湖南省衡阳市衡山县四校联考2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

第1页（共1页）湖南省衡阳市衡山县四校联考2022-2023学年七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有1个选项符合题意。请将符合题意的选项用2B铅笔填涂在答题卡相应位置）1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a3＝0 D．（a3）2＝a93．（4分）下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短 B．有理数的绝对值都是正数 C．等角的补角相等 D．垂线段最短4．（4分）今年3月，某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有19位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前9名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道19位同学分数的（）A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差5．（4分）下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1） C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）6．（4分）用代入法解方程组时，将①代入②得（）A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝67．（4分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，垂足为点B，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°8．（4分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（）A．20 B．18 C．15 D．269．（4分）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数为（）A．43° B．53° C．67° D．70°10．（4分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱，不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文是：现有甲、乙二人各自带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问：甲、乙各有多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，则下列符合题意的方程组是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）11．（4分）分解因式：4m﹣2m2＝．12．（4分）已知2x﹣3y＝4，用含x的代数式表示y为：y＝．13．（4分）如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是．14．（4分）某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩，课外论文成绩，平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是92，80，84，则她这学期期末数学总评成绩是分．15．（4分）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是（用含a，b的等式表示）．16．（4分）如图，已知条件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；③∠5+∠6＝180°；④∠7＝∠2+∠3；其中能够判定直线a∥b的是．（只填序号）三、解答题（本大题共6小题，共56分。）17．（9分）先化简后求值：2（xy2+xy）﹣3（xy2﹣yx）﹣4yx2，其中|x+1|+（y﹣1）2＝0．18．（9分）为响应上级“双减”号召，光明中学开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调查了人．（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中的m＝．（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．19．（9分）如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝44°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度数；（2）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？20．（9分）甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价9折出售，这样，商店共获利114元．（1）若甲的成本为x元，甲的标价是元，甲的售价是元，若乙的成本是y元，乙的标价是元，乙的售价是元．（用x，y的表达式填空）（2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元？（3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每个玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？21．（9分）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．22．（11分）阅读以下材料：目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于x2+3x+2，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，x2+3x+2最高含有x的二次项，所以看作由（ax+b）（cx+d）得到；第二步，去括号，（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd和x2+3x+2对比发现，二次项系数为1，二次项由ax和cx相乘得出，所以a＝c＝1（为了计算简便，往往取整数）；第三步，继续把x2+（b+d）x+bd和x2+3x+2对比，发现b，d两数之积为2，和为3，就不难凑出b＝1，d＝2，检验一下：（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，换个方向写就是因式分解了．请使用上述方法回答下列问题：（1）因式分解：①x2﹣5x+6；②2y2+y﹣36；对关于x的多项式因式分解：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有1个选项符合题意。请将符合题意的选项用2B铅笔填涂在答题卡相应位置）1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a3＝0 D．（a3）2＝a9【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；故选：B．3．（4分）下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短 B．有理数的绝对值都是正数 C．等角的补角相等 D．垂线段最短【解答】解：两点之间，线段最短，故A是真命题，不符合题意；非零有理数的绝对值都是正数，故B是假命题，符合题意；等角的补角相等，故C是真命题，不符合题意；垂线段最短，故D是真命题，不符合题意；故选：B．4．（4分）今年3月，某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有19位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前9名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道19位同学分数的（）A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差【解答】解：∵有19位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前9名进入决赛，并且知道某同学分数，∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可．故选：A．5．（4分）下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1） C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）【解答】解：A、2x2﹣4x＝2x（x﹣2），故本选项错误；B、a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），故本选项正确；C、a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，故本选项错误；D、x3﹣81x＝x（x+9）（x﹣9），故本选项错误．故选：B．6．（4分）用代入法解方程组时，将①代入②得（）A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝6【解答】解：①代入②得，x﹣2（2x﹣3）＝6，即x﹣4x+6＝6．