五升六暑期奥数培优讲义-6-14-不定方程4-讲义-教师

第14讲不定方程【学习目标】1、熟悉不定方程的概念；2、掌握不定方程的常用解法；3、会解不定方程应用题。【知识梳理】未知数的个数多于方程的个数的方程(或方程组)就叫做不定方程(或方程组)。不定方程(组)，就是方程(组)的解不确定，有的方程(组)有无数多组解，有的方程(组)没有解，有的方程(组)有有限组解。我们经常关心这类方程(组)的整数解，正整数解或有理数解。【典例精析】【例1】正整数x，y满足6x+7y=2012．设x+y的最小值为p，最大值为q，则p+q=____．解：6x+7y=2012，

方程可以变形为：，

所以x+y=+y=，

由上述算式可知，y取最大值时，x+y值最小；y取最小值时，x+y值最大；

因为x、y都是正整数，所以2012﹣7y≥6，所以可得：y≤286，经过计算验证可得y最大是284，最小是2，

所以p==288，q==335，

所以p+q=288+335=623，

【趁热打铁-1】不定方程2x+3y+7z=23的自然数解是____．【例2】写出满足的两组数。【趁热打铁-2】若图形表示自然数且+++=1，那么△+□+○=14。△=9，□=3，○=2【例3】已知△和☆分别表示两个自然数，并且，△+☆=__5__．△=2，☆=3【趁热打铁-3】若x，y是正整数，且，则x+y=____．解：因为，，所以，则，4x+y=xy，即y=，则，0＜x﹣1≤5，且x≠1，x，y都不为0，则，根据x，y是正整数，可得：，，所以，x+y=2+8=10，或x+y=3+6=9，或x+y=5+5=10．故答案为：10或9．【例4】已知x，y满足x+[y]=2009，{x}+y=20.09；其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示x的小数部分，即{x}=x﹣[x]，那么x=____．根据题意，[y]是整数，所以x=2009﹣[y]也是整数，即[x]=x，那么{x}=x﹣[x]=0，由此可得y=20.09﹣{x}=20.09﹣0=20.09，所以[y]=20，x=2009﹣[y]=2009﹣20=1989．

故答案为1989．【趁热打铁-4】解方程：[x]×{x}+x=2{x}+9，其中[x]表示如x的整数部分，{x}表示x的小数部分．如[3.14]=3，{3.14}=0.14．（要求写出所有的解）解：根据分析，设x的整数部分为a，a≥1；x的小数部分为b，0≤b＜1，依题意：ab+a+b=2b+9，

整理得：（a﹣1）（b+1）=8，∵1≤b+1＜2，∴4＜a﹣1≤8，且a﹣1为整数．

①当a﹣1=8，即a=9，b=0，x=9；

②当a﹣1=7，a=8，b=，x=；

③当a﹣1=6，即a=7，b=，x=；

④当a﹣1=5，即a=6，b=，x=．

综上，方程的解为：x=9；x=；x=；x=。

【例5】将某同学生日的月份数与31的乘积、日数与12的乘积相加，得到和为376．问这位同学的生日是几月几号．解：假设某同学的生日是X月Y日，根据题意有方程31X+12Y=376，即31X=376﹣12Y（其中X、Y都是正整数，X是1～12，Y是1～31）由于方程右边能被4整除，所以左边也应能被4整除，由于4与31互质，所以X必能被4整除，X只能为4，8，12之一，检验知，只有X=4满足，这时Y=21，所以，该同学的生日是4月21日．答：这位同学的生日是4月21日．【趁热打铁-5】多思超市销售的巧克力有每包5粒装与每包7粒装两种．小美共买了71粒巧克力，且她购买7粒装的包数比5粒装的包数多．她共买了多少包巧克力？假设买了包5粒装的，b包7粒装的，则5a+7b=71当a=3时，b=8当a=10时，b=3因为买7粒装的包数比5粒装的包数多所以买了3包5粒装的和8包7粒装的3+8=11（包）【例6】在上升的电梯中称体重，体重器显示出体重数值比实际体重增加；在下降的电梯中称体重，体重器显示出体重数值比实际体重减少．如果电梯上升的瞬间小明的体重与在电梯下降瞬间小刚的体重相同，并且他们的实际体重都是小于50千克的整数．那么，小明与小刚的实际体重一共是____千克．设小刚体重x千克，小强y千克，根据题意可得方程：，

