江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题（解析版）

江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知向量白=(1，2)力=(-2,3),则()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的数量积的坐标运算，代入计算即可.

【详解】由题意得，a2=1x(—2)+2x3=4.

故选：B.

2.设复数z满足z+l=(2+i)z,则|?|=()

A.；B.—C.1D.V2

22

【答案】B

【解析】

【分析】借助复数的四则运算与模长定义计算即可得.

11-i1-i

【详解】由题意可得2=工=不=丁，

1+1不+、—、2

故选：B.

3.已知集合4=｛%也谈。｝,8=｛也工2卜则“九eA”是“xeB”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.

【详解】不等式lnx<0解得0<xWl,则4=(0,1]；

不等式2、<2解得xWl，则5=(-8/].

(0』口S，l],

所以“xeA”是“xeB”的充分不必要条件.

故选：A

——2x%〈0

4.已知/(x)=,(\八，则不等式/(x)<2的解集是()

|^log2(x+l),x>0

A.(-oo,2)B.(-oo,3)C.[0,3)D,(3,+oo)

【答案】B

【解析】

[分析]分别在x<0,x>0条件下化简不等式求其解可得结论.

【详解】当x<0时，不等式/(幻<2可化为—必―2%<2，

所以％2+2X+2>0，可得X<0；

当xN0时，不等式/(%)<2可化为log2(%+1)<2,

所以1+1<4,且x+l>0,

所以0W九<3,

所以不等式/(x)<2的解集是(一甩3),

故选：B.

5.在三棱锥A—BCD中，AB1平面BCD,AB=5BC=BD=CD=2,E，产分别为AC,

CD的中点，则下列结论正确的是()

A.AF-BE是异面直线，AF±BEB.AF-BE是相交直线，AF±BE

C.AF>3E是异面直线，A尸与3E不垂直D.AF>3E是相交直线，■与跳不垂直

【答案】A

【解析】

【分析】先用定理判断转，班是异面直线，再证明座与■垂直，连接卸乙即可得到平面

ABF,取A厂的中点Q,连接3Q,EQ,从而得到EQLAP、BQLAF,即可证明"J_平面

BEQ,从而得解.

【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点3与平面ACD内一点E直线助与平面

ACD内不经过E点的直线AF是异面直线.

下面证明助与A尸垂直：

证明：因为A31平面BCD,CDu平面5C。，

所以AB_LCD,

因为BC=BD=CD,户分别为CD的中点，连接卸，

所以5尸，CD,

因为ABBF=B,AB,BFu平面AB尸，

所以CD,平面AB/，

如图：取A厂的中点Q,连接3Q,EQ,

因为Mu平面尸，所以CDLAE,

又因为EQ〃C£>,所以EQJ_Ab,

因为8。=班>=。0=2,

所以BF=x2==AB，

2

又因为。为AF的中点，所以

因为8。小石。=。，30,EQu平面3EQ,

所以"，平面3EQ,

又因为5Eu平面3EQ，所以A尸，5E.

故选：A.

6.已知2cos2xH---Icos-cos3x=-,贝！Jsin

124

77

C.D.

88

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦的和角公式化简得cos[x+1）=。，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可.

【详解】由已知知:

化简得cos]2x+^|-jcoslx71+sinl2x+^|-jsinlx71

1212

£

4

.兀E兀1

令t—x—，贝=%—，cost——，

664

所以sin仁—2%卜sin=sin--2t=cos

(21

=2cos2/■—1=2xf—1=——.

⑷8

故选：D

22

7.己知双曲线C：，—忘=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为耳,工，双曲线的右支上有一点AA4与

TT

双曲线的左支交于8,线段A8的中点为股，且满足A8，若/月4耳=耳，则双曲线C的离心

率为（）

A.73B.75C.76D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理计算即可.

