2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第11节几何综合（含答案）

第11讲几何综合（学生版）目标层级图课前检测1．在四边形中，对角线平分．（1）如图①，当，时，求证：．（2）如图②，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（3）如图③，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．课中讲解一.中点问题例1．如图，在中，，于，是斜边的中点．若，，求的长；若，求的度数．过关检测1．如图所示，四边形由一个的与等腰拼成，为斜边的中点，求的大小．例2．已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．过关检测1．在中，，，点是上一点．（1）如图1，平分，求证：；（2）如图2，点在线段上，且，，求证：；（3）如图3，，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于，求证：．例3．阅读以下材料，完成以下两个问题．阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，．求证：平分．结合此题，，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至，使，连结．在和中，，．，．，．．．，．．平分．问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．问题2：根据上述材料，完成下列问题：已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长．

过关检测1．如图2，在中，是三角形的中线，为上一点，且，连结并延长交于点，求证：．

二.对角互补模型例4．如图，，平分．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点．（1）如图1，当与边垂直时，证明：；（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：（填，，，（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点．在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．例5．四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积．过关检测1．【感知】如图①，，平分．于点，于点，可知．（不要求证明）【拓展】在图①中，作，，分别交射线，于，两点，求证：．【应用】如图②，与均为直角三角形，平分，，两点在的异侧．已知，，，求线段的长．2．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是．例6．如图，，平分，，与射线相交于点，与直线相交于点．把绕着点旋转．（1）如图1，当点在射线上时，求证：；（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）过关检测1．如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交与点，与交于点．（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系．（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积．三.手拉手模型例7．（2018秋•双流区期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，点在线段上．（1）求的度数；（2）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，，之间关系的等式，并加以证明．过关检测1．如图，在等腰三角形中，，是内一点，，，，将绕点逆时针旋转后与重合．求：（1）线段的长；（2）的度数．例8．（2017秋•武侯区期末）如图，和都是等边三角形，连接，，．（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形．如图，若，求证：四边形是勾股四边形；（3）设，，的面积分别是，，，若，试探究与之间满足的等量关系．过关检测1．在中，，，，点是射线上的一个动点，是等边三角形，点是的中点，连接．（1）如图，点在线段上时，①求证：；②连接，设线段，，求的值；（2）当时，求的面积．四.半角模型例9．问题背景：“半角问题”（1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．（3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明）（4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．

过关检测1．（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，若．求证：（2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论．学习任务1．如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接．（1）求证：．（2）若正方形的边长为4，为的中点，求的长．2．如图，已知正方形，，点是射线上一个动点（点与点不重合），连接，，以为边在线段的右侧作正方形，连结．（1）当点在线段上时，求证：；（2）在（1）的条件下，若，求的长；3．如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论““，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．第11讲几何综合（解析版）目标层级图课前检测1．在四边形中，对角线平分．（1）如图①，当，时，求证：．（2）如图②，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（3）如图③，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．【分析】（1）由平分，，可得，又由，即可得，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可得；（2）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、，由平分，可得，又由与互补，可证得，则可得，又由，则可得线段、、有怎样的数量关系为；（3）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、，与（2）同理可得，则可得，即可求得线段、、有怎样的数量关系为．【解答】证明：（1）在四边形中，平分，，．又，．，即．（2）．证明如下：如图②，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、．平分，．，，．又，．．．为角平分线，，，，，．．（3）．证明如下：如图③，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、．平分，，，．，，．又．．．延长至，使，连接．，，．．．．．．课中讲解一.中点问题例1．如图，在中，，于，是斜边的中点．若，，求的长；若，求的度数．【分析】先利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质即可得到的长；（Ⅱ）先求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得，再求出．【解答】解：（Ⅰ）在中，，，，，是斜边的中点，；（Ⅱ），，，，，，，，．过关检测1．如图所示，四边形由一个的与等腰拼成，为斜边的中点，求的大小．【分析】首先根据是，斜边的中点，可得结论，，再根据等边对等角可得，，然后利用角的和差关系计算出的度数，再根据三角形内角和定理可得到的度数．【解答】解：点是，斜边的中点，，，，，又，．