方程变形为：，

因为x、y都是整数，且0﹣50之间能被49整除的数只有49，

当y=49时，x=36，

49+36=85（千克）

【趁热打铁-6】箱子里装有若干个相同数量的黑球和白球，现往箱子里再放入14个球（只有黑球和白球），这时黑球数量占球的总数的，那么现在箱子里有______个白球．解：设一开始有x个白球，也就是黑球也有x个，后面放进去的白球有y个，则黑球有14﹣y个，由题意：

（14﹣y+x）÷（2x+14）=，4x=6y﹣70；

显然，y的取值是从0一直取到14，但由于x必须大于0，故而必须有：

6y﹣70≥0，y≥11.7，

即y的取值是12，13，14；

当y=12时，x=0.5

当y=13时，x=2

当y=14时，x=3.5

必须为正整数，故，y为13，x为2；现在箱子里有白球：2+13=15（个）．【例7】某地实行阶梯水价，且每个月都按整数吨收费；每月不超过20吨，每吨1.8元；20吨以上，但不超过30吨的部分每吨2.4元；30吨以上的部分每吨3元．某户三、四两个月的水费合计117元，且三月份比四月份用水不超过10吨．该户三月份用水多少吨？四月份用水多少吨？解：设三月份用水x吨，四月份用水y吨，

①都不超过30吨；根据题意得：20×1.8×2+（x+y﹣40）×2.4=117

整理得：x+y=58.75，

因为每个月都按整数吨收费，所以假设不成立．

②假设四月份不超过30吨；根据题意得：

20×1.8×2+10×2.4+3（x﹣30）+2.4（y﹣20）=117，整理得：3x+2.4y=159，

因为每个月都按整数吨收费，所以只有x=33，y=25时，方程才成立．

答：该户三月份用水33吨，四月份用水25吨．【趁热打铁-7】某地按下列规定收取电费，如果每月用电不超过24度，就按每度电9角钱收取；如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中甲家比乙家多交的电费9元6角（电的度数取整数），甲乙两家各交多少电费？解：因为最终甲户比乙户多交电费9角6分，而用电度数按整数计算，9.6不能被0.9和2.0整除，所以甲必超过24度，乙不到24度，设甲用电（24+x)度，乙用电（24-y)度2x+0.9y=9.6(x,y必须是整数）只有x=3时y=4符合要求，所以：甲27度27.6元，乙20度18元，【例8】一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个。解：设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，乙个蓝球。依题意列得方程组：①×3-②得2x+y=9,即y=9-2x.由于y是非负整数，x也是非负整数。易知x的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球。故答案为：4.【趁热打铁-8】今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场）,计分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，所踢平场数是所踢负场数的整数倍，则小虎足球队负场数的情况有种。解：假设小虎队胜了x场，平了y场，负了z场，则依据题意可得解得：，因为k取正整数，所以当k=1时，z=7;当k=2时，z=5;当k=16时，z=1。综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种。【过关精炼】1、n名棋手进行单循环比赛，即任两名棋手间都比赛一场．胜者得两分，平局各得一分，负者没分．比赛完毕后，前四名各得8、7、5、4分，n=____．解：总场数为：场，总得分为：n（n﹣1），n（n﹣1）≤8+7+5+4+4（n﹣4）n²﹣5n﹣8≤0n≥4，4≤n≤6n=4，总分4×3=12分，与已知不符；n=5，总分5×4=20分，也与已知不符；n=6，总分6×5=30分，符合题意；因此n=6；2、李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？①李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x，王家的牛群中仅有是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程：100x+13y=521．…（1）

②x和y是整数，分别取x=1，2，3，4，5．可以得到x=3，y=17．

或者解同余方程（1）．

（1）式两边除13，

﹣4x=1，Mod（13）．…（2）

x=3是（2）式的解，得到y=17．

答：李家和王家各养了300头和221头牛．3、有若干张面值分别为0.5元、0.8元和1.2元的邮票，面值共60元，其中面值为0.8元的邮票张数是面值为0.5元邮票张数的4倍，那么，面值为1.2元的邮票有____张．解：设可设面值为0.5元的邮票为x张，则面值为0.8元的邮票就有4x张，再设面值为1.2元的邮票有y张，根