【详解】由题意可知线段A8的中点为M,且满足贝『AB|=|B6|,

故△A3E为等腰三角形,

jr

又玛=§,则△AB鸟为正三角形，

根据双曲线定义知|时|—|然|=2a=|然|—|AB|=忸叫,

设|AB|=x,贝!|忸闾一忸耳|=2anx=4a,

在4A月月中，由余弦定理知cos60=(x+2?+x=52-—#2=\e=近,

2x(x+2a)48a22

故选：D

8.校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥

尸—A5C的三个侧面沿AB,BC,AC展开得到面《A3,鸟3。,鸟AC,使得平面《A3,63C,居AC均与

平面ABC垂直，再将球。放到上面使得42,鸟三个点在球。的表面上，若奖杯的总高度为6&，且

AB=4,则球。的表面积为(

140兀100K98兀32兀

A.------B.-------C.-----D.——

3993

【答案】C

【解析】

【分析】由奖杯的总高度为6直，结合题意，可将其拆解为多段，得到60=R+OQ+QQ,结合题目所

给条件，运用勾股定理计算即可得球。的半径，结合球的表面积公式即可得解.

【详解】如图：连接《鸟、P『3、3,

取AB、BC、AC中点。、E、F,连接P*、P3F,

由已知侧棱长为6的正三棱锥P-ABC,

即6A=耳8=£3==鸟。=jA=6,又因为AB=4,

所以耳。=4E=公F=,62—22=40，

因为平面阜山，［BC,《AC均与平面ABC垂直，

设A，P2,4三点所在的圆为圆Q,底面ABC的中心为。-

则QOi=4^/2,又因为奖杯总高度为6应，

设球半径为R,球心。到圆。面的距离为d，

则OQ=d=6&—4&—R,即d=2行一R，

如图，易知.RP2P3沿J)EF，

因为DE=DF=EF=gAB=2,

所以《鸟鸟是边长为2的等边三角形，

设.《鸟鸟的外接圆半径为「，

则直角。中，代=*+箫,

2

即R=〔下

9871

所以4;很=4TIx

13⑸

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助奖杯的总高度为6虚，得到6上=尺+。。+。0,从而可由

题目所给条件逐步计算出球。的半径，即可得解.

二、选择题:本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调

查，得到如下两个表格：

不喜爱足球运

喜爱足球运动合计

动

男性15520

女性81220

合计231740

甲校样本

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性7030100

女性4555100

合计11585200

乙校样本

（参考公式及数据：/=中喘累=a+.

a0.10.010.001

%2.7066.63510,828

则下列判断中正确的是()

A.样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例

B.样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例

C.根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

D.根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

【答案】AD

【解析】

【分析】对AB,根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小判断即可；对CD,根据独立性检验的性

质判断即可.

153

【详解】对A,甲校男学生喜爱足球运动的比例一=—,乙校男学生喜爱足球运动的比例

204

_7_0___7__3

100—104,

即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；

824592

对B,甲校女学生喜爱足球运动的比例一=一,乙校女学生喜爱足球运动的比例——=一〉一，

205100205

即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；

40x(15x12-5x8)2

对C,甲校中力2«5.013<6.635，

20x20x23x17

所以根据甲校样本没有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误;

200x(70x55-30x45)2

对D,乙校中/-12.788>6.635

-115x85x100x100-

所以根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确;

故选：AD

10.已知/(x)=x+acosx(a。0),则下列说法中正确的是()

A./(x)在R上可能单调递减

B.若f(x)在R上单调递增,则l,0)U(0」］

是/(X)的一个对称中心

D./⑺所有的对称中心在同一条直线上

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A：计算导数，可得当a<—1或a>l时，/'（x）WO不恒成立；对B：计算导数，令/''（x"。

计算即可得；对C：验证/（4）+/（兀—力=兀是否成立即可得；对D：可得"了）关于

'（2左+1）兀（24+1）兀'

--1―,左eZ对称，即可得解.

（22J

【详解】/（x）=x+acosx（awO）,则/'（x）=l-asinx,

对A：当ae[—l,O）u（0,1]时,/'（x）"恒成立，"X）单调递增，

当a<—1或a>l时，/'（力<0不恒成立，/（%）不可能单调递减，

综上，/（九）在R上不可能单调递减，故A错误；

对B：若/（尤）在R上单调递增，则/'（x）=l—asinxNO恒成立，

所以ae[—1,0）。（0』，故B正确;

对C：因为+兀-x）=x+acosx+兀一x+acos（兀-x）=7i,

所以/（x）关于对称，故C正确；

因为/（x）+/（（2k+l）7r-x）=x+acosx+（2k+l）7r-x+acos（（2^+l）7i:-x）

=（2左+1）兀，左eZ,

,、1（2左+1）兀（24+1）兀'

所以/（%）关于1―尸一，1~尸一，左eZ对称，

（22J

所以/（%）所有的对称中心在直线y=x上，故D正确.

