}满足a2＝8，an=[2(−1)n+n]an−1(n≥2，n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝log2（a2n+2•a2n﹣1log2（a2n•a2n+1则满足Sn﹣5＞0的正整数n的最小值为.165分）设函数f(x)=2|x+2|+cos(x)，则使得f（x+1f（2x）成立的x的取值范围四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）如图，在四面体ABCD中，=λ，=λ，=(1−λ)，=(1−λ)，λ∈（1）求证：E、F、G、H四点共面.（2）若λ=，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用、、、表示.1812分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n=2an+1(n∈N∗).（1）求数列{an}的通项公式.（2）若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的1912分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°,A1B=6.（1）证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值.2012分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求.（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁_____20偏好其他60__________合计_____60_____（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0①试证明{pn}为等比数列；d比较p5与q5的大小.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.8282112分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1B（x2，y2当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2.（1）求抛物线C的标准方程.（2）已知点P（1，0直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.①求证：直线CD过定点；②求△PAB与△PCD面积之和的最小值.2212分）设函数f（xx﹣1）2ex﹣ax，若曲线f（x）在x＝0处的切线方程为y=﹣2x+b.（1）求实数a，b的值.（2）证明：函数f（x）有两个零点.（3）记f′（x）是函数f（x）的导数，x1，x2为f（x）的两个零点，证明：f'()＞−a.2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.15分）直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是()A23）B2，3）C.(﹣3，2）D3，2）【解答】解：依题意3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（23故选：A.→25分）若{a，b，c}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是()，，→a+b+c，c【解答】解：−−=−(+)，则+−−共面，故+−−不能构成基底，故A错误；=[(+)+(−)]，因此向量，+，−共面，故不能构成基底，故B错误；假设=λ(+)+μ(−)，即=(λ+μ)+(λ−μ)，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；→→→→→→→→→(a+b)+c=a+b+c，因此向量a+b，a+b+c，c共面，故不能构成基底，故D错误.故选：C.35分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为()A．5fB．2fC．4fD．2f【解答】解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为122的等比数列{an}，第四个单音的频率为a4=f×(122)3=2f.故选：B.45分）“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①若点（a，b）在圆x2+y2＝1外，则a2+b2＞1，∵圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+2＝0的距离d==，∴d与半径1的大小无法确定，∴不能得到直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，∴充分性不成立，②若直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，则圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+1＝0的距离d==＜1，即a2+b2＞4，点（a，b）在圆x2+y2＝1外.∴点（a，b）在圆x2+y2＝1外是直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交的必要不充分条件.故选：B.55分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有()A．6种B．12种C．18种【解答】解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有CCA=18种.故选：C.65分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yiA小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程=0.4699x+0.235，决定系数R2＝0.8732．B小组先将数据按照变换u＝x2，v＝y2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程=−0.5006u+0.4922，决定系数R2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是()A．0.4699x﹣y+0.235＝0B．0.5006x+y﹣0.4922＝0【解答】解：由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，又A小组的决定系数R2＝0.8732，B小组的决定系数R2＝0.9375，∴B小组的拟合效果好，则回归方程为=−0.5006u+0.4922，又u＝x2，v＝y2，∴y2=﹣0.5006x2+0.4922，即02+0.22=1.故选：C.75分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点．