河北省石家庄市赵县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案解析）

河北省石家庄市赵县2023-2024学年八年级下学期期中数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列根式是最简二次根式的（）

A.Jo.5B.C.—y/3D.a

2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.也,4,75C.1,V3）2D.y/2,,A/6,8

3.若式子岳二7在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x*2B.x>2C.x<2D.

4.下列计算不正确的是（）

A.375-75=275B.72x73=V6

cgW

D.^3+A/6=J3+6=M-3

5.在下列命题中，正确的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6.如图，平行四边形N38中，若NB=2NA,则/C的度数为（）

A.60°B.120°C.72°D.36°

7.如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推

进3米（即。£=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

试卷第1页，共6页

A.1米B.亚米

C.2米D.4米

8.如图，在ciNBCD中，ABVAC,若4B=4,AC=6,则3。的长是（）

D

A.11B.10C.9D.8

9.实数a,6在数轴上的位置如图所示，化简正-府城的结果是（）

—1-------1---'-->

b0a

A.2aB.2bC.-2bD.0

10.如图，在一个长为20m,宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的

较长边和场地宽/。平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达

点C处需要走的最短路程是（）m.

A.85/13B.4741C.27185D.27233

II.如图，在Rta/BC中，//=90。1为边8。上一动点，PEL4B于E,尸尸_L/C于尸，

动点P从点B出发，沿着3c匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）

试卷第2页，共6页

A

F

C

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少

12.如果正整数。、b、。满足符式/+〃=。2,那么正整数、/,、c叫做勾股数，某同学将

自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为()

abc

345

8610

15817

241026

.....................

X65

A.47B.62C.79D.98

二、填空题

13.若最简二次根式-1与五工？能合并,则j3x+6=.

14.若x=0+l，则代数式/-2x+2的值为.

15.如图，矩形NBCD的对角线NC和m相交于点O,过点。的直线分别交和3C于点

E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为.

16.在平面直角坐标系中，已知点/(TO)、8(2,2)、C(O,3),在坐标平面内找一点D,

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使得以aB,c,。四点组成的四边形为平行四边形，请写出。点坐标

三、解答题

17.(1)计算：3—加+亚—阴；

18.一个三角形的三边长分别为5、代，!痂，々叵.

V524\5

⑴求它的周长(要求结果化简)；

⑵请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长.

19.定义：如图，点M、N把线段48分割成W、MN、NB,若以/M、MN,A®为边的

三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点.

1111

AMNB

(1)已知M、N把线段分割成/M、MN、NB,若/朋'=2,MN=4,BN=2也,则点M、

N是线段N8的勾股分割点吗？请说明理由.

(2)已知点M、N是线段48的勾股分割点，且为直角边，若A8=12,AM=5,求BN

的长.

20.如图，在四边形48co中，65=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.

(1)求NTU8的度数；

(2)求四边形ABCD的面积.

21.阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的

积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：及与八、6+1与

V2-1.

(1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：,这样化简一个分母含有二次

根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了.

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亚网8+@6+2

例如:-=V6+2.

6-6(百-亚乂6+五)3-2

(2)请仿照上述方法化简：

⑶比较13与7a

T的大小.

22.如图所示，在平行四边形N8CL)中，//8C的平分线交/。于点E,/BCD的平分线

交/。于点R交BE于点G.

(1)若/昉G=32。，求/FEG的度数；

(2)求证：AF=DE.

23.如图所示,菱形ABCD的对角线3。相交于点。，过点。作。石〃NC,且DE=工/C,

2

连接CE,OE,连接NE交QD于点尸.

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形/3C。的边长为8,AABC=60°,求NE的长.

24.如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

(1)性质探究：如图1.已知四边形ABCD中，ACXBD,垂足为O,求证：AB2+CD2=

AD2+BC2.

(2)解决问题：已知AB=5,BC=4,分别以AABC的边BC和AB向外作等腰RtzXBCQ

和等腰RtAABP.

①如图2,当/ACB=90。，连接PQ,求PQ；

②如图3,当NACBM0。，点M、N分别是AC、AP中点连接MN.若MN=2«,贝USAABC

试卷第5页，共6页

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】根据最简二次根式的概念，逐一判断选项，即可.

