2025年中考数学专题47 勾股定理之大树折断、风吹荷花专题（原卷版）

考点一：勾股定理之大树折断模型【例1】．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．变式训练【变式1-1】．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（）A．一定不会B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对

【变式1-2】．由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．考点二：勾股定理之风吹荷花模型【例2】．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm变式训练【变式2-1】．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝米．

【变式2-2】．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．1．如图，一架25m长的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4m B．6m C．8m D．10m2．一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（）A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（）A．（，0） B．（0，） C．（，0） D．（0，）4．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上米处折断．5．如图所示，某商场有一段楼梯，高BC为2米，楼梯最高点和最低点的距离AB为4米，如果在楼梯上铺上地毯，那么要使用的地毯长度是．6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为尺．7．细心观察图形，解答问题：（1）OA2＝，OA3＝，OA4＝，OAn＝；（2）△OA8A9的周长＝；（3）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？8．如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是．

9．某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．10．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，求CE和CF的长．12．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，（1）求BF与FC的长；（2）求EC的长．

13．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8m处，求此树原高是多少米？（图1）有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？（图2）一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由（图3）

14．解答题：（1）已知x+y＝4，xy＝2，求x2+y2+3xy的值；（2）先化简，再求值：（a+2b）2﹣（a﹣b）（a﹣4b），其中a＝，b＝2007；（3）如图，一次“台风”过后，