人教版高中数学必修一《对数函数》预习导航学案

2.2对数函数

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课程目标学习脉络

1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.

T概念1

2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方|对数卜T对数的性质

程.U性质的应用

一、对数

名师点拨对对数的理解：

(1)对数式10g”可看作一种记号，表示关于X的方程a'=Ma>0,且aWl)的解；也可

以看作一种运算，即已知底为a(a>0,且aWl),幕为“求幕指数的运算，因此，对数式

logW又可看作幕运算的逆运算.

(2)用指数式来理解对数.对数式6=log/表达的意义是成=及指数式、对数式中各个

字母的名称变化如下表：

名称

式子

aXN

指数式a=N底数指数暴

对数式X=10gJV底数对数真数

(3)对数记号log/中，a>0,且a#l,40.

因为在中，a>0,且aWl,所以在10gsy中，a>0,且a#l.

又因为正数的任何次嘉都是正数，即a">0(a>0),故4a">0.

(4)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(一2y=4不能写成logT4=2,只

有在a>0,且aWl,八>0时，才有a"=g6=log』

(5)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化

为指数问题来解决.

自主思考alogJV=JV(a>0,且a#l)成立吗？

提示：成立.这是因为：由得x=log/将x=logj代入a"="得alogJV=N

二、常用对数和自然对数

1.常用对数：通常我们将以坨为底的对数叫做常用对数，并把logiW记为””

2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数，以之为底

的对数称为自然对数，并把log一记为InJK

2.2对数函数

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课程目标学习脉络

1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质化简、求值.H运算性质1

2.了解对数的换底公式及其应用.1对数的运算1--1换底公式।

3.初步掌握对数在生活中的应用.U应用I

一、对数的运算性质

条件a>0,且aWl,M>0,N>Q

10ga(M)=10ga-10ga〃

M

性质loga--=logJ/—logJV

Na

loga"=HogJ/(〃£R)

名师点拨对对数的运算性质的理解：

(1)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反

之亦然.

(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.

(3)能用语言准确叙述对数的运算性质

log式〃•M=logMTogJV—-积的对数等于对数的和.

M-

log—=loga〃一logjv1"商的对数等于对数的差.

aN

logJ/=/71oga〃(AeR)―►真数的〃次辱的对数等于对数的77倍.

自主思考若弘“同号，则式子loga(〃，初=logj/+log/成立吗？

提示：不一定成立.如logz[(—2)X(―7)]是存在的，但log2(-2)与log2(-7)是不存

在的，故log2[(-2)X(—7)]¥log式-2)+log2(—7).

二、换底公式

logb

logaZ>=----(a>0,且aWl；c>0,且cWl；6〉0).

log4

名师点拨1.用换底公式推得的两个常用结论：

(1)log/•log,a=l(a>0,且aWl；6〉0,且6#1)；

(2)logbn=一logZ?(a>0,且aWl；Z?>0；/WO).

amma

2.换底公式的作用是把不同底的对数化为同底的对数.

2.2对数函数

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课程目标学习脉络

1.掌握对数函数的概念，会判断对数函数.

2.初步掌握对数函数的图象和性质.T图象与性质

|对•数函数卜1

3.能利用对数函数的性质解决与对数函数有关的定义域、定点T反函数|

问题.L[^l]

一、对数函数

名师点拨1.对对数函数定义的理解:

（1）由于指数函数y=a'中的底数a满足a>0,且aWl,则对数函数尸log.中的底数

a也必须满足a>0,且aWl.

（2）对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1

的正实数（常数）；③对数的真数仅有自变量X.

2.对数函数的图象:

对数函数的图象，当x趋近于0时，无限接近于y轴，但不相交.

作直线尸1与函数y=logax的图象相交，则交点横坐标为a.

自主思考1函数y=logax（a>0,且a=l）的图象与函数尸log1x（a〉0,且a=l）的图

a

象有怎样的关系？

提示：观察课本第70页图2.2-3知，两函数的图象关于x轴对称.事实上，函数y=

logaX图象上任一点尸(x,y)关于x轴的对称点*(x,—y)都在函数y=logix的图象上,

所以这两个函数的图象关于x轴对称.

自主思考2a,6在什么情况下，loga6〉0?什么情况下,logaZ;<0?

提示：观察对数函数图象知，

当a,6G(1,+8)或a,6e(0,1)时，log/〉0.

当ad(0,1)，力1或a〉l,6G(0,1)时，logaZKO.

二、反函数

对数函数y=log,x(a>0,且aWl)和指数函数y=a，(a>0,且aWl)互为反函数.它们的

图象关于直线y=x对称.

名师点拨对数函数和指数函数的区别与联系

将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：

名称指数函数对数函数

P=logaX(Z>0,

解析式y=a{a>Q,且dWl)

且己¥1)

定义域(-8,+oo)(0,+°°)

值域(0,+°0)(-8,H-OO)

单调性当a>l时为增函数，当0〈a〈l时为减函数

当a>l时：当a>l时：

若x>0,则p>l；若x>L则y>0；

若x=0,则p=l；若x=l,则y=0；

函数值的变若水0,则0。<1若0〈水1,则水0

化情况当0〈水1时：当0〈水1时：

若£>0,则0〈y<l；若x>l,则y(0；

若x=0,则y=l；若x=l,则y=0；

若£〈0,则7>1若0<x<l,则p>0

图象y=a'的图象与y=：logd的图象关于直线y=x对称

2.2对数函数

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课程目标学习脉络

1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小.T比较大小|

2.能利用对数函数的单调性解简单的对数不等式.|i；otiPT解对数不等式1

3.能解答简单的对数综合问题.口综合应用I

一、对数函数的图象和性质

对数函数y=loga^（a>0,且aWl）的图象和性质如下表所示:

底数a>l0<a<l

yJ

y=log4fx六1OaA

图象

1产1

定义域：（0,+8）

值域：（一8，+8）

当x=l时，y=0,即图象恒过定点（1,0）

性质

当x>l时，y<0；当0<木1时，

当x>\时，y>0；当0<水1时，y<0

y>0

在（0,+8）上是增函数在（0,+8）上是减函数

二、对数函数的反函数

对数函数尸log,x（a>0,且aWl）的反函数是尸a"（a>0,且a#4）.

自主思考1函数y=logax（a>0,且a=l）的图象与y=log]x（a>0,且a=l）的图象有

a

什么关系？

提示：函数y=log2X与尸log1x的图象，函数p=log3X与y=log]x的图象如图所

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示，结合图象可知函数尸logaX（d〉0,且aWl）的图象与y=log1x（a>0,且aWl）的图象

a

关于X轴对称.

其实y=log1log'=Tog/,因为y=logaX与y=—logaX的图象关于X轴

；log」T

a

对称，所以函数y=logax与y=logix的图象也关于x轴对称.

a

自主思考2底数对对数函数图象的影响？

提示：在同一坐标系中画出以下