【详解】解：A、限=[=巫，故本选项不符合题意，

V22

B、£=斗,故本选项不符合题意，

C、-百是最简二次根式，故本选项符合题意，

D、&=2也,故本选项不符合题意.

故选:C.

【点睛】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义：“根号内不含分母，不含

平方因式的二次根式，叫做最简二次根式”，是解题的关键.

2.C

【分析】利用勾股定理的逆定理，判定选项中的值能否组成直角三角形即可.

【详解】解：；2?+3?=13,42,

故A选项中不能组成直角三角形，错误；

•.[可+(间2=7片回，

故B选项中不能组成直角三角形，错误；

・"+(92=4=22,

故C选项中能组成直角三角形，正确；

V(V2)2+(V6)2=8^82,

故D选项中不能组成直角三角形，错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的内容是解题的关键.

3.B

【分析】根据二次根式里面被开方数2x-4引0即可求解.

【详解】解：由题意知：被开方数2x-4N0,

解得：x>2,

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0.

答案第1页，共16页

4.D

【详解】根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知3布-正=26，故正确；

根据二次根式的乘法，可知行x退=的，故正确；

根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得5=字，故正确；

根据二次根式的加减，可知百与而不是同类二次根式，故不正确.

故选D.

5.C

【分析】本题考查命题及平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，根据判定定理逐个判断

即可得到答案

【详解】解：由题意可得，

对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故A不正确，不符合题意，

有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B不正确，不符合题意，

有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确，符合题意，

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D不正确，不符合题意，

故选：C.

6.A

【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解.

【详解】解：：四边形/BCD是平行四边形

AB//CD,AD//BC,

//+Z8=180°,NC+NB=180°,

/A=NC,

"：ZB=2N4,

3/3=180°,

NC=NA=60°,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

7.A

【分析】如图（见解析），过点C作于点R先利用勾股定理求出NF的长，再根

答案第2页，共16页

据线段的和差即可得.

【详解】如图，过点C作CF//B于点F,则。b=。£=3米，

由题意得：/C=/B=5米，

在用A/C尸中，由勾股定理得：/L=J/C2一C-2=J52一理=4（米）,

贝|]8/=/3-瞪=5-4=1（米）,

即木马上升的高度为1米，

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段的和差，熟练掌握勾股定理是解题关键.

8.B

【分析】利用平行四边形的性质可知NO=3,在次△NB。中利用勾股定理可得30=5,则

20=230=10.

【详解】解：：四边形是平行四边形，

：.BD=1B0,AO=OC=3.

在必△A8O中，利用勾股定理可得：^。:打+不=5

：.BD=2BO=10.

故选B.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理.解题的技巧是平行四边形转化为三

角形问题解决.

9.B

【分析】利用数轴得出6<0<。，回>同，进而利用二次根式的性质化简求出即可.

【详解】解：由数轴可得：b<O<a,H>|a|,

a-b>0,

答案第3页，共16页

则-1(a-b)2

=a+6—(q—b)

=a+b—a+b

=2b

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键.

10.A

【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股

定求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，如图所示，

AB=20+2x2=24m，

'■最短路程是：4C=7242+162=V832=8、厄m，

故选：A.

11.C

【分析】连接/P,先判断出四边形NF/也是矩形，根据矩形的对角线相等可得跖=/尸，

再根据垂线段最短可得/尸，8C时，线段E尸的值最小，即可判断出动点尸从点8出发，沿

着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况.

【详解】如图，连接/尸.

,?NA=90°,PE1AB,PFVAC

答案第4页，共16页

二四边形NFPE是矩形，

/.EF=4P,

由垂线段最短可得/尸_L3C时，4?最短，则线段EF的值最小，

动点P从点B出发，沿着3C匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小

后增大.

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出/尸，8c时,

线段EF的值最小是解题的关键.

12.C

【分析】依据每列数的规律，即可得到。=2〃，b=n2-l,c=n2+l，进而得出x+V的值.

