海南省澄迈县澄迈中学2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

海南省澄迈县澄迈中学2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．矩形ABCD中，，，则实数（）A．-16 B．-6 C．4 D．2．若关于x的不等式x-1-x-2≥A．0,1 B．-1,0 C．-∞,-1∪0,3．集合，，则中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（）A． B． C． D．5．在中，角的对边分别为，若，则A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数无法确定6．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是()A． B． C． D．7．定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知公式为正数的等比数列满足：，，则前5项和()A．31 B．21 C．15 D．119．把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）A． B．C． D．10．已知等边三角形ABC的边长为1，，那么（）.A．3 B．-3 C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正实数满足，则的最大值为_______.12．在中，已知，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为____________①②③④13．已知向量，且，则___________．14．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．16．已知正实数x，y满足2x+y=2，则xy的最大值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知关于的不等式．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．18．如图所示，经过村庄有两条夹角为的公路，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库（异于村庄），要求（单位：千米），记.（1）将用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离最大）？19．如图，平行四边形中，是的中点，交于点.设，.(1)分别用，表示向量，；(2)若，，求.20．已知圆过点，，圆心在直线上，是直线上任意一点．（1）求圆的方程；（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．21．已知函数，.（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据题意即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出实数．【详解】据题意知，,,．故选：．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算,属于容易题．2、D【解析】x-1-x-2=x-1-∵关于x的不等式x-1-∴a2+a-1>1，即解得a>1或∴实数a的取值范围为-∞,-2∪3、C【解析】，则，所以，元素个数为2个。故选C。4、B【解析】

成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【详解】解：成等比数列，，又，，则故选B．【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5、C【解析】

求得，根据，即可判定有两解，得到答案.【详解】由题意，因为，又由，且，所以有两解.【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，，，，即，，即所以，包含0,所以k=0,,,,选A．【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k为几个特殊值，再与已知集合做运算．7、D【解析】

先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.8、A【解析】

由条件求出数列的公比．再利用等比数列的前项求和公式即可得出．【详解】公比为正数的等比数列满足：，则，即.所以,所以.故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9、D【解析】

函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式．【详解】函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到，把图象向左平移个单位，得到故选：．【点睛】本题考查函数的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题．10、D【解析】

利用向量的数量积即可求解.【详解】解析：.故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

对所求式子平边平方，再将代入，从而将问题转化为求【详解】∵∵，∴，∴，等号成立当且仅当.故答案为：.【点睛】本题考查条件等式下利用基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12、②③【解析】

根据，分当和两种情况分类讨论，每一类中利用正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，.【详解】当时，在上是增函数，因为，所以，因为在上是减函数，且，所以，当时，且，因为在上是减函数，所以，而，所以.故答案为：②③【点睛】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13、【解析】

把平方，将代入，化简即可得结果.【详解】因为，所以，，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14、【解析】

通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.【详解】实数是与的等比中项，，解得．则，当且仅当时，即时取等号．故答案为:．【点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.15、9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16、【解析】

由基本不等式可得，可求出xy的最大值.【详解】因为，所以，故，当且仅当时，取等号.故答案为.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）不等式的解集为说明和1是的两个实数根，运用韦达定理，可以求出实数的值；（2）不等式的解集为，只需，或即可，解不等式组求出实数的取值范围．【详解】（1）若关于的不等式的解集为，则和1是的两个实数根，由韦达定理可得，求得．（2）若关于的不等式解集为，则，或，求得或，故实数的取值范围为．【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参问题，考查了数学运算能力18、（1），；（2）.【解析】

（1）根据正弦定理，得到，进而可求出结果；（2）由余弦定理，得到，结合题中数据，得到，取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果.【详解】（1）因为，在中，由正弦定理可得：，所以，；（2）由题意，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.19、（1），（2）2【解析】

（1）由平面的加法可得，又根据三角形相似得到，再根据向量的减法可得的不等式.

（2）由平面向量数量积运算得，然后再将条件代入可得答案.【详解】（1）.由∽,又所以,即（2）由，【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．20、（1）（2）【解析】

（1）首先列出圆的标准方程，根据条件代入，得到关于的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，，这样求面积的最小值即是求的最小值，当点是圆心到直线的距离的垂足时，最小.【详解】解：（1）设圆的方程为．由题意得解得故圆的方程为．另解：先求线段的中垂线与直线的交点，即解得从而得到圆心坐标为，再求，故圆的方程为．（2）设四边形的面积为，则．因为是圆的切线，所以，所以，即．因为，所以．因为是直线上的任意一点，所以，则，即．故四边形的面积的最小值为．【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.21、（1），；（2），，或，；（3）.【解析】

(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；(2)由正弦函数的图象与性质，讨论的范围，得到的方程组，即可求得的值；（3）对讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得的范围.【详解】(1)由题意，函数所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知，当时，则，所以，即，令，则，函数，即，，当时，在为单调递增函数，可得且，