2024年山东省济宁市兖州区中考数学一模试卷（含解析）

2024年山东省济宁市兖州区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.人体中红细胞的直径约为0.0000077m,将0.0000077用科学记数法表示为（）

A.7.7XIO-5B.7.7x10~6C.77XIO-7D.0.77X10-5

2.2023年中国汽车出口量力压日本，首次成为世界第一.下列汽车标志中属于轴对称图形的是（）

A.(BVO)Bc.W

3.打陀螺是北方人们比较喜爱的•种游戏，如图中是•款陀螺的示意图，其主视图为（

B.

C.

4.下列计算中，正确的是（）

B.(a3)3=a6

D.(a-b)a2-b

5.如图，将4A8C绕点C逆时针旋转a（0。＜aV180。）得到△4'8'C,点A的对应点片恰好落在4B边上，若

△CAB=66。，则旋转角a的度数是（）

A.66°B.54°C.50°D.48°

6.仇章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送

到90。里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快

马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度.女慢马的速度为％里/天，则可列方程为（）

900

A.&+1=攀+3BW1---3o

x2x2x

C呼+1=答3n9001900

x2x七一1=云+3

7.如图，在RtAABC中，ZC=90°,Z-B=30°,AB=10,以点C为圆心，CA

的长为半径画弧，交AB于点。，则然的长为（）

A.n

C.|TT

D.2n

8.如图，在正方形4BCD中，点E,尸分别是AB,CO的中点，AF,0E相交

于点M,G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=6,CG=2,则线段MN的

长度为（）

A.>fl7

B.

C.2

D./13

9.一次函数y=ax+b与反比例函数y=?（a,b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）

10.如图，O0与％轴交于点4B,与y轴交于点C,D,P为。。上一动点，Q为

弦4P上一点，且4Q=2PQ.若点4的坐标为（一3,0）,则CQ的最小值为（）

A.3/5-3

B.3/2-2

C.710-2

D.3-73

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.分解因式：xy2—x=

12.已知。，0是方程%2-3%-4=0的两个实数根，则a?+。夕一3a的值为—

13.如图，在正方形网格中，A,B,C,。是网格线交点，AC与BD相交于

点0,小正方形的边长为1,则C。的长为______.

14.如图，小明在距离地面33米的P处测得A处的俯角为15。，B处的俯

角为60。.若斜面坡度为1：6,则斜坡AB的长是______米.

15.已知二次函数丫=a/—6ax+6a,若当2工工式5时:y的最大值是3,则Q的值为.

三、计算题：本大题共1小题，共5分。

16.（7T-1）。-M+2cos45。+（j）-1.

四、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题7分）

某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学校为了解学生的参与

度，随机抽取了部分学生进行调杳，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中的信息，解

答下列问题：

各类社团人数条形统计图各类社团人数扇形统计图

(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

(2)若全校共有学生2600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；

(3)甲、乙两名同学决定在阅读、科普、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有

等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率.

18.(本小题7分)

如图1,在AABC中，Z5=36°,动点P从点4出发，沿折线4-B->C匀速运动至点C停止.若点P的运动速

度为lcm/s,设点P的运动时间为£(s),AP的长度为y(cm),、与£的函数图象如图2所示.当RP恰好平分

乙BAC时，求t的值.

19.(木小题9分)

如图，一次函数y=—入+1的图象与反比例函数y=?的图象交于点A、B,点4在第一象限，过点川乍

4clx轴于点C,力。ly轴于点。，点B的纵坐标为-2,一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F,连接

DB、DE,已知SMDF=4,AC=3OF.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式：

(2)直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的X的取值范围：

(3)在%轴上是否存在点P,使SAPBC=S.8DE•若存在，求出尸点坐标：若不存在，请说明理由.

20.(本小题8分)

如图1,是。。的直径，点A在00上，ADLBC,垂足为D,AE=AC，CE分别交AD、AB于点八G.

(1)求证：FA=FG；

(2)如图2,若点E与点A在直径的两侧，AB、CE的延长线交于点G,的延长线交CG于点凡问(1)中的结论

还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

21.(本小题9分)

定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为

邻等角.

⑴如图1,在四边形48CD中，AD//BC,乙4=90。，对角线BD平分乙40c.求证：四边形4BCD为邻等四边

形.

(2)如图2,在6x5的方格纸中，A,B,C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符

合条件的格点D.

⑶如图3,四边形ABC。是邻等四边形，/.DAB=/-ABC=90°,4BCD为邻等角，连结4C,过B作BE〃AC

交D4的延长线于点E.若4C=8,DE=10,求四边形EBCD的周长.