设0A+0B+0C=0，则|AD|+|BD|+|CD|不可能等于()→=30D，→→→且|0D|＝1，所以|AD+BD+CD|＝3，→→→→→→→而|AD+BD+CD|≤|AD|+|BD|+|CD|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD，BD，CD同时时，等号成立，而A，B，C，D在球面上，不可能共线，即AD，BD，CD不同向，所以|AD|+|BD|+|CD|＞|AD+BD+CD|＝3，且|AD|，|BD|，|CD|均小于直径长2，即|AD|+|BD|+|CD|＜6，综上，3＜|AD|+|BD|+|CD|＜6，根据选项可知A不符合.故选：A.85分）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为△PF1F2的内心．直线PI交x轴于A点，||=c，且P1⋅P2=a2，则椭圆C的离心率为()【解答】解：不妨设点P位于第一象限，如图所示，因为I为△PF1F2的内心，所以PA为∠F1PF2的角平分线，PF1F1A→1|PF1||F1A|5所以PF2=AF2，因为|0A|=4PF1F1A→1|PF1||F1A|5设|PF1|＝5t，则|PF2|＝3t，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|＝8t＝2a，可得t=，所以|PF1|=，|PF2|=，又因为P1⋅P2=|P1|⋅|P2|COS∠F1PF2=a×a⋅COS∠F1PF2=a2，所以COS∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得，COS∠PF1F2=|PF1|||F1故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则()A．x1是f（x）的一个极大值点B．x2是f（x）的一个极小值点C．x3是f（x）的一个极大值点D．x4是f（x）的一个极小值点【解答】解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点.故选：AB.（多选）105分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6抛掷两次．设事点数之和小于10”，则()A．事件B与事件C互斥B．P(AB)=C．P(B|A)=D．事件A与事件C相互独立【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，对于A，事件B与事件C互斥，故A正确；所以，P(AB)==，故B错误；对于C，P(B|A)===，故C正确；对于D，P(A)==，P(C)==，所以，P(AC)=故选：AC. 364≠P(A)⋅P(C)，故D错误.（多选）115分）设双曲线C：a2+4=1(a＞0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确的是()A．双曲线C离心率的最小值为4B．离心率最小时双曲线C的渐近线方程为3x±y=0C．若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|＝|BD|D．若a＝1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值【解答】解：由题意可得e2==a+，因为a＞0，aama所以e2=a2+4=a+4≥2m⋅4=4，即e≥2，当且仅当a=4，即aama此时双曲线方程是=1，渐近线方程是3x±y=0．故A错误，B正确；设直线为x＝my+n代入双曲线C：a2+4=1(a＞0)，可得（m2a2﹣m2a+4m2）y2+2mn（a2﹣a+4）y+n2（a2﹣a+4）﹣a（a2﹣a+4）＝0，又双曲线的渐近线方程为a2+4=0，直线方程代入可得（m2a2﹣m2a+4m2）y2+2mn（a2﹣a+4）y+n2（a2﹣a+40，∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，∴AB、CD的中点重合，∴|AC|＝|BD|，故C正确.当a＝1，双曲线的方程为x2=1，双曲线的渐近线方程为y=±2x，设A（m，n故双曲线在A（m，n）的切线方程为mxny＝1，与y＝2x联立可得E的横坐标为4m，与y=﹣2x联立可得E的横坐标为，4m+2n∴S△EOF=|OE|•|OF|•sin∠EOF=×1+22×4m2n×1+22××sin∠EOF=×16m4n2×sin∠EOF=××sin∠EOF=sin∠EOF为定值，故D正确.故选：BCD.（多选）125分）已知曲线f(x)=，g(x)=，及直线y＝a，下列说法中正确的是()A．曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行B．若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=C．曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点1eD．若直线y＝a与曲线f（x）交于点A（x1，y1B（x2，y2与曲线g（x）交于点B（x2，y2C（x3，x对于A选项：f（00，f'(x)=x'⋅e⋅ex)'=1x，f′（01，所以曲线f（x）在x＝0处的切线为：y＝x；同理g（1）＝0，g'(x)=1x，g′（1）＝1，曲线g（x所以曲线f（x）在x＝0处的切线为：y＝x；即曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行，正确；对于B选项：即曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行，正确；所以曲线f（x）在(﹣∞,1）上单调递增，在（1，+∞)上单调递减，f(1)=又当x→﹣∞时f（x）→﹣∞,当x→+∞时f（x）→0，1,e若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=或a≤0，错误；对于C选项：曲线g（x）的定义域为0，+∞),g'(x)=1x，）＝1e所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞)上单调递减，且g(1)=0，1e所以曲线f（x）与曲线g（x）的大致图像为：易知当x∈（0，1）时，f（x0，g（x0，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（0，1）上无交点；e当x∈[1，e]时，f（x）单调递减，g（x）单调递增，且f(1)e>g(1)=0，f（ee1﹣e＜g（ee﹣1，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（1，e）上有一个交点；当x∈（e，+∞)时，记h（xx﹣lnx，ℎ'(x)=1，当x＞e时h′（x0恒成立，即h（x）在（e，+∞)上单调递增，即h（xh（ee﹣1＞0，即x＞lnx＞1，又曲线f（x）在（1，+∞)上单调递减，所以f（xf（lnx即＜=lx，即f（xg（x）恒成立，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（e，+∞)上没有交点；所以曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点，正确；对于D选项：当直线y＝a经过曲线f（x）与g（x）的交点时，恰好有3个公共点，且0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，==l2=l3，由f（x1f（x2f（lnx2所以x1＝lnx2，由g(x2)=g(x3)=g(ex2)，所以x3=ex2，即x1⋅x3=lnx2⋅ex2=x22，正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.135分x﹣yx+y）8展开式中，x3y6项的系数为﹣28.