2024年广东省深圳市南山区深圳湾学校中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年广东省深圳市南山区深圳湾学校中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（）A．+10℃ B．﹣10℃ C．+5℃ D．﹣5℃2．（3分）衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为（）A．5.127×1011 B．0.5127×1011 C．5.127×1010 D．5.127×1074．（3分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目作品甲乙丙丁创新性90959090实用性90909585如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（3分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（）A．26° B．30° C．36° D．56°6．（3分）下列运算正确的是（）A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a27．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（）cm．A． B． C． D．8．（3分）下列命题中叙述正确的是（）A．若方差，则甲组数据的波动较小 B．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 C．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．对角线互相垂直且平分的平行四边形是正方形9．（3分）某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（）A． B． C． D．10．（3分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A．54 B．52 C．50 D．48二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：4a﹣ab2＝．12．（3分）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为．14．（3分）如图，在菱形ABOC中，AB＝4，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：．17．（7分）先化简，然后在﹣1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．18．（8分）某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（2）七年级代表队学生成绩的平均数是，中位数是，众数是；（3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是度，m的值是；（4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．19．（8分）某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：第一次第二次甲品牌耳机（个）2030乙品牌耳机（个）4050总费用（元）1080014600（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC＝2，tanE＝，求⊙O的半径的长．21．（9分）【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底出）杯子的个数x的变化而变化．【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数x12345…杯子的总数y1361015…然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分，为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想．补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．【解决问题】（1）直接写出y与x的关系式；（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；（3）如图4所示，O处为点光源，ND，MA分别为杯子上，下底面圆的半径，OA＝24cm，OD＝15cm，MA＝4cm．将这样足够数重的杯子按【发现问题】中的方式叠放．但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm．求：①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数；②此时叠放达到的最大高度．22．（10分）已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F．【探索发现】（1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：EF＝DF；【深入探究】（2）在（1）的条件下，①∠DEB的度数为；②连接CF，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；【拓展思考】（3）若正方形的边长AB＝4，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（）A．+10℃ B．﹣10℃ C．+5℃ D．﹣5℃【解答】解：如果温度上升10℃记作+10℃，那么下降5℃记作﹣5℃；故选：D．2．（3分）衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：该直口杯的左视图为：故选：D．3．（3分）辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为（）A．5.127×1011 B．0.5127×1011 C．5.127×1010 D．5.127×107【解答】解：51270000000＝5.127×1010，故选：C．4．（3分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目作品甲乙丙丁创新性90959090实用性90909585如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：甲的平均成绩＝90×60%+90×40%＝90（分），乙的平均成绩＝95×60%+90×40%＝93（分），丙的平均成绩＝90×60%+95×40%＝92（分），丁的平均成绩＝90×60%+85×40%＝88（分），∵93＞92＞90＞88，∴乙的平均成绩最高，∴应推荐乙．故选：B．5．（3分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（）A．26° B．30° C．36° D．56°【解答】解：如图，由题意得：AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝56°，∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°，∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°．故选：A．6．（3分）下列运算正确的是（）A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2【解答】解：A．a2×a3＝a5，故本选项不符合题意；B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；C．（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．故选：D．7．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（）cm．A． B． C． D．【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），∴AB＝AC，∵AC＝16，∴AB＝×16＝8﹣8，故选：C．8．（3分）下列命题中叙述正确的是（）A．若方差，则甲组数据的波动较小 B．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 C．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．对角线互相垂直且平分的平行四边形是正方形【解答】解：若方差，则乙组数据的波动较小，故A错误，不符合题意；三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故B错误，不符合题意；同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，故C正确，符合题意；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D错误，不符合题意；故选：C．9．（3分）某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意得：．故选：D．10．（3分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A．54 B．52 C．50 D．