22.(本小题10分)

如图，抛物线y=以2+6%+(；与％轴交于点4(-2,0)、5(4,0),且经过点C(2,-6).

(1)求效物线的表达式；

(2)在r轴下方的抛物线上任取一点N,射线力N、BN分别与抛物线对称轴交于点P、Q,点Q关于％轴的对称

点为。，求△4PQ'的面积；

(3)点M是y轴上一动点，当N8MC最大时・，请直接写出点M的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：0.0000077用科学记数法表示为7.7x10-6故选艮

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl0-%与较大数的科学记数法不同的是

其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为QX10-n,其中1W|Q|V1O,n为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.【答案】B

【解析】解：4,C,。选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以不是轴对称图形：

B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形.

故选：B.

根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.

本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形就叫做轴对称图形.

3.【答案】A

【解析】解.：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形.

故选：A.

根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案.

本题考查判断简单几何体的三视图.掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视

图是从上面看到的图形是解题关犍.

4.【答案】C

【解析】解：A、a3+a3=2a3,故4不符合题意；

B、(/)3=。9,故8不符合题意；

C、故C符合题意；

D、(a-b)2=a2-2ab+b2,故。不符合题意；

故选：C.

利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幕的乘法的法则，幕的乘方的法则对各项进行运算即可.

木题主要考查完全平方公式，合并同类项，塞的乘方，同底数零的乘法，解答的关键是对相应的运算法则

的掌握.

5.【答案】D

【解析】解：由旋转可知，

4C=4C,

/.Z-CA'A=乙CAB=66°,

•••^ACA'=180°-66°-66°=48°,

・•・旋转角a的度数是48。.

故选：D.

根据旋转的性质得出AC=4。，再结合〃71B的度数即可解决问题.

本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】【分析】

首先设慢马的速度为%里/天，则快马的速度为勿里/天，根据规定时间这一等量关系，可得方程.

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

【解答】

解：设慢马的速度为％里/天，则快马的速度为2》里/天，由题意得：

900900

--------1=-----1-3

x2x

故选：D.

7.【答案】C

【解析】解：连接CD,如图所示：

•••/.ACB=90°,Z.B=30%AB=10,

NA=90°-30°=60°,AC=^AB=5：

由题意得：AC=CD,

・•.△ACD为等边三角形，

AAACD=60°,

的长为：6鸳5=",

1OUJ

故选：C.

连接CD,根据乙4cB=90。，匕B=30。可以得到乙4的度数，再根据AC=CD以及乙4的度数即可得到乙4CD

的度数，最后根据弧长公式求解即可.

本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径.

8.【答案】A

解：如图所示，连接EF,DG,

•••在正方形48co中，AB//CD,AB=CD,Z,BAD=90°

又，：E、尸分别为边AB,CD的中点，

--AE=DF,AE//DF,

四边形AEFD为平行四边形，

四边形AE尸。为矩形.

:.AF=ED

；.M为AF,EO的中点，

又•••N为EG的中点，

.•.在△EGO中，MN//DG,MN=g0G.

・••在丹ADCG中，利用勾股定理，求得。6=2厅.

则MN=<17.

故选：A.

题干中出现中点，而且要求线段MN的长度，在正方形中，要么放在直角三角形中利用勾股定理求得线段

的长度，或者利用三角形中位线定理求得.而图中MN并不在直角三角形中，也没有对应的第三边，因此

需要作辅助线，构造三角形.

木题要充分利用三角形中位线定理，注意在正方形中构造三角形，并利用勾股定理求得第三边的长度，木

题综合性比较强，考查基础知识的综合运用.

9.【答案】D

【解析】解：力、一次函数了=。％+6的图象经过第一、二、三象限，则Q>0,b>0,所以ab>0,则反

比例尸=年应该经过第一、三象限，故本选项不可能；

B、一次函数、=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则aV0,b>0,所以abV0,则反比例y=g应

该经过第二、四象限，故本选项不可能；

C、一次函数〉=。％+6的图象经过第一、三、四象限，则a>0,6V0,所UQ匕V0,则反比例,=?应

该经过第二、四象限，故本选项不可能；

。、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则aVO,b>0,所以abV0,则反比例y=g应

该经过第二、四象限，故本选项有可能；

故选：D.

根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限.

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

10.【答案】C

【解析】解：过Q点作QD〃OP交。4于D点，连接CD、CQ,如图,

；。0与％轴交于点4,B,与y轴交于点C,点4的坐标为(-3,0),

:.OA=OC=OP=3,

1••DQ//OP,

AQDs、APO,

.DQ_AD_AQ

：'OP=AO=APf

；AQ=2PQ,

•••AQ：AP=2：3,

.DQ_AD_2

*'-3-~-3--3*

DQ=2,AD=2,

•••OD=1,

在RtAOCD中，CD=VOD2+OC2=VI2+32=/10,

•••CQ>CD-DQ(当且仅当Q点在CD上时取等号)，

---CQ的最小值为/而一2.