【详解】解：由题可得，3=22-1,4=2x2,5=22+1,……

a-2n,b=n2-1<c=n2+1>（“22且〃为正整数）

.,.当c=〃?+i=65时，

解得：〃=8,

:.x=16,y=63,

:.x+y=79,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数.

13.372

【分析】根据题意可得岳二I与而I是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方

程，再解即可.

【详解】解：由题意得：2x-l=x+3,

解得：x=4,

出义4+6=加=3逐.

故答案为：372•

【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，

如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.

14.3

答案第5页，共16页

【分析】将/-2x+2变形为(尤-1丫+1,整体代入即可得出结果

【详解】•.-x=V2+b

**•X?-2x+2=x?-2x+1+1

=(x-1)2+1

=(行+1-1『+1

=2+1

=3.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了代数式求值，将x?-2x+2变形为+l是解题得关键.

15.3

【分析】矩形的对角线相等且互相平分，所以过交点的好把矩形分成面积相等的两部分，

通过面积的等量代换可求出解.

【详解】解：•••矩形Z8CD的对角线/C和2。相交于点。，

四边形/8EE里面的空白三角形的面积和四边形EDC/中阴影三角形的面积相等.

求阴影部分的面积可看成求四边形/2PE的面积.

阴影部分的面积为：(2X3”2=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，过交点的线段把矩形分成面

积相等的两部分.

16.(3,5),(-3,1),(1,-1)

【分析】需要分类讨论：以48为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形.

【详解】解：①当A8为边且43、NC为邻边时：如图

答案第6页，共16页

因为点/(TO)、3(2,2),

所以点A先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点8,

相应的点C先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点。,

\。(3,5)；

②当为边且43、40为邻边时：如图

因为点3(2,2)、C(0,3),

所以点8先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点C,

答案第7页，共16页

相应的点A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点D,

•••^(-1,0),

因为点5(2,2)、C(0,3),

所以点C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点B,

相应的点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点D,

•••^(-1,0),

故答案为:(3,5),(-3,1),(1,-1).

【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用

数形结合思想解决.

17.(1)-41;(2)2A/3+276-4

【分析】本题考查二次根式的运算.

(1)先化简二次根式，再运算即可；

(2)先去括号，再进行二次根式的运算即可.

【详解】解：(1)原式=36-2后+逐-36

答案第8页，共16页

=—V2;

⑵原式=3-2+2石-(3-2〃+2)

=1+2痒5+2々

=2百+2#-4.

18.（1）—J5x

（2）当x=10时，这个三角形的周长是25（答案不唯一）

【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长.运用二次根式的加减运算，先化

为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；

（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可.

【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别为为5、日，!同，

V524V5

这个三角形的周长是:

5J-+-VW把

N5245

=4Sx+y[5x+,

2

=—y[5x,

2

这个三角形的周长是：/

（2）当x=20时，这个三角形的周长是:

-V57=-V5x20=-xl0=25.

222

.•.当x=10时，这个三角形的周长是25（答案不唯一）.

【点睛】本题考查二次根式的应用.解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则.

19.（1）点M、N是线段的勾股分割点，理由见解析

^12...37

⑵亍或了

【分析】（1）由N"=2,MN=4,BN=2拒,可得/M?+8解=MV?,根据勾股定理逆

定理得出以/M、MN、沏为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义

答案第9页，共16页

即可判断；

(2)设BN=x,则MN=4B-/M-3N=7-x,分两种情形①当儿W为斜边时，依题意

AM2+BN2^MN2,②当3N为斜边时，AM1+MN2=BN1,分别列出方程即可解决

问题.

【详解】(1)煎M、N是线段的勾股分割点，理由如下：

AM=2,MN=4,BN=2也

：.AM2+BN2=22+(273)2=4+12=16,M2V2=42=16

/•AM-+BN2=MN2

.•.以MN、A®为边的三角形是直角三角形

...点M、N是线段AB的勾股分割点；

(2)设3N=x(尤＞0)

；4B=12,AM=5

:.MN=AB-AM-BN=\2-5-x=1-x

丁点M、N是线段45的勾股分割点，且NM为直角边

①若儿W为斜边，贝UAM2+BN2=MN2

即52+X2=(7-X)2,

12

解得：x=—

②若8N为斜边，贝!|AM2+MN2=BN2

即52+(7-X『=/,

37

解得：%=y

综上所述，3N的长为1节2或苦37.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意

不能漏解，属于中考常考题型.