例2．已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．【分析】（1）利用判定，从而得出．（2）利用判定，得出，又因为，所以．（3）利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：，，是等腰直角三角形．．，，且，．在和中，．；（2）证明：平分，．在和中，．．又由（1），知，；（3）证明：，垂直于，则．为中点，则（等腰三角形“三线合一”连接，则，，．又垂直，，．是直角三角形，，垂直平分，，；即，，．方法2，证明：，垂直于，则．为中点，则（等腰三角形“三线合一”连接，则，，．又垂直，．．过关检测1．在中，，，点是上一点．（1）如图1，平分，求证：；（2）如图2，点在线段上，且，，求证：；（3）如图3，，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于，求证：．【分析】（1）如图1中，作于．证明即可解决问题．（2）如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．（3）如图3中，作于．想办法证明，即可解决问题．【解答】证明：（1）如图1中，作于．，，，，，，，，，，，，，．（2）如图2中，过点作交的延长线于，连接．，，，，，，，，在中，，．（3）如图3中，作于．，，，，，，，，，，．，，，，，，．例3．阅读以下材料，完成以下两个问题．阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，．求证：平分．结合此题，，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至，使，连结．在和中，，．，．，．．．，．．平分．问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．问题2：根据上述材料，完成下列问题：已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长．【分析】问题1：延长至，使，连接，先证．得，．再证，得，则，然后由平行线的性质得，即可得出结论；问题2：延长至，使，连接，先证，得，，再证，得，进而得出答案．【解答】问题证明：延长至，使，连接，如图（2）所示：在和中，，．，．，，，，，，，平分．问题解：延长至，使，连接，如图（3）所示：是边上的中线，，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，．过关检测1．如图2，在中，是三角形的中线，为上一点，且，连结并延长交于点，求证：．【分析】延长到，使，连接，求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出，，求出，，推出，求出即可．【解答】证明：延长到，使，连接，是中线，，在和中，，，，，，，，，，．二.对角互补模型例4．如图，，平分．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点．（1）如图1，当与边垂直时，证明：；（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：（填，，，（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点．在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出四边形是矩形，得出，进而得出，判断出，即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】（1）证明：，，，是的平分线，，，，；（2）解：，理由：如图2，过点作于，于，，，，四边形是矩形，，，是的平分线，，，，，在和中，，，，故答案为：；（3）解：如图3，过点作于，于，，，，四边形是矩形，，，是的平分线，，，，，在和中，，，；例5．四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积．【分析】将绕点旋转，使与重合，到点，由条件可得出是等腰直角三角形，且可证明，可得出四边形的面积等于的面积，利用条件可求得四边形的面积．【解答】解：将绕点旋转，使与重合，到点，则有，所以、、在同一直线上，则是三角形，又因为，所以是等腰直角三角形，在和中，四边形的面积等于等腰直角三角形的面积，所以．过关检测1．【感知】如图①，，平分．于点，于点，可知．（不要求证明）【拓展】在图①中，作，，分别交射线，于，两点，求证：．【应用】如图②，与均为直角三角形，平分，，两点在的异侧．已知，，，求线段的长．【分析】拓展如图①，证明；证明；证明，得到．应用如图②，作辅助线；类比（1）中的结论得到：；结合，，得到，；运用勾股定理即可解决问题．【解答】解：【拓展】平分，，，，；，四边形为正方形，，；，；在与中，，，．【应用】如图②，过点作；，交的延长线于点；由（1）知：（设为，四边形为正方形，；而，，，，；由勾股定理得：，．2．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是1．【分析】根据题意可得：，所以，从而可求得其面积．【解答】解：如图，正方形和正方形的边长都是，，，，在和中，，，；则图中重叠部分的面积是，故答案为：1．例6．如图，，平分，，与射线相交于点，与直线相交于点．把绕着点旋转．（1）如图1，当点在射线上时，求证：；（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）作，交于，证明是等边三角形，得出，，证出，证明，得出，即可得出结论；（2）作，交于，证明是等边三角形，得出，，证出，证明，得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：作，交于，如图1所示：，平分，，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：作，交于，如图2所示：，平分，，，，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，；故答案为：过关检测1．如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交与点，与交于点．（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系．（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积．【分析】（1）根据角平分线定义得到，推出是等边三角形，得到；（2）过点作，，根据角平分线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1），平分，，，，是等边三角形，；（2）过点作，，平分，，，，，，，在与中，，，，，，平分，，，，，四边形的面积．三.手拉手模型例7．（2018秋•双流区期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，点在线段上．（1）求的度数；（2）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，，之间关系的等式，并加以证明．