直线与直线平行 教学设计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计

课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题8.5.1直线与直线平行教学目标1.类比平面内平行线传递性，通过对典型实例的直观感知和实验操作，归纳得出基本事实4，并会用其解决两直线平行问题，初步发展直观想象和数学抽象素养.2.类比平面几何中的“等角定理”，发现并证明空间中的“等角定理”，在此过程中进一步提升直观想象和逻辑推理素养.教学内容教学重点：基本事实4和“等角定理”.

教学难点：空间“等角定理”的证明.教学过程整体概览引言：在平面几何中，我们重点研究过两条直线平行，得到了两条直线平行的判定定理和性质定理.类似的，空间中直线、平面间的平行关系也是我们立体几何中的重点研究内容.我们前面学过得平行关系有：直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行.由基本事实2可知，两条平行直线必然在同一平面内，因此，平面几何中直线与直线平行的判定和性质在空间中仍然适用，本小节主要研究一些在平面几何中成立的有关平行线的结论在空间的推广，主要是平行线的传递性和等角定理.设计意图：在教师的引导下回顾初中平面几何中两条直线位置关系的学习内容，通过类比平面几何的研究，得到本节的研究内容.二、新知探究1.基本事实4的探究（平行线的传递性）问题1：在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行．那么在空间中，是否也有类似的结论呢？图1下面我们观察几个实例.图1实例1：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB，则DC与A1B1平行吗？图2预设学生回答：平行图2实例2：再观察教室如图2，黑板边所在的直线AA′和门框所在的直线CC′都平行于墙与墙的交线BB′，则CC′与AA′平行吗？预设学生回答：平行在实际生活中这样的例子还有很多，例如：把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行；将一本书打开，书脊所在的直线与书各页的另一边都平行等等.这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.基本事实4文字表示：平行于同一直线的两条直线平行.acacb符号表示：a//b,b//c,则a//c作用：判断空间两条直线的平行.设计意图：类比平面中平行线传递性的性质，自然地联想到空间中平行线是否有类似的性质．结合大量实例，通过直观感知和操作确认，感知结论的正确性，归纳得到基本事实4，并会用图形语言和符号语言表示.图32.基本事实4的应用图3例1如图3，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．追问1：如何证明一个四边形是平行四边形？预设学生回答：证明它的一组对边平行且相等，或者证明其两组对边分别平行．追问2：看到条件中的中点你能想到怎样的平行关系？预设学生回答：三角形的中位线，它平行且等于底边的一半．追问3：根据中位线的知识可得：,，由此可证，你的理论依据是什么？预设学生回答：由基本事实4可得.证明：连接BD.∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,且EH=12BD同理FG//BD,且FG=12BD∴.∴四边形EFGH为平行四边形.追问4：如果题目再增加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？预设学生回答：菱形.设计意图：基本事实4的简单应用，体会平行线的传递性．3.探究并证明“等角定理”图4问题2：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？图4实例3：如图4，已知E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则AA1与CC1，ED1与BF有怎样的位置关系？预设学生回答：依据基本事实4，可知AA1//CC1，ED1//BF追问：∠D1EA1与∠BFC,∠D1EA与∠BFC的大小有何关系？预设学生回答：∠D1EA1=∠BFC，∠D1EA+∠BFC=π.大家回答的都很正确，下面通过一个动画演示再来感受一下这个结论.实例4（1）如图5在∠BAC和∠B1A1C1中，AB//A1B1，AC//A1C1,则∠BAC与∠B1A1C1有怎样的大小关系？（2）如图5在∠BAC和∠B1A1C1中，AB//A1B1，AC//A1C1,则∠BAD与∠B1A1C1有怎样的大小关系？图5预设学生回答：∠BAC=∠B1A1C1，∠BAD+∠B1A1C1=π图5设计意图：在定理给出之前，先在正方体模型中给出一个实例，让学生直观感知等角定理的结论在空间中依然成立，然后再通过PPT动画演示再次感知结论的正确性.问题3：通过上述特例，我们发现在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．你能严格地证明该结论吗？图6与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图6所示的两种位置关系.下面我们对图5（1）的情形进行证明.图6追问1：回顾初中证明两个角相等的常用方法都有哪些？预设学生回答：全等三角形对应角相等，对顶角相等，内错角相等等.追问2：两个三角形全等的判定定理有哪些？预设学生回答：SAS,ASA,SSS,AAS.追问3：因为条件给出的是角，没有三角形，所以我们先要从角中构造出全等三角形，再根据全等三角形的对应角相等来进行证明，结合三角形全等的判定定理，如何在图（1）中构造出两个全等的三角形？预设学生回答：结合追问（2）中的三角形全等的判定定理，可以知道只要含角的定理都无法使用，只能通过SSS进行证明，所以在两个角的两边分别截取长度相等的两组对应边，再证明第三组对边相等即可.设计意图：该定理的证明需构造两个全等的三角形，学生不易想到．教师通过引导学生回顾初中时证明两个角相等的常用方法，引出证通过证明三角形全等得到角相等的思路．图6证明：如图6，分别在∠BAC和∠B′A′C′的两边上截取AD,AE和A′D′,A′E′，使得AD=A′D′,AE=A′E′.连接AA′,DD′,EE′,DE,D′E′.图6∵，∴四边形ADD′A′是平行四边形.∴.同理可证.∴.∴四边形DD′E′E是平行四边形.∴DE=D′E′.∴△ADE≌△A′D′E′.∴∠BAC=∠B′A′C′.对于图5（2）的情形，请同学们自己给出证明.等角定理文字表示：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.图形表示：符号表示：在∠CAB和∠C′A′B′中，AB//AB,AC//AC,则∠CAB=∠C′A′B′或∠CAB+∠C′A′B′=π设计意图：用三种语言分别叙述等角定理，学会用图形语言和数学语言表达数学定理.图74.“等角定理”的应用图7例2如图7，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：∠DNM＝∠D1A1C1.追问1：如何证明两个角相等？预设学生回答：根据等角定理只需证明角的两边对应平行.图8追问：如何证明NM//A1C1？图8预设学生回答：NM//AC，AC//A1C1.证明：如图8，连接AC.在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，∴MN∥AC，由正方体的性质，得AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．又易知∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.设计意图：基本事实4和“等角定理”的简单应用，加深对定理的理解.问题4：基本事实4（平行线的传递性）和“等角定理”都是由平面图形推广到立体图形得到的．是不是所有关于平面图形的结论都可以推广到空间呢？若不能，请举例说明之．图1反例：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AA1⊥AB，但AA1⊥AD图1因此，平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中不再成立.设计意图：让学生明白，并非所有关于平面图形的结论都可以推广到立体图形，若要把关于平面图形的结论推广到立体图形，必须经过证明.三、课堂小结问题5：回顾本节课学习，