20.(1)135°；

⑵2+夜.

【分析】(1)由£)5=90°,AB=BC=2,可得/"C=/8C4=45。，AC=2五,进而由

答案第10页，共16页

勾股定理的逆定理可得A/CO为直角三角形，利用角的和差关系即可求出；

（2）由四边形/BCD的面积=+计算即可求解；

本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，四边形的面积，利用勾股定理的

逆定理得出是解题的关键.

【详解】（1）解：VDS=90°,AB=BC=2,

：.ZBAC=ZBCA=45°,/。=百方=2日

AD=\,CD=3,

AAD2+AC2^l2=9,0）2=32=9,

AD2+AC2=CD2,

ANCZ）为直角三角形，ACAD=90°,

NDAB=ACAD+ABAC=90°+45°=135°；

（2）解:四边形.8的面积二邑…邑…”四人会=2^2.

21.⑴G+l与G-1（答案不唯一）

0、V15+V6

（）-3-

11

⑶

【分析】本题考查二次根式的化简运算，掌握分母有理化的规则是解题的关键.

（1）根据定义，写出符合题意的两个二次根式即可；

（2）按照定义进行化简即可；

（3）先化简两个式子，再比较大小即可.

【详解】（1）解：6+1与追-1互为有理化因式（答案不唯一）

（V3+l）（^-l）=3-l=2

G+1与6-1互为有理化因式

故答案为：6+1与6-1（答案不唯一）；

（2）百♦（«+五）

V5-V2-（V5-72）（^5+72）

答案第11页，共16页

V15+V6

5-2-

_V15+V6.

=»

3

/、1A/3+1A/S+11y/5+口

.V3-1(V3-1)(A/3+1)2'石_6―(有-5(班+6-2'

-y/3+1y/5+y/3

--------<-----------

22

.]]

,,工]_p

22.(1)/F£G=58°；

(2)见解析

【分析】(1)根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到NEGQ90。，再根据三

角形内角和定理，即可得到/FEG的度数；

(2)根据平行四边形的性质可得：AB=CD,AD//BC,根据平行线性质和角平分线的定义

求出NABE=N4EB,推出/3=4E,同理求出。尸=C£>,证明4B=D9即可.

【详解】(1)解：•••四边形是平行四边形，

ZABC+ZBCD=ISO°,

又〈BE平分/ABC,CF平分NBCD,

：.ZGBC+ZGCB=-CZABC+ZBCD)=-xl80°=90°,

22

NEG尸=90°,

又：ZEFG=32°,

：.NFEG=90°-32°=58。；

(2)证明：•.•四边形/BCD是平行四边形，

：.AB=CD,AD//BC,

：.NAEB=/EBC,

•；BE平分NABC,

：.NABE=/CBE,

：./ABE=NAEB,

：.AB=AE,

同理可得：DF=CD,

答案第12页，共16页

：.AE=DF,即AF+EF=DE+EF,

：.AF=DE.

【点睛】本题考查了平行四边形性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识

的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键.

23.⑴见详解

(2)4A/7

【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理.

(1)先证四边形OCE。是平行四边形，再证四边形OCED是矩形即可；

(2)由菱形N3CD的边长为8,N/8C=60。可得“8C是等边三角形，再求得NC,。。的长,

可得CE的长，最后用勾股定理求/E即可.

【详解】(1)证明：・••四边形/BCD是菱形

ACLBD,AO=CO=-AC

2

ZDOC=90°

•••DE=-AC

2

DE=OC

DE//AC

即DE//OC

四边形OCED是平行四边形

QZDOC=90°

•••四边形0cm是矩形

OE=CD；

(2)•.,菱形/BCD的边长为8,ZABC=60°

:.AABC是等边三角形

AC=8,ZABO=30°

:.AO=-AC=4

2

BO7&-42