故选：BCD.

11.已知|AB|=4,M为AB上一点，且满足AM=3MB.动点C满足|AC|=2|。0|,D为线段上

一点，满足|cq=|/）M|,则下列说法中正确的是（）

A.若CM±AB,则。为线段BC的中点

B.当AC=3时，A3。的面积为其

4

C.点。到A3的距离之和的最大值为5

D.NMCB的正切值的最大值为且

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,利用等腰三角形的两底角相等，以及直角三角形的性质即可判断；对B,根据余弦定理可得

cosA=—,进而可得sinA,结合三角形面积公式求解即可；对C,先证明忸。=2,然后根据两点之间

811

线段最短可证明|以|+|£码＜5,再给出取等的例子即可；对D,用余弦定理证明COS2NMCB2W，再得

到tan/MCBK且，最后给出一个取等的例子即可.

3

【详解】对A,若CM±AB,则NCMB=90。，从而NMCB+NCW=90。.再由=闾知

ZDCM^ZDMC.

故NDBM=Z.CBM=90°-ZMCB=90°-ZDCM=90°-ZDMC=NCMB-ZDMC=ZDMB,这得到

\DM\=\DB\

所以|8|=］。闸=|。到，从而O为线段8C的中点，故A正确;

33”-图

对B,当MC=3时，=—,贝|7，又一e（0,兀）,

2cosA-

2x3x38

故sinA=Jl—[g]=半，故S至。=gx|AC|x|A3|xsinA=45，故B错误;

对C,由于|AC|=2|QW|,故从而|CB—=—故

(CB-AB^=4(CB-MB『.

这表明（CB—AB）?=4（CB—MB）?=41c5—,即

烟2+网L2CRAB=4烟?+；网-2CRAB,化简即为3画？=；网?

所以|CB『=；|AB1=；-42=4,故|CB|=2.

由于A3=4MB,故AM=3M3=?A3,从而,叫=高4q=3.再由忸。|=2,知

|ZM|+|DB|=|Z^+|CB|-|CZ^=|ZM|+2-|CD|=|Z14|+2-|DM|=|ZM|-|DM|+2<|7Uf|+2=3+2=5.

13

当点C在同一条直线上顺次排列，且|A〃|=3,|北倒=1,忸0=3，=5时，验证知

点A,B,C,D,M满足全部条件，且此时有|。川+|£码=（|+1"6|+忸。|）+忸必=3+1+g+g=5.

所以点。到A3的距离之和的最大值为5,故C正确；

对D,一方面由于忸c|=2,==i^\MB\<\BC\,从而NMCB<NCMB.

所以ZMCB<ZCMB<ZCMB+ZCBM=180°-ZMCB,即ZMCB<90°.

\CMf+\CB2-\MBf

所以cosNMC3=

2CMCB

_|CM2+4-l

一_4CM\"

_|CM|2+3

—41cM

_|CAf|2-2V3|CAf|+3+273|CAf|

-4\CM\

4\CM\

>2s/3\CM\_y/3

4\CM\-V

,3

所以cos2/MCB»—.

4

3

由0VNMCB<90°,及cos?9/MCBN—,可知

4

八…sinZMCBsin2ZMCB1-cos2ZMCB

tanZMCB=---------=J----------=J-----、----

cosZMCBVcos2ZMCBVcos2ZMCB

E

另一方面，如上图所示，考虑一个边长为4的正三角形ABE，分别设ABBE的中点为RC,再分别设

的中点为

则|AC|=2g,\CM\=s/3,\CD\=\DM\=1,\AM\=3,|MB|=1,CM上MB.

\MB\J3

所以A,&C,D,M满足全部条件，且此时tanZMCB=伺"=-y.

综上，tanNMCB的最大值是正，故D正确.

3

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在D选项中，需要先用余弦定理考虑cosNMCB的下界，再

相应地推出tanNMCB的上界，进而得到tanNMCB的最大值.

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，4c,若asin3=2》cosA,贝hanA=.