故选：C.

过Q点作Q0〃OP交04于。点，连接CD、CQ,如图，证明△AQOSAAP。，利用相似比得到0Q=2,

AD=2,则0。=1,再利用勾股定理计算出CD=V■诃，然后根据三角形三边的关系得到CQNCD-OQ(

当且仅当Q点在CO上时取等号)，从而得到CQ的最小值为，而-2.

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利月图形中已有的公共角、公共

边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.在应用相似三角形的性质时利月相似比进行几何计算.也考

查了圆的有关性质.

11.【答案】x(y-l)(y+l)

【解析】【分析】

本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式》,再对余下的多项

式利用平方差公式继续分解.

【解答】

解：xy2-x,

=双产一1)，

=%(yT)(y+i).

故答案为：x(y-i)(y+1).

12.【答案】o

【解析】【分析】

本题考查了根与系数的关系：若小，不是一元二次方程以2+以+。=0((1工0)的两根时，与+必=

一，%］必=:.利用。是方程/一3%-4=0的实数根得到M-3a=4,再根据根与系数的关系得到Q0=

-4,然后利用整体代入的方法计算即可.

【解答】

解：a是方程%2-3%-4=0的实数根，

a2-3a-4=0,

即M-3a=4,

•••a/?=-4,

原式=4—4

=0.

故答案为0.

13.【答案】|

【解析】解：•••小正方形的边长为1,

AC=V32+42=5,

•••BC//AD,

.*.△40。COB,

CO_C£_1

~Ad~~AD=2

CO=1/IC=|.

故答案为:

先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△AOOs2ico氏根据相似三角形的性质即

可得出即可.

本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意得出△AODSACOB是解题的关键.

14.【答案】2273

【解析】解：如图所示：过点A作力尸1BC于点尸,

•••斜面坡度为1：

...tan/48F=^"*=苧'

LABF=30°,

•••在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15。，山脚8处的俯角为60。,

乙HPB=30°,Z.APB=45°,

乙HBP=60°,

/.PBA=90°,乙BAP=45°,

:.PB=AB,

・PH=30m,sin6Q°=缁=器=苧,

解得：PB=22/I(m),

故A8=22X<3TH，

故答案为：22A/3.

如图所示：过点A作AF1BC于点F,根据三角函数的定义得到乙48尸=30。，根据已知条件得到=

30°,乙4PB=45。，求得4HBp=60。，解直角三角形即可得到结论.

此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出

PB=AB是解题关键.

15.【答案】3或一1

【解析】解：,••二次函数y=Q/-6QX+6Q=Q（X-3下一3a,

该函数的对称轴是直线％=3,

若。>0时，则％>3时，y随工的增大而增大，

••当•24xW5时，y的最大值是3,

,当％=5时，y=25a—30a+6a=3,

解得a=3,

若a<0时，当时，y的最大值是3,

则当％=3时，y--3a=3,

解得Q=-1,

故。的值为3或-1.

故答案为：3或—1.

分两种情况，根据题意得出关于a的方程，解方程从而求得a的值，本题得以解决.

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

16.【答案】解：原式=1—3+2X苧+5=3+标.

【解析】本题考查了零指数幕，特殊三角函数及负整数指数累的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

利用零指数累，特殊三角函数及负整数指数累计算即可.

17.【答案】解：（1）本次调查的学生人数为：80+40%=200（人），

则科普类的学生人数为：200-40-50-80=30（人），

各类社团人数条形统计图

f人数

(2)劳动社团的学生人数为：2600x券=650(人);

(3)把阅读、科普、劳动社团分别记为小B、C,

AEC

A\A\A\

ABCABCABC

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，

二甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为］=<.

【解析】(1)用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决

问题：

(2)用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；

(3)画出树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种.再根据概率公

式即可求解.

此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.【答案】解：如图,连接4P,

由点P的运动速度为lcm/s,结合图2可得4B=BC=4cm,

vLB=36°,AB=BC,

:.LBAC=Z.C=72°,

•••AP平分NBAC,

:.Z.BAP=Z.PAC=Z.B=36°,

:.AP=BP,Z.APC=72°=乙C,

AP=AC=BP,

zPZC=48,Z.C=zC,

•••△APC^LBAC,

AB=ACf

•••Ap2=AB・pC=4(4-AP),

AP=2/5-2=BP(负值舍去),

i±2^z2=2/5+2.