【解答】解x﹣yx+y）8＝x（x+y）8﹣y（x+y）8，二项展开式x（x+y）8的通项为xcx8−r二项展开式y（x+y）8的通项为ycx8−kyk=cx8−kyk+1，令=6，解得，因此，x3y6项的系数为c−c=28−56=−28，故答案为28.145分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x处的曲率k=．已知f（xcos（x[1+(f'(x))2]2﹣1lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1处的曲率为0.【解答】解：因为f（xcos（x﹣1lnx，所以f'(x)=−sin(x−1)，f″(x)=cos(x−1)，则f'(1)=sin0=−1，f″(1)=cos0=0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1处的曲率为k==[1+(|)2]=0.故答案为：0.155分）已知数列{an}满足a2＝8，an=[2(−1)n+n]an−1(n≥2，n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝log2（a2n+2•a2n﹣1log2（a2n•a2n+1则满足Sn﹣5＞0的正整数n的最小值为63.【解答】解：因为an=[2(−1)n+n]an−1(n≥2，n∈N∗)，a2＝8＞0，所以an＞0，a1=2(−1)n+n，所以bn＝log2（a2n+2•a2n﹣1log2（a2n•a2n+1）=log2(a所以bn＝log2（a2n+2•a2n﹣1log2（a2n•a2n+1）=log2(2(−1)2n+2+2n+2)−log2(2(−1)2n+2n)=log2（2n+4log2（2n+2）所以sn=log26−log24+log28−log26+⋯+log2(2n+4)−log2(2n+2)=log2，因为Sn﹣5＞0，所以log2＞5=log232，即＞32，解得n＞62，因为n∈N*，所以正整数n的最小值为63.故答案为：63.165分）设函数f(x)=2|x+2|+cos(x)，则使得f（x+1f（2x）成立的x的取值范围是(，1).【解答】解：由f(x)=2|x+2|+cos(x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cos(x−π)=2|x|−cos(x)为偶函数，所以g（x）关于y轴对称，所以f（x）关于x=﹣2对称，当x≥0时，g'(x)=2xln2+sin(x)，当x∈[0，2]时，因为sin(x)≥0，所以g′（x0，当x∈（2，+∞)时，g'(x)＞22ln2＞0，所以g（x）在上单调[0，+∞)递增，在(﹣∞,0）上单调递减，所以f（x）在(﹣∞,﹣2）上单调递减，在(﹣2，+∞)上单调递增，由f（x+1f（2x）得|x+1+2|＞|2x+2|，即（x+3）22x+2）2，解得＜x＜1，所以使得f（x+1f（2x）成立的x的取值范围是(，1).故答案为：(，1).四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）如图，在四面体ABCD中，AE=λAB，AH=λAD，（1）求证：E、F、G、H四点共面.（2）若λ=，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，→→→→用0A、0B、0C、0D表示0M.【解答】（1）证明：因为=−=λ−λ=λ，=−=(1−λ)−(1−λ)=所以=1λ，则∥，因此E、F、G、H四点共面.EH、FG不在同一条直线上，EH∥FG，→→→因为CG=13→0C+→=0A+0B+0C+0D1812分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n=2an+1(n∈N∗).（1）求数列{an}的通项公式.（2）若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的【解答】解1）设差数列{an}的公差为d，则由S4＝4S2，a2n=2an+1(n∈N∗)bn的等比数列，得abn+1=2n，因此2bn=2n，1912分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°,A1B=6.（1）证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值.【解答】（1）证明：取AC中点M，连接A1M，BM，则BM⊥AC.∴A1M⊥AC，∵A1M=BM=3，A1B=6，∴A1M2+BM2=A1B2，∴A1M⊥BM，∵AC∩BM＝M，∴A1M⊥平面ABC，∵A1M⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面ABC.（2）解：由题可知二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值与二面角A1﹣AB﹣C正弦值相等.∵A1M⊥平面ABC，过M作MN⊥AB于点N，连接A1N，∴∠A1NM即为所求二面角A1﹣AB﹣C的平面角，∵A1M=3，MN=A1M⋅cOS60°=∴Sin∠A1NM==.故二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值为.2012分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求.（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁_____20偏好其他60__________合计_____60_____（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0①试证明{pn}为等比数列；d比较p5与q5的大小.C0.0500.0100.001xC3.8416.63510.828【解答】解1）列联表如下：出行方式国际大都市中小型城市合计首选地铁20首选其他6040合计60200零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，X2=22~9.524＞6.635，根据小概率值C＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为pn，则当n≥2