【答案】2

【解析】

ciAq

【分析】先由条件期由5=2〃85人说明1@114存在，再结合正弦定理——二:即可求出tanA.

sin3b

2/?cos/AnsinRwin/An

【详解】由asin3=2bcosA知cosA=----------=——>0,故tanA存在.再由正弦定理—

2b2bsinBb

口”-…，sinA2匕sinA2bsinA2b-a-

即可得到tanA=-------=----------=----------=-------=2.

cosA2bcosAasinBa-b

故答案为：2.

13.一次知识竞赛中，共有A,&C,D,E五个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）.已知参

赛人甲A题答对的概率为，5题答对的概率为:，C2E题答对的概率均%,则甲前3个题全答对

的概率为.

37

【答案】—

320

【解析】

【分析】根据题意可知，甲抽中的前三题按题型概率不同有四种组合，可用组合数依次计算每种组合的概

率，然后根据每种组合中每题是否答对为独立事件，P（ABC）=P（A>P（5>P（C）,可依次计算每种组合

下全部答对的概率，最后相加即可.

【详解】甲抽中前三题按题型概率不同有四种组合:

抽中A3,剩余一题为三题中的任意一题，且全部答对，则概率为:

C；xC：xC；x3xlxl=^_

1C；442320

抽中C,D,E,且全部答对，则概率为:

1

214

抽中A,剩余两题为中的任意两题，且全部答对，则概率为:

CjxClJl|23__9_

月=।X4-160

C52

抽中8,剩余两题为CRE中的任意两题，且全部答对，则概率为:

C；04160

37

所以甲前3个题全答对的概率为「=《+6+6+2=而

37

故答案为：----

320

14.如图，有一张较大的矩形纸片ABC。,&分别为AB,CO的中点，点P在。&上，|OP|=2.将矩

形按图示方式折叠，使直线A8（被折起的部分）经过尸点，记AB上与尸点重合的点为折痕为/.过

点M再折一条与8c平行的折痕加，并与折痕/交于点Q,按上述方法多次折叠，。点的轨迹形成曲线

E.曲线E在。点处的切线与AB交于点N，则VPQN的面积的最小值为.

【解析】

【分析】先根据题意得出。的轨迹是以尸为焦点、直线为准线的抛物线，进而得出曲线E的方程，然

后建立坐标系求出点。处的切线方程进而求出点N,从而求出SPQN=SMQN=^\MN\\MQ\,再利用导数

工具研究其最值问题即可求解.

【详解】连接尸。，由题PQ与关于/对称，|PQ|=M0|,

所以。在以尸为焦点、直线为准线的抛物线上，

如图，以P。中点G为原点，过G与平行的直线为x轴，与A2垂直的直线为，轴建立平面直角坐标

系，

则P（o,l）,直线AB：y=—l,所以抛物线方程为：x2=4y,即y=亍，

尤/1

则丁=—,由上可设Q（。＜0）,则抛物线在。点处切线斜率为左=-a,

2142

所以抛物线在。点处切线方程为y-，=a）,

则令y=—1,n5—1)’

a22a2

所以由题意|MN|==4+—I—，

2a2a

[11

3

SP°N=SM°N=5|MN||M05+―x—+1=—a+—+—=|z/(tz)|(4Z<0),

///ci卜i,J-o/a

311

所以H'(a)=—a2H-----Y=g(〃)(〃<。)，

162a

3?

故g'(a)=—Q—可<。对”<0恒成立，

8a

所以a<0时H'(a)单调递减，又当q=—平时，H'(a)=0,

故a<—平时，H'(a)〉0；—竽<a<0时，H'(a)<Q,

所以a<—半时，H(a)单调递增；一半<0<0时，H(a)单调递减,

所以半］=_殍，则的⑷之手，

所以VPQN的面积的最小值为更，

9

故答案为：生巨

9

【点睛】关键点睛：将求VPQN面积转化成求△M0N面积是解决VPQN面积最值的关键.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛a“｝的前”项和为S“，且满足弓=1,g=3,a“+a“+2=总”+「

(1)当k=2时，求S"；

⑵若左=g,设d=。用一24,求也｝的通项公式.

