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文档简介
四川省巴蜀黄金大联考高三第三次测评新高考数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.2.从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.3.若,,,点C在AB上,且,设,则的值为()A. B. C. D.4.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.5.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.6.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是()A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一7.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()A. B. C. D.8.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.9.已知等比数列满足,,等差数列中,为数列的前项和,则()A.36 B.72 C. D.10.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()A.或 B.或 C.或 D.或11.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.812.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,已知,,则A的值是______.14.已知,椭圆的方程为,双曲线方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为________.15.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.16.已知向量,,若,则实数______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.18.(12分)已知等差数列和等比数列的各项均为整数,它们的前项和分别为,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)求;(3)是否存在正整数,使得恰好是数列或中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,说明理由.19.(12分)已知A是抛物线E:y2=2px(p>0)上的一点,以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=1于M,N两点.(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程;(2)若0<p<1,抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点,O为坐标原点,求直线OG斜率的取值范围.20.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0021.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线为参数)与圆的位置关系.22.(10分)已知函数.(1)若,,求函数的单调区间;(2)时,若对一切恒成立,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2、A【解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标,进而求出点的坐标,代入斜率公式即可求解.【详解】设点的坐标为,由题意知,焦点,准线方程,所以,解得,把点代入抛物线方程可得,,因为,所以,所以点坐标为,代入斜率公式可得,.故选:A【点睛】本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力;属于基础题.3、B【解析】
利用向量的数量积运算即可算出.【详解】解:,,又在上,故选:【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用,向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.4、A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.5、A【解析】
先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.6、C【解析】
通过图表所给数据,逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确;对于选项B:,正确;对于选项C:,故C不正确;对于选项D:,正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析,题目较为简单.7、D【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”,即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知:可化简为,,所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集,所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性,对是的充分不必要条件进行命题转换,使问题易于求解.8、C【解析】
根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.9、A【解析】
根据是与的等比中项,可求得,再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足,,所以,又,所以,由等差数列的性质可得.故选:A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质,考查等差数列的求和公式,考查学生的计算能力,是中档题.10、D【解析】
设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,,则,为双曲线上的点,则,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题.11、C【解析】
根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题.【详解】初始值,第一次循环:,;第二次循环:,;第三次循环:,;第四次循环:,;第五次循环:,;第六次循环:,;第七次循环:,;第九次循环:,;第十次循环:,;所以输出.故选:C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题.12、D【解析】
利用是偶函数化简,结合在区间上的单调性,比较出三者的大小关系.【详解】是偶函数,,而,因为在上递减,,即.故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据正弦定理,由可得,由可得,将代入求解即得.【详解】,,即,,,则,,,,则.故答案为:【点睛】本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式,是基础题.14、【解析】
求出椭圆与双曲线的离心率,根据离心率之积的关系,然后推出关系,即可求解双曲线的渐近线方程.【详解】,椭圆的方程为,的离心率为:,双曲线方程为,的离心率:,与的离心率之积为,,,的渐近线方程为:,即.故答案为:【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的几何性质,掌握椭圆、双曲线的离心率公式,属于基础题.15、【解析】
点在的平分线可知与向量共线,利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,利用向量的坐标求向量的模,属于中档题.16、-2【解析】
根据向量坐标运算可求得,根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得:,解得:本题正确结果:【点睛】本题考查向量的坐标运算,关键是能够利用平行关系构造出方程.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.(2)若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.18、(1);(2);(3)存在,1.【解析】
(1)利用基本量法直接计算即可;(2)利用错位相减法计算;(3),令可得,,讨论即可.【详解】(1)设数列的公差为,数列的公比为,因为,所以,即,解得,或(舍去).所以.(2),,所以,所以.(3)由(1)可得,,所以.因为是数列或中的一项,所以,所以,因为,所以,又,则或.当时,有,即,令.则.当时,;当时,,即.由,知无整数解.当时,有,即存在使得是数列中的第2项,故存在正整数,使得是数列中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用,涉及到等差、等比数列的通项,错位相减法求数列的前n项和,数列中的存在性问题,是一道较为综合的题.19、(1).(2)【解析】
(1)设A的坐标为A(x0,y0),由题意可得圆心C的坐标,求出C到直线x=1的距离.由半个弦长,圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值,进而求出抛物线的方程;(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理,进而求出中点G的坐标,再求出直线OG的斜率的表达式,换元可得斜率的取值范围.【详解】(1)设A(x0,y0)且y02=2px0,则圆心C(),圆C的直径|AB|,圆心C到直线x=1的距离d=|1|=||,因为|MN|=2,所以()2+d2=()2,即1,y02=2px0,整理可得(2p﹣4)x0=0,所以p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x;(2)联立抛物线与圆的方程整理可得x2﹣2(5﹣p)x+16=0,△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2(5﹣p),x1x2=16,所以中点G的横坐标xG=5﹣p,yG(),所以kOG(0<P<1),令t=5﹣p(t∈(4,5)),则kOG(),解得0<kOG,所以直线OG斜率的取值范围(0,).【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合,换元方法的应用,属于中档题.20、(1),,,;(2)【解析】
(1)根据第1组的频数和频率求出,根据频数、频率、的关系分别求出,进而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根据分层抽样原则,分别从抽出2人,2人,1人,并按照所在组对抽出的5人编号,列出所有2名负责人的抽取方法,得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数,由古典概型概率公式,即可求解.【详解】(1),,,由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:(2)因为第3、4、5组共有50名学生,所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生,每组分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取2人,2人,1人设第3组的3位同学为、,第4组的2位同学为、,第5组的1位同学为,则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法,故所求的概率为.【点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率,属于基础题.21、直线与圆C相切.【解析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程,进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系.【详解】直线为参数),转换为直角坐标方程为.圆转换为直角坐
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