2023-2024学年高二数学2019选择性试题1.3两条直线的平行与垂直（七大题型）（原卷版）

1．3两条直线的平行与垂直课程标准学习目标（1）能说明两条直线平行或垂直（几何关系）与两条直线斜率的关系（代数关系）的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（2）能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等素养．（1）理解并掌握两条直线平行与垂直的条件．（2）会运用条件判定两直线是否平行或垂直．（3）运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．知识点01两条直线相交、平行与重合1、代数方法判断两条直线的位置关系，可以用方程组的解进行判断（如下表所示）方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点而或或有唯一解相交有一个交点或有无数个解重合无数个交点或2、几何方法判断（1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行．（2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设，（1）与相交；（2）且；（3）与重合且．简记表：类型斜率存在斜率不存在条件对应关系两直线斜率都不存在图示【即学即练1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)平行于y轴，经过点，；(3)经过点，，经过点，．知识点02两条直线的垂直1、两条直线垂直的几何方法判断对应关系与的斜率都存在，分别为，则与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是图示2、两条直线垂直的代数方法判断已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）（1）若（2）若【即学即练2】判断下列各题中与是否垂直．(1)经过点；经过点；(2)的斜率为；经过点；(3)经过点；经过点．题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行例1．（2023·江西上饶·高二统考期末）下列与直线平行的直线的方程是（

）.A． B．C． D．例2．（2023·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）直线与直线的位置关系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合例3．（2023·全国·高二专题练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要变式1．（2023·高二课时练习）判断下列各题中直线与是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)经过点，，经过点，．变式2．（2023·全国·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)经过点，经过点；(2)的斜率为，经过点.【方法技巧与总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤题型二：两条直线相交、平行、重合的判定例4．（2023·高二单元测试）已知直线与直线．当t为何值时，(1)与相交？(2)与平行？(3)与重合？(4)与垂直．例5．（2023·高二课时练习）直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定例6．（2023·全国·高二假期作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对变式3．（2023·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知，则直线与直线相交的充要条件是（

）A． B． C． D．且变式4．（2023·高二课时练习）已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合．【方法技巧与总结】设，（1）与相交；（2）且；（3）与重合且．题型三：两条直线垂直的判定例7．（2023·全国·高三专题练习）直线与直线的位置关系是（

）A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合例8．（2023·全国·高二专题练习）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．重合例9．（2023·江西九江·高二校考阶段练习）与直线的垂直的直线是（）A． B． C． D．变式5．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线与是否垂直．(1)的斜率为，经过点，；(2)经过点，，经过点，；(3)经过点，，经过点，．变式6．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)，；(2)，．变式7．（2023·全国·高二假期作业）已知四边形的顶点.(1)求斜率与斜率；(2)求证：四边形为矩形.变式8．（2023·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）根据下列给定的条件，判断两直线的位置关系.(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3).【方法技巧与总结】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤（1）一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．（2）二用：就是将点的坐标代入斜率公式．（3）求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，与一个斜率为0，另一个斜率不存在时，；与斜率都存在时，满足．题型四：直线平行与垂直的综合应用例10．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证：.

例11．（2023·高二课时练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.例12．（2023·全国·高二专题练习）已知，，.（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.变式9．（2023·全国·高一假期作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.变式10．（2023·高二课时练习）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．变式11．（2023·全国·高二专题练习）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形?【方法技巧与总结】已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）（1）若（2）若题型五：两直线的夹角例13．（2023·上海黄浦·高二统考期末）直线与直线的夹角为；例14．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）直线与直线的夹角记为，则.例15．（2023·上海·高二专题练习）直线与直线的夹角为变式12．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）直线与直线的夹角大小为.变式13．（2023·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）若直线与直线的夹角为，则实数的值为.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为的正三角形，分别在边上，满足，连接，则和的夹角为.【方法技巧与总结】夹角公式题型六：已知直线平行求参数例16．（2023·全国·高二课堂例题）若直线与直线平行，则.例17．（2023·陕西渭南·高一统考期末）已知直线，若，则的值为．例18．（2023·黑龙江大庆·统考二模）直线l经过点，，若直线l与直线平行，则．变式15．（2023·陕西延安·高一校考期末）已知两直线方程分别为，若，则．变式16．（2023·浙江台州·高一温岭中学校考期末）已知直线和直线，若，则变式17．（2023·高二课时练习）若直线与直线互相平行，则．题型七：已知直线垂直求参数例19．（2023·安徽马鞍山·高二校联考期中）已知直线与直线垂直，则实数a的值为．例20．（2023·上海·高二期末）直线，若，则.例21．（2023·高二课时练习）已知直线的斜率分别为，且，则．变式18．（2023·陕西汉中·高一统考期末）若直线与垂直，则.变式19．（2023·全国·高二假期作业）已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是．变式20．（2023·上海虹口·高二统考期末）若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为.一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）“”是“直线和直线平行”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·高二课时练习）已知过点和点的直线为l1，.若，则的值为（

）A． B．C．0 D．83．（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（

）A．－2 B．－1 C．－1或3 D．34．（2023·四川南充·统考三模）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（

）A． B．2 C． D．5．（2023·全国·高一专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，且欧拉线方程为，则的重心到垂心的距离为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（

）A．存在，使得的倾斜角为；B．对任意的，与都有公共点；C．对任意的，与都不重合；D．对任意的，与都不垂直；二、多选题9．（2023·高二课时练习）若，且直线AB与CD平行，则m的值为（

）A． B．0C．1 D．210．（2023·全国·高三专题练习）以下四个命题表述错误的是（

）A．恒过定点B．若直线与互相垂直，则实数C．已知直线与平行，则或D．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是11．（2023·黑龙江牡丹江·高三统考期中）已知直线，，则（

）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限12．（2023·全国·高一专题练习）已知直线，，则（

）A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点C．与可能平行 D．与不可能垂直三、填空题13．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为．14．（2023·江苏连云港·高二期末）已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是．15．（2023·上海·高二专题练习）已知直线，，若，则的值是.16．（2023·北京大兴·高二统考期中）已知直线和直线，给出下列四个结论：①存在，使得的倾斜角为；②不存在，使得与重合；③对任意的，与都有公共点；④对任意的，与都不垂直.其中，所有正确结论的序号是