【答案】(1)100(2)%=

【解析】

【分析】(1)由等差数列定义得出｛%｝为等差数列，由已知求出公差，结合等差数列求和公式即可得解；

(2)由定义证明数列也,｝是等比数列，由此即可得解.

【小问1详解】

当左=2时，有。“+4+2=2a”+「

即氏+2—«„+1=4+1-%，所以｛4｝为等差数列，

因为。］=1,%=3,所以d=%—4=2,

所以S］o=lxlO+^^x2=lOO.

【小问2详解】

由已知，an+2=Tan+x-an,

所以％+2—2azi+i=|an+l-an=^(an+l-2an),即bn+l=^bn,

且4=%-2%=1,所以也｝是以1为首项，g为公比的等比数列，

所以“展成

16.一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位:Q)服从正态分布N(1000,52).

(1)生产正常时，从这条生产线生产电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995,1000］和

(1005,1010］内各一只的概率；(精确到0.001)

(2)根据统计学的知识，从服从正态分布N(〃,b2)的总体中抽取容量为九的样本，则这个样本的平均数

’2\

服从正态分布N〃，——•某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000,1007,

In

1012,1013,1013(单位：Q).你认为这时生产线生产正常吗？说明理由.(参考数据：若

X~N(〃,cf2),则P(〃-cr<XW/z+cr卜0.6826,P(4-2b<XW〃+2。卜0.9544,

P(〃-3cr<XW〃+3o■卜0.9974.)

【答案】(1)0.093

(2)不正常，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据正态分布性质分别求电阻阻值在(995,1000］和在(1005,1010］的概率，再结合概率公式

求结论，

(2)根据3cr原则判断即可.

【小问1详解】

电阻阻值X服从正态分布N(1000,5?).

所以〃=1000,b=5.

所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在(995,1000］和在(1005,1010］

的概率分别为

4=P(995<X<1000)=。(〃—b<X—b<X<〃+cr)m0.3413,

g=P(1005<XM1010)=P(〃+b<XVM+2b)=g(P(〃-2b<XM〃+2b)-尸(〃-b<XM〃+b))a0.1359.

因此这两只电阻的阻值在区间(995,1000］和(1005,1010］内各一只的概率

P=2A2^2x0,3413x0.1359=0.09276534工0.093；

【小问2详解】

生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N1000,1-,即N(1000,(、后)，，

记cr=6，计算可得1=1009，

而1009〉1000+3百，即无>〃+3b,

因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常.

17.已知椭圆C:g+(=1(。〉6〉0)经过点石11,浮｝P为椭圆C的右顶点，。为坐标原点，一OPE

的面积为且.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点。(—1,0)作直线/与椭圆C交于A,B,A关于原点。的对称点为C,若|54|=|5C|,求直线

AB的斜率.

【答案】（1）—+/=1；

4-

⑵±2.

【解析】

【分析】（1）由.OPE的面积为#,求出。=2,又因为石［1,曰］在椭圆C上，求解椭圆的方程即可；

（2）画图分析，因为|朋|=|5。|,。为AC的中点，所以OALO3,设出直线的方程％=冲一1,联立方

程组，利用韦达定理求解即可.

【小问1详解】

因为OPE的面积为也，

2

则有!义小且=走，解得4=2,

222

又因为E卜当］在椭圆C上，则:+）=1，解得匕=1，

所以椭圆。的标准方程为三+：/=1；

4-

【小问2详解】

如图：

因为15Al=|5C|,。为AC的中点，所以Q4_LO3,设4(%,%),5(%,%)，

设直线的方程x=/ny-1,并与椭圆的方程进行联立，可得〈,，

x=my-1

消去X得(m2+4)y2-2my-3=0,

.Im-3

则有X+%=FTP%%=FT7’

m+4m+4

因为Q4_LOB,则有。4.OB=0，则王超+%%=。，

即(4+1)%%一加(％+%)+1=0，

、-32m._

/m°+11x-------mx-------bl=O,

'7m+4m+4

1—4相之1

即.一加二o,解得加=±;,

m+42

所以直线AB的斜率为±2.

18.已知/(%)=〃，一九"(九〉0,4〉0且Qw1).

