点、直线和平面课件

点、直线和平面●A采用多面投影。

过空间点A作H面的投射线（垂线），与投影面H的交点即为点A在H面上的投影。B●B1●B2●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影2·1点的投影解决办法？H●aH●bHWV二、点的三面投影投影面◆正面投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴OZ轴OY轴Y三个投影面互相垂直V面与H面的交线H面与W面的交线V面与W面的交线WHVoX空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●ZY向下翻投影面展开aHa

WYHa

VXZOWHVoXa

●a●a

●A●ZY不动向右翻YwY点的投影规律:●●Zaza

XaywOaaxayHa

●YHYw●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazaywayH①点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴即a

a⊥OX轴②点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴即a

a

⊥OZ轴③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax=a

aza

ax=a

ayw=A到H面的距离aayH=a

az=A到W面的距离=A到V面的距离●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxa

●OXZY三、两点的相对位置ZXYHYWOa′a″ab′b″b▲x坐标大的在左▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上判断方法：B点在A点之后之左、之下。

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。a

a

ab

b

bBA重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●a

a

c

c

被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢？ac例1：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。985a

a

aZXYwYHb

b

boH一、直线的投影直线上两端点在同面投影的连线。2·2直线的投影abc(d)ABCD

直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面二、各种位置直线的投影特性以正平线为例，讨论其投影特性:OXZYa

b

aba

b

AB

Xa

b

a

b

baOZYHYW

同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性。

①直线的正面投影a′b′反映直线AB的实长,并且反映直线AB对H、W面的倾角α、γ。

②直线的水平投影ab和侧面投影a〞b〞分别平行于OX轴和OZ轴。

g投影特性：1.正平线—只平行于正面投影面的直线b

aa

b

ba

投影面平行线的投影特性：①直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长②直线在另两个投影面上的投影平行于相应的水平线侧平线正平线实长实长ba

aa

b

b

投影轴，并且小于该直线的实长。XZYHYWO并且反映直线对另外两个投影面的倾角。b

a

aba

b

实长OXZY2.投影面的垂直线：②水平投影ab⊥OX,

侧面投影a″b″⊥OZ。投影特性:①直线AB的正面投影a′b′积聚成一点;只垂直于一个投影面的直线。以正垂线为例，讨论其投影特性:同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。AB（a

）b

a

b

bazX（a

）b

b

aOYHYWa

b

投影面垂直线的投影特性:铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相①直线在其垂直投影面上的投影，积聚为一点。●a

(b

)abb

a

●c

d

c(d)c

d

●e

f

efe

(f

)应的投影轴。OXZY三个投影都小于实长，而且与三根投影轴都倾斜。

投影特性：3.一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线。a

b

bab

a

ZXa

a

aOYHYWb

bb

三、直线与点的相对位置

点与直线的相对位置可以分为两种，即点在直线上和点不在直线上。

（1）若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同名投影上，并将线段的各个投影分割成定比。

如图所示，C点在直线AB上，则C点的正面投影c′在直线AB的正面投影a′b′上，C点的水平投影c在直线AB的水平投影ab上，同样c"在a"b"上,而且AC/CB=ac/cbBc'aa'Hb"cAACa"C"WVb'=a′c′/c′b′=a″c″/c″b″，（2）若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点肯定不在该直线上。

反之，若点的各投影分别属于直线的同名投影，且分割线段的投影长度成定比，则该点肯定在该直线上。Yw其投影为：Bc'aa'Hb"cAACa"C"WVb'例1：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法?四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

abcdc

a

b

d

例2：判断图中两条直线是否平行

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①b

d

c

a

cbadd

b

a

c

求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4

●●两直线相交吗？⒋两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc

为直角因此bc⊥ab故

bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.证明：2.3平面

一、平面的投影表示法b

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

dα´b´c´bcα1、几何元素表示法2、平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQQ为侧垂面一般位置平面{PH—

平面P的水平面迹线PV—

平面P的正面迹线平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面二、各种位置平面的投影特性abca

c

b

c

b

a

1.投影面垂直面类似形类似形积聚性铅垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？（1）铅垂面

OXZY铅垂面迹线表示法

PHPPHOXZYQQV（2）正垂面

Ac

Ca

b

Bb"

a'b'a"bac"c'c投影特性：1)a

b

c

积聚为一条线

2)

abc、

a

b

c

为

ABC的类似形

3)a

b

c

与OX、OZ的夹角反映α、

角的真实大小

OXZY正垂面的迹线表示法

QQVαγQVOXZYSWS

（3）侧垂面Ca"b"ABc"b"β

a'b'a"bac"c'c投影特性1)a

b

c

积聚为一条线

2)

abc、

a

b

c

为

ABC的类似形

3)a

b

c

与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小OXZY侧垂面的迹线表示法VWSwSZXOYSwYαβOXZY2、投影面的平行面：（1）水平面CABa"b"c'baca'b'c"ca

b'b"baa"c

c"投影特性：

1)a

b

c

、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2)水平投影

abc反映

ABC实形OXZY（2）正平面投影特性：

1)abc

、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2)正平面投影

a

b

c

反映

ABC实形

c"a"b"b'a'c'bcab'a'c'a"b"c"bcaCBAOXZY（3）侧平面a'b'b"ba"c'c"ca投影特性：

1)abc

、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2)侧平面投影

a

b

c

反映

ABC实形b"b'baca'c'c"CABa"OXZY3、一般位置平面a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC投影特性：