【分析】（1）只要证明，推出即可解决问题；（2）存在，；在中，利用勾股定理证明即可．【解答】解：（1）是等腰直角三角形，，，，同理可得：，，，，在与中，，，，，．（2）．证明如下：是等腰直角三角形，，，，，，故．过关检测1．如图，在等腰三角形中，，是内一点，，，，将绕点逆时针旋转后与重合．求：（1）线段的长；（2）的度数．【分析】（1）由旋转的性质可知为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得的长；（2）为等腰直角三角形，故此，在中，，，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，从而可求得．【解答】解：（1）绕点旋转与重合，．在中，由勾股定理得：．（2），，．绕点旋转与重合，．在中，，，，．．．．例8．（2017秋•武侯区期末）如图，和都是等边三角形，连接，，．（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形．如图，若，求证：四边形是勾股四边形；（3）设，，的面积分别是，，，若，试探究与之间满足的等量关系．【分析】（1）由“”可证，可得；（2）由题意可得，由勾股定理可求，可证四边形是勾股四边形；（3）由等边三角形的面积公式可求，，由直角三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1），理由如下：和都是等边三角形，，，，，且，，，（2），，，，四边形是勾股四边形；（3）和都是等边三角形，，，，，过关检测1．在中，，，，点是射线上的一个动点，是等边三角形，点是的中点，连接．（1）如图，点在线段上时，①求证：；②连接，设线段，，求的值；（2）当时，求的面积．【分析】（1）①在直角三角形中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再由为中点，得到，确定出三角形为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，砸由，利用即可得证；②由全等三角形对应角相等得到为直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出关于的函数解析式及定义域；（2）分两种情况考虑：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时，分别求出三角形面积即可．【解答】（1）①证明：在中，，，，，点是的中点，，，是等边三角形，，，，即，，在和中，；②，，，又点是的中点，，在中，勾股定理可得：，（2）①当点在线段上时，由，可得，是等腰直角三角形，，的面积为；②当点在线段的延长线上时，由，可得，，在中，勾股定理可得，的面积为50，综上所述，的面积为或50．四.半角模型例9．问题背景：“半角问题”（1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．（3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明）（4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．【分析】（1）延长到点．使．连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（2）如图1，延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（3）如图2，同理可得：；（4）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：．【解答】证明：（1）延长到点．使．连结，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，；故答案为：；（2）如图1，延长到，使，连接．在与中，，．，，．．又，易证．．．（3）（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接．，，，在与中，，．，，．．又，．．．（4）结论不成立，应当是．证明：在上截取，使，连接．，，．在与中，，．，．．．，易证．．过关检测1．（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，若．求证：（2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）延长至，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么．【解答】证明：（1）延长至，使得，连接，，，在与中，，，，，在与中，，，，即；（2）线段、、之间的数量关系是，在上截取，连接，，，，，在与中，，，，，，在与中，，，即，即．学习任务1．如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接．（1）求证：．（2）若正方形的边长为4，为的中点，求的长．【分析】（1）证即可得；（2）作，由正方形的边长为4且为的中点知、，再根据勾股定理得，由直角三角形性质知．【解答】解：（1）四边形是正方形，，，，，，，，，；（2）如图，过点作于点，正方形的边长为4，，为的中点，，则，．2．如图，已知正方形，，点是射线上一个动点（点与点不重合），连接，，以为边在线段的右侧作正方形，连结．（1）当点在线段上时，求证：；（2）在（1）的条件下，若，求的长；【分析】（1）由正方形的性质得出，，，，易证，由证得；（2）由，得出，，由勾股定理得出，即可得出结果；【解答】（1）证明：四边形和四边形都是正方形，，，，，即，在和中，，；（2）解：，，四边形正方形，，，，，；3．如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论““，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可；（2）把绕点逆时针旋转到，交于点，证明即可求得．（3）如图3中，在上取一点，使得，证明，推出，，证明，推出，设，则，，在中，根据，构建方程求出即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，由旋转可得，，，四边形为正方形，，，，，在和中，，，，，．（2）解：结论：，理由：如图2中，把绕点逆时针旋转到，交于点，同（1）可证得，，且，．（3）解：如图3中，在上取一点，使得，，，，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，，，．多余试题1．如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是①③⑤．【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明；②由①可得，故不垂直于过点作延长线于，由①得所以，所以是等腰△，故到直线距离为，故②是错误的；③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；④由，可知，然后利用已知条件计算即可判定；⑤连接，根据三角形的面积公式得到，所以，由此即可判定．【解答】解：由边角边定