【解析】由图象可得48=BC=4c?n,通过证明△4PCSA8AC,可求AP的长，即可求解.

本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解

题的关键.

19.【答案】解：(1)在y=/ct+l中，令x=0,则y=l,

.••点F(O,1),

OF=1,

:•AC=30F=3,

•••点。(0,3),

,•♦4的纵坐标为3,点A在反比例函数上，

.•点A《,3),

••・SMOF=94。•。尸=：x?x(3—1)=4,

解得m=12,

二点力(4,3),反比例函数表达式为y=

将点B的纵坐标代入上式得，-2=?,

解得X=-6,

-2),

将点B的坐标代入y=kx+l得，-2=-61+1,

解得y,

••・一次函数表达式为y=4-1；

(2)由(1)知，点AB的坐标分别为(4,3)、(-6,-2),

观察函数图象知，反比例函数的值大于一次函数的值的4的取值范围为：“<-6或0<“<4；

(3)存在，

设直线80为y=ax+b,

•••点D(0,3),5(-6,-2),

...=3

1—6a+b=—2f

解得卜V,

••・直线BD为y="+3,

对于y=2%+L令y=0,则齐+1=0,

解得％=-2,

二点E(-2,0),

对于y=3%+3,令y=0,则江+3=0,

解得％=一号，

.•・e(弋，。)，

设P(a,0)，

S^BDE=S“BD»

二2xgx(2+3)=2x(—-—Q)x(2+3),

26

a=一T'

・•・P(Y，O).

【解析】(1)利用雇他户=4,求出点4的坐标，再用待定系数法求出两个函数友达式即可；

(2)观察函数图象即可求解；

(3)根据题意，设P(a,0),求出直线BD为y="+3,与％轴交于点口(一号,0),根据品皿二

S^BDE即可得答案，

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想,

综合性较强.

20.【答案】(1)证明：:BC是。0的直径，

:.Z.BAC=90°,

•••Z-ACE+乙4GC=90°,

-AD1BC,

LADB=90°,

/.ABD4-/.DAB=90°,

AE=AC7

:，Z.ACE=乙ABD,

•••Z.DAB=Z.AGC,

:.FA=FG；

(2)解：(1)中的结论成立，理由如下：

•••BC为直径，

•••Z.BAC=90°,

^Z.GAC=90°,

•••LACG+乙AGC=90°,

vADLBC,

Z.ADB=90°,

:./.ABD+/.DAB=90°,

•••AE=AC,

Z.ABD=4ACG,

NAGC=々DAB,

•••FA=FG.

【解析】(1)根据圆周角定理求出乙347=90。，LACE=LABD,结合直角三角形的性质求出乙。43=

乙4GC,根据等腰三角形的判定即可得解；

(2)同理(1)求解即可.

此题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定埋是解题的关键.

21.【答案】(1)证明：在四边形4BC0中，AD//BC,乙4=90。，

:.匕48c=180°-£A=90°,

•••对角线8。平分乙ADC,

•••Z.ADB=Z.CDB,

•••AD//BC.

:.Z.ADB=乙CBD,

•••乙CBD=乙CDB,

CD=CB,

.•.四边形力BCD为邻等四边形;

(2)解：如图2-1,2—2,点D'、。即为所求;

(3)解：如图3,四边形H8CD是邻等四边形,

•••CD=CB,

VLDAB=乙ABC=90°,

:.AD//BC,

vBEUAC,

四边形4EBC是平行四边形，

EB=AC=8,AE=BC,

:.AE=BC=DC,

设AE=8C=DC=x,

•••DE=10,

:.AD=DE-AE=10—x,

过点。作OF_LBC于点尸，得矩形

图3

AB=DF,AD=BF=10—x,

CF=BC-BF=x-(10-x)=2x-10,

^RtAABE^Rt△DFC^,木艮据勾股定理得：

BE2-AE2=AB2,CD2-CF2=DF2,

•••BE2-AE2=CD2-CF2,

82-X2=X2-(2X-10)2,

整理得20%+82=0,

解得修=10-3/2,x2=10+3/2(不符合题意，舍去)，

CD=CB=10-30，

••・四边形EBC。的周长=BE+OE+2CD=8+10+2x(10-3/2)=38-6/2.

【解析】(1)根据邻等四边形定义证明即可；

(2)根据邻等四边形定义利用网格即可画图；

(3)先正明四边形力EBC是平行四边形，得4E=8C=OC,设AE=8C=0C=%,得40=OE-AE=

10-x,过点。作DF_L于点F,得矩形48F。，得48=DF,AD=BF=10-%,所以CF=BC-BF=

x-(10-x)=2x-10,根据勾股定理得82-7=/一(2%—10)