48【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB＝＝＝25，①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，此时AD＝x，∵ED⊥AB，∴∠DEA＝90°＝∠C，∵∠CAB＝∠EAD，∴△CAB∽△EAD，∴＝＝，∴AE＝＝，DE＝＝，BE＝25﹣，∴y＝BE•DE＝×（25﹣）×＝10x﹣，当x＝10时，y＝76，∴a＝76，②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，此时BD＝35﹣x，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，∵∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴，∴BE＝＝＝28﹣，DE＝＝＝21﹣，∴y＝DE•BE＝×（28﹣）×（21﹣）＝（14﹣）（21﹣），当x＝25时，y＝24，∴b＝24，∴a﹣b＝76﹣24＝52，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：4a﹣ab2＝a（2+b）（2﹣b）．【解答】解：原式＝a（4﹣b2）＝a（2+b）（2﹣b），故答案为：a（2+b）（2﹣b）．12．（3分）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是．【解答】解：把2个蛋黄粽分别记为A、B，3个鲜肉粽分别记为C、D、E，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，即AB、BA、CD、CE、DC、DE、EC、ED，∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是＝，故答案为：．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为．【解答】解：连接CD，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，，由题意得：AC＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴的长为：＝，故答案为：．14．（3分）如图，在菱形ABOC中，AB＝4，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为y＝﹣．【解答】解：过C作CE⊥OB于E，∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝4，∴OC＝4，∠COB＝60°，∵CE⊥OB，∴∠CEO＝90°，∴∠OCE＝30°，∴OE＝OC＝2，CE＝2，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，得k＝﹣4，即y＝﹣，故答案为：y＝﹣．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝．【解答】解：过点G作GM⊥DE于M，如图，∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴ED＝EC，∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴，∴DG2＝GE×GC，∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，∴AD∥GM，∴＝，∠MGE＝∠A，∵，∴，设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，∴EC＝DE＝10n，∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，解得：k，∴EM＝k，∵GE＝3k，∴GM＝＝＝k，∴tanA＝tan∠EGM＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：．【解答】解：＝﹣1+2×﹣3+4＝﹣1+﹣3+4＝．17．（7分）先化简，然后在﹣1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．【解答】解：＝•＝•＝，∵x﹣2≠0，x+1≠0，∴x≠2，﹣1，∴当x＝0时，原式＝＝﹣2．18．（8分）某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（2）七年级代表队学生成绩的平均数是8，中位数是8，众数是7；（3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是90度，m的值是25；（4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．【解答】解：（1）七年级10分的人数为20﹣2﹣6﹣5﹣4＝3（人），补全条形统计图如下：（2）七年级学生成绩的平均数为＝8（分），将七年级抽取的20人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是＝8分，即中位数是8，七年级抽取的20人成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7，故答案为：8，8，7；（3）1﹣40%﹣15%﹣5%﹣15%＝25%，即m＝25，360°×25%＝90°，故答案为：90，25；（4）500×15%＝75（人），答：该校八年级学生中有75名学生的成绩是9分．19．（8分）某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：第一次第二次甲品牌耳机（个）2030乙品牌耳机（个）4050总费用（元）1080014600（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？【解答】解：（1）设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，根据题意得：，即，解得：．答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元；（2）设第三次购进m个甲品牌耳机，则购进（200﹣m）个乙品牌耳机，根据题意得：，解得：30≤m≤50，∴m的最大值为50．答：最多能购进50个甲品牌耳机．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC＝2，tanE＝，求⊙O的半径的长．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD∥OC，∴∠ODB＝∠DOC，∠OBD＝∠AOC，∴∠DOC＝∠AOC，∵OD＝OA，∠DOC＝∠AOC，OC＝OC，∴△DOC≌△AOC（SAS），∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥AB，∴∠ODC＝∠A＝90°，∵OD是⊙O的半径，且CE⊥OD，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵＝tanE＝，AC＝2，∴AE＝2AC＝4，∴CE＝＝＝2，∵DC＝AC＝2，∴DE＝CE﹣DC＝2﹣2，∵∠ODE＝90°，∴＝tanE＝，∴OD＝DE＝×（2﹣2）＝﹣1，∴⊙O的半径的长为﹣1．21．（9分）【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底出）杯子的个数x的变化而变化．【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数x12345…杯子的总数y1361015…然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分，为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想．补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．【解决问题】（1）直接写出y与x的关系式；（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；（3）如图4所示，O处为点光源，ND，MA分别为杯子上，下底面圆的半径，OA＝24cm，OD＝15cm，MA＝4cm．将这样足够数重的杯子按【发现问题】中的方式叠放．但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm．求：①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数；②此时叠放达到的最大高度．【解答】解：（1）依题意得：y＝（x+1）x＝+x；（2）当y＝36时，x＝36，解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），答：第一层杯子的个数为8个；（3）①∵第一层杯子的个数x个，且第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，∴4×2x≤80，解得x≤10，x取最大值为10，即第一层摆放杯子的个数是10，杯子的层数也是10，∴杯子的总数为y＝（10+1）×10＝55（个）；答：杯子最多能叠放10层和此时杯子的总数为55个；②在图4Rt△OMA中，OA＝24cm，MA＝4cm，∴OM＝＝＝4（cm），∵ND∥MA，∴△OND∽△OMA，∴＝＝＝，∴ON＝OM＝cm，∴MN＝OM﹣ON＝cm，∴10层杯子的高度是10MN＝×10＝15（cm），答：杯子叠放达到的最大高度是