山西省晋中市平遥二中新高考数学三模试卷及答案解析

山西省晋中市平遥二中新高考数学三模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A． B． C． D．3．设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．85．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（）．A． B． C． D．6．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A． B． C． D．7．在中，，，，若，则实数()A． B． C． D．8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里9．集合中含有的元素个数为（）A．4 B．6 C．8 D．1210．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A． B． C． D．11．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（）A． B． C． D．12．函数的部分图像大致为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．14．已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是________15．直线是曲线的一条切线为自然对数的底数)，则实数__________.16．已知二项式ax-1x6的展开式中的常数项为-160三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元.若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.18．（12分）设函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.19．（12分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象.（1）若，求的单调区间；（2）若，的一条对称轴是，求在的值域.20．（12分）已知抛物线的焦点为，直线交于两点（异于坐标原点O）.（1）若直线过点,，求的方程；（2）当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.21．（12分）已知函数.（1）若，求证：.（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.22．（10分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．【详解】可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，，设，，则，且有，解得，，设，，设圆切于点，则，，由，解得，，，所以为等边三角形，所以，，解得.因此，该椭圆的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．2、A【解析】

若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.【详解】解：，∴，设，∴，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，当时，，当，，函数恒过点，分别画出与的图象，如图所示，，若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，∴且，即，且∴，故实数m的最大值为，故选：A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.3、C【解析】

作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【详解】如图所示，，同时.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.4、A【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．5、C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.6、D【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．故选：D.【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．7、D【解析】

将、用、表示，再代入中计算即可.【详解】由，知为的重心，所以，又，所以，，所以，.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.8、C【解析】

设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9、B【解析】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B10、D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．11、D【解析】

通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得．故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、A【解析】

根据函数解析式，可知的定义域为，通过定义法判断函数的奇偶性，得出，则为偶函数，可排除选项，观察选项的图象，可知代入，解得，排除选项，即可得出答案.【详解】解：因为，所以的定义域为，则，∴为偶函数，图象关于轴对称，排除选项，且当时，，排除选项，所以正确.故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.【详解】取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，，过做于点，易知四边形为矩形，连接，，设，.连接，则，，三点共线，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.14、【解析】

先换元，令，将原方程转化为，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出．【详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解，令，所以方程在上只有一解，即有，直线与在的图像有一个交点，由图可知，实数的取值范围是，但是当时，还有一个根，所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式．15、【解析】

根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值.【详解】，则，所以切点为，故切线为，即，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.16、2【解析】

在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值．【详解】∵二项式(ax-1x)令6-2r=0，求得r=3，可得常数项为-C63故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.【解析】

（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.【详解】（1）尺寸在的频率：尺寸在的频率：且所以可知尺寸的中位数落在假设尺寸中位数为所以所以这个零件尺寸的中位数（2）尺寸在的个数为尺寸在的个数为的所有可能取值为1，2，3，4则，，所以的分布列为（3）二等品的概率为如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为（元）余下二等品的个数期望值为如果不对余下的零件进行检验，整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为（元）所以，所以可以不对余下的零件进行检验.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，，在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由可得，，令，则，令，可得，当时，，所以在上单调递减，且当时，单调递增；当时，单调递减；所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，要使在有两个根，则，所以的取值范围为；（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：即：，只需证：设，即证：要证，只需证：令，则在上为增函数，即成立；要证，只需证明：令，则在上为减函数，，即成立成立，所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;19、（1）增区间为，减区间为；（2）.【解析】

（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】由题意得（1）向左平移个单位得到，增区间：解不等式，解得，减区间：解不等式，解得.综上可得，的单调增区间为，减区间为；（2）由题易知，，因为的一条对称轴是，所以，，解得，.又因为，所以，即.因为，所以，则，所以在的值域是.【点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．20、（1）（2）直线过定点【解析】

设.（1）由题意知，.设直线的方程为，由得，则，由根与系数的关系可得，所以.由，得，解得.所以抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，由得，由根与系数的关系可得，所以，解得.所以直线的方程为，所以时，直线过定点.21、（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】（1），，，当时，，当时，，∴，故.（2）由题知，，，①当时，，所以在上单调递减，没有极值；②当时