(1)

abc

、

a

b

c

、

a

b

c

均为

ABC

的类似形

(2)不反映

、

、

的真实角度三、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线abcc

a

abcb

c

a

mnn

m

例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有无数解。d

d有多少解？b

例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？⒉平面上取点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例3：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解ckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

c例4：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二bb3、属于平面的投影面平行线

属于平面的水平线和正平线

参看：例题5例题6

平面上投影面的平行线—

是既在平面上又//于投影面的直线。因此，它既具有投影面平行线的投影特性，又与所属平面保持从属关系。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。P属于平面的水平线和正平线PVPHABC[例题5]已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平

面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。m

n'nm[例题6]已知点E在

ABC平面上，且点E距离

H面15，距离V面10，试求点E的投影。mnm'n'rsr's'1015e'e小结一、点的投影规律①a

a⊥OX

轴②aax=a

az=A到V面的距离a

ax=a

ayw=A到H面的距离aayH=a

az=A到W面的距离●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYaywOaaxayHa

●

a

a

⊥OZ

轴二、各种位置直线的投影特性b

aa

b

ba

1.投影面平行线的投影特性：②直线在另两个投影面上的投影平行于相应的水平线侧平线正平线实长实长ba

aa

b

b

XZYHYWO并且反映直线对另外两个投影面的倾角。b

a

aba

b

实长①直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长投影轴，并且小于该直线的实长。

2.投影面垂直线的投影特性:铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相①直线在其垂直投影面上的投影，积聚为一点。●a

(b

)abb

a

●c

d

c(d)c

d

●e

f

efe

(f

)应的投影轴。OXZY三个投影都小于实长，而且与三根投影轴都倾斜。ABbb

a

b

aa

ZXa

a

aOYHYWb

bb

3.一般位置直线的投影特性:一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。二、平面上的点与直线⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上⒉平面上的直线⑴过平面上的两个点。⑵过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。小结3.属于平面的投影面平行线应非常熟练作出属于平面中的水平线和正平线重点掌握一、问题的提出★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？

换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。2·4换面法VHABa

b

ab二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置，一次只能更换一个投影面。

平行于空间物体

垂直于空间物体2.新投影面必须垂直于不变投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。V1a

1b

1不变投影面新投影面旧投影面旧轴X新轴X1VHAa

a

axX

⒈更换一次投影面

旧投影体系X—VH

新投影体系V1HX1—A点的两个投影：a，a

A点的两个投影：a

，a

1⑴新投影体系的建立三、点的投影变换规律X1V1a

1ax1

V1HX1a

1

VHXa

aaxax1.ax1

VHXV1HX1a

aa

1VHA

a

axXX1V1a

1ax1

⑵新旧投影之间的关系

aa

1

X1

a

1ax1=a

ax

点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。axa

一般规律：

点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。.新投影面旧投影面不变投影面旧轴新轴X1不变投影旧投影新投影

XVHaa

ax更换H面⑶求新投影的作图方法

VHXV1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于旧投影到旧轴的距离。aa

X1H1V

a1axax1ax1更换V面●a

1作图规律：

..⒉更换两次投影面先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系:V1HX1—再把H面换成平面H2，H2

V1，得到新投影体系:X2—V1H2⑴新投影体系的建立按次序更换AaVHa

axXX1V1a´1ax1

H2X2

ax2a2

注意：第二次换面时：旧轴为X1；新轴为X2；旧投影为

a;不变投影为a´1;新投影为a2。与原X轴及V投影已无关了，在量取新投影到新轴的距离时应注意。ax2

a

aXVH

⑵求新投影的作图方法

a2X1HV1X2V1H2

作图规律

a2a´1X2轴

a2ax2=aax1a´1

axax1

..变换路径：V1H

V1H2VH

VHABa

b

ab四、换面法的四个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。X1HV1V1a´1b´1空间分析：

换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。a

b

abXVH新投影轴的位置？a

1●b

1●与ab平行。

.因为求α角H面不能变a´1●b´1●VHa

aXBb

bA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：a

b

abXVHX1H1V1V1H2X2作图：X1V1a´1b´1X2H2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？

a2b2ax2a2b2

.与a´1b´1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；为什么一般位置直线不能一次变换成新投影面的垂直线？

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？

a

b

c

abcdVHABCDX

d

3.把一般位置平面变换成投影面垂直面

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。V1X1c

1b

1a´1

d´1空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？

思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！不能αa

b

c

acbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HV1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。d

d★将AD变换成新投影面的垂直线。d

1●a

1d

1●c

1●

反映平面对哪个投影面的夹角？.a

1

b

1●需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2V1H24.把一般位置平面变换成投影面平行面aba

c

b

XVHc作图：AB是水平线空间分析：a2●c2●b2●c

1●X2轴的位置？平面的实形.X1HV1.与其平行b

1

距离dd

1X1HV1X2V1H2c2

d

例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。c

c

b

a

abXVH

五、换面法的应用

如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。AH2BDCca

b

d作图:

求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c

1

a

1

a2

b2

d2

过c1作线平行于x2轴。...如何确定d

1点的位置？b

a

abcd●c

例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN●m

●d

●a

1≡