(1)当〃=e时，求证：/⑺在(e,+8)上单调递增；

-2

e、

(2)设〃>e,已知Vxw另1口凡+8,有不等式/(%)20恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)(e,e2]

【解析】

【分析】(1)/⑺在(e,+8)上单调递增，即/'(x)20在(e,+s)上恒成立，通过构造函数求最值的方法证

明.

(2)不等式/(x)»0恒成立，即皿〈生处,通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时

xa

实数。的取值范围.

【小问1详解】

当a=e时，/(x)=eA-xe,

则_e/T=e(e1—/-i),

令/'(x)>0,则上>尸,两边取对数得x—l>(e—l)lnx.

p_1e_11

设g(x)=%—1一(e—1)Inx(x>e),则g'(%)=1----->1-----=->0,

%ee

所以g(x)在(e,+8)单调递增，

所以xc(e,+oo)时g(x)>g(e)=0,即x£(e,+8)时，x-l>(e-l)lnx,

所以xe(e,+8)时eJ-'>恒成立，即(九)>0,

所以在(e,+co)上单调递增.

【小问2详解】

法一：

/(x)>0,即优两边取对数得：xlnaNalnx,即皿<@处.

xa

设立(x)=皿，则问题即为：当X2三Ina时，/z(x)<”(a)恒成立.

x2

2

只需尤2—eIna时，/i(x)x〈人(。).

21m

令〃(x)=o得％=e,

当0<x<e时，/z'(x)>0,/z(x)单调递增；当％>e时，h\x)<0,/z(x)单调递减.

又因为a〉e,则与go〉口〉e,所以x2土Ina时，久了)单调递减,

222

1e

所以x2—Ina时，h(x)max=h—Ina<h(a),

212J

e22

所以一lna>a,即lna»fa.

2e2

乙f乙

设"(%)=lnx——•x(x>e),贝！J。(%)=-----3，

e7xe

当e<x<(■时，0(x)>O,。(无)单调递增；当■时，(p{x)<0,°(x)单调递减,

e2e

所以。(％)max=。VeTn?-->lne-l=0,

I2J2e2

22

当％二e时，6?(c)—Ine—z~*e=l—>0,x->+8时，(p(心<0,

ee

'e2、

所以。(%)的图象与％轴有1个交点，设这个交点为玉Xj>—,

因为°卜2)=0,所以Xi=e?；

所以当%>e时，0(x)N0=e<x4e2,

2

即当时，不等式=•q=e<〃0e9,

e

2

所以当不等式/(x)20在光2e。(〃〉e)恒成立时，eva<e?.

即实数0的取值范围为(de?].

法二：/W>0,即优两边取对数得：xlna>«lnx,即比〈生4.

xa

设/z(x)=皿,/z'(x)=l—如X,令〃(x)=0得％=e,

XX

当X>e时，hf(x)<0,h(x)单调递减.

PP

又因为a〉e,所以—Ina"—〉e,以乃在(e,+<»)单调递减,

22

]nxInn、「2

由一<——，则〃<x在—\na^恒成立，即Jlna,

xa|_2J2

上式等价于@q22=坐，即M。)》/?(')，

aee

由/z(x)在(e,+8)单调递减，所以evaV/.

即实数0的取值范围为(e,e2].

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极(最)值问题处理.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用

技巧.

19.如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜

截圆柱图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆。的直径，AB=2BC=2,椭圆所在平面垂

直于平面A8CD,且与底面所成二面角为45°，图一中，点尸是椭圆上的动点，点尸在底面上的投影为点

图二中，椭圆上的点E&=1,2,3,,〃)在底面上的投影分别为耳，且耳均在直径A8的同一侧.

DD

图一图二

(1)当NAO6=1时，求心的长度；

(2)(i)当〃=6时，若图二中，点耳，工，…，入将半圆均分成7等份，求

(4内―2>(马耳—2).(野「2)；

(ii)证明:人耳.用耳+耳&£&+…+工t工£居+工3田。<2兀・

3

【答案】(1)-；

2

(2)(i)-；(ii)证明见解析

8

【解析】

【分析】(1)过CD中点M作与该斜截圆柱的底面平行的平面圆G",利用二面角得到以=小，在俯视

27T

图中求出〃V,即得P/,代入6=々-,即得尸<；

7T2兀3兀

(2)(i)利用(1)推出的公式尸4=2+cos9,依次代入夕=—,—,一，求得

(4片