辽宁沈阳市二十中学新高考全国统考预测密卷数学试卷及答案解析

辽宁沈阳市二十中学新高考全国统考预测密卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（）A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立2．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（）A． B． C． D．14．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A．0 B．4 C． D．5．已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（）A． B． C． D．6．在的展开式中，含的项的系数是（）A．74 B．121 C． D．7．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（）A．B．C．D．8．设为虚数单位，复数，则实数的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．29．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．10．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一11．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是A． B．C． D．12．已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）A．-1 B．1 C．0 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.14．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则.15．已知为椭圆上的一个动点，，，设直线和分别与直线交于，两点，若与的面积相等，则线段的长为______.16．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.18．（12分）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.19．（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．21．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.（1）若，证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函数().（1）讨论的单调性；（2）若对，恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.2、A【解析】试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.3、B【解析】

先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，则;当时，则.设为函数图像上的两点，当或时，，不符合题意，故.则在处的切线方程为；在处的切线方程为.由两切线重合可知，整理得.不妨设则，由可得则当时，的最大值为.则在上单调递减，则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出和的函数关系式.本题的易错点是计算.4、A【解析】

令，进而求得，再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】∵∴（），∴，令：，，在上增，且，所以在上减，在上增，所以，所以的最小值为0.故选：A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键，属于中档题.5、B【解析】

由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程．【详解】由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x．故选B．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．6、D【解析】

根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，7、B【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可；【详解】解：当时，，无意义，故排除A；又，则，故排除D；对于C，当时，，所以不单调，故排除C；故选：B【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.8、A【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.【详解】复数，由复数乘法运算化简可得，所以由复数定义可知，解得，故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.9、B【解析】

构造函数（），求导可得在上单调递增,则,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.10、C【解析】

通过图表所给数据，逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.11、D【解析】

先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.12、B【解析】

化简得到z=a-1+a+1【详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数，故a-1=0故选：B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②③【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.14、.【解析】试题分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比数列，∴.考点：等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.15、【解析】

先设点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得．【详解】如图，设，，，由，得，由得，∴，解得，又在椭圆上，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示．16、5040.【解析】分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为。填5040.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．【详解】（1）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．18、（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把点代入椭圆方程，求得，所以椭圆方程为；（2）由题易得直线、斜率均存在，又，所以，设直线代入椭圆方程，化简得，其一解为，另一解为，可求，用代入得，，为定值.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率19、（1）（2）（3）【解析】

（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，根据古典概型求出即可；（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则（E），求出即可；（3）根据题意，写出即可．【详解】（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，有效问卷共有（份，其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，故（A）；（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，根据题意，可知（A），（B），（C），设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“则.所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.（3）．【点睛】本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题．20、（1）,；（2）.【解析】

（1）先把直线和曲线的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得，再由面积可解得极角，从而可得．【详解】（1）直线的参数方程是为参数），消去参数得直角坐标方程为：．转换为极坐标方程为：，即．曲线的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为：，化为一般式得化为极坐标方程为：．

（2）由于，得，．所以，所以，由于，所以，所以．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.21、（1）见解析（2）【解析】

(1)由已知可证得平面,则有,在中,由已知可得,即可证得平面,进