故选：B．7．（4分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，垂足为点B，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【解答】解：如图∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝40°，∵DB⊥BC，∴∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．故选：B．8．（4分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（）A．20 B．18 C．15 D．26【解答】解：∵平移距离为3，∴BE＝3，∵AB＝6，DH＝2，∴EH＝6﹣2＝4，∵S△ABC＝S△DEF，∴S四边形ABEH＝S阴，∴阴影部分的面积为＝．故选：C．9．（4分）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数为（）A．43° B．53° C．67° D．70°【解答】解：∵AB∥DE，∴∠BCE＝∠DEC＝67°，∵∠CEF＝137°，∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝70°，∵AD∥EF，∴∠ADE＝∠DEF＝70°，故选：D．10．（4分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱，不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文是：现有甲、乙二人各自带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问：甲、乙各有多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，则下列符合题意的方程组是（）A． B． C． D．【解答】解：设甲有x钱，乙有y钱，依题意得：，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）11．（4分）分解因式：4m﹣2m2＝2m（2﹣m）．【解答】解：4m﹣2m2＝2m（2﹣m），故答案为：2m（2﹣m）．12．（4分）已知2x﹣3y＝4，用含x的代数式表示y为：y＝．【解答】解：2x﹣3y＝4，解得：y＝．故答案为：13．（4分）如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是垂线段最短．【解答】解：∵PQ⊥l，∴沿PQ开挖水渠距离最短，其中的数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．14．（4分）某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩，课外论文成绩，平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是92，80，84，则她这学期期末数学总评成绩是88.8分．【解答】解：由题意知，她这学期期末数学总评成绩＝92×70%+80×20%+84×10%＝88.8（分）．故答案为：88.8．15．（4分）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用含a，b的等式表示）．【解答】解：图中阴影部分的面积是：a2﹣b2，阴影部分的面积为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．16．（4分）如图，已知条件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；③∠5+∠6＝180°；④∠7＝∠2+∠3；其中能够判定直线a∥b的是①②③④．（只填序号）【解答】解：∠1＝∠2，由内错角相等，两直线平行判定a∥b，故①符合题意；∠3+∠4＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，判定a∥b，故②符合题意；∵∠3＝180°﹣∠6，∠4＝180°﹣∠5，∴∠3+∠4＝360°﹣（∠6+∠5），∵∠5+∠6＝180°，∴∠3+∠4＝180°，∴a∥b，故③符合题意；∵∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故④符合题意．∴能够判定直线a∥b的是①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共6小题，共56分。）17．（9分）先化简后求值：2（xy2+xy）﹣3（xy2﹣yx）﹣4yx2，其中|x+1|+（y﹣1）2＝0．【解答】解：由题意可知：x＝﹣1，y＝1，原式＝2xy2+2xy﹣3xy2+3yx﹣4yx2＝﹣xy2+5xy﹣4x2y，＝﹣（﹣1）×1+5×（﹣1）×1﹣4×1×1＝1﹣5﹣4＝﹣8．18．（9分）为响应上级“双减”号召，光明中学开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调查了200人．（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中的m＝10．（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．【解答】解：（1）40÷20%＝200（人）．在这次研究中，一共调查了200名学生．故答案为：200；（2）娱乐人数：200×40%＝80（人），其他人数：200﹣60﹣40﹣80＝20（人）．所以m＝＝10，补全折线统计图如图：故答案为：10；（3）2400×＝720（人），答：参加“阅读”方面活动的大约有720人．19．（9分）如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝44°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度数；（2）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？【解答】解：（1）∵∠AOC＝44°，OD平分∠AOC，∴，∴∠BOD＝180°﹣∠1＝158°；（2）解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵∠DOE＝90°，∴∠3＝∠DOE﹣∠2＝68°，∵∠4＝∠BOD﹣∠2﹣∠3＝68°，∴∠3＝∠4，∴OE是∠BOC的平分线．20．（9分）甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价9折出售，这样，商店共获利114元．（1）若甲的成本为x元，甲的标价是（1+60%）x元，甲的售价是0.9×（1+60%）x元，若乙的成本是y元，乙的标价是（1+50%）y元，乙的售价是0.9×（1+50%）y元．（用x，y的表达式填空）（2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元？（3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每个玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？【解答】解：（1）∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售，∴甲玩具的标价为（1+60%）x元，乙玩具的标价为（1+50%）y元，又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价9折出售，∴甲玩具的售价为0.9×（1+60%）x元，乙玩具的售价为0.9×（1+50%）y元．故答案为：（1+60%）x；0.9×（1+60%）x；（1+50%）y；0.9×（1+50%）y．（2）依题意得：，解得：．答：甲玩具的成本价是100元，乙玩具的成本价是200元．（3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，依题意得：100m+200n＝1000，化简得：m＝10﹣2n．又∵m，n均为正整数，∴或或或，∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具．21．（9分）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠C＝65°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝45°+65°＝110°，∴∠APC的度数为110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由：过P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）分两种情况：当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α，理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如图4，过P作PE∥AD交OD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β，综上所述，∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．22．（11分）阅读以下材料：目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法