福建省三明市2024届高三年级下册5月三模试题 数学 含答案

三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测

数学试题

（本试卷总分150分，考试时间120分钟。）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知直线y=-x+2与圆x2+y7=4相交于M,N两点，则|MN|=

A.V2B.2C.2V2D.4

2.已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，a=3,b=V37,c=7,则A+C的值为

A.-B.-C.—D.—

6336

3.随机变量a~N（P,。2）,函数f（x）=x2—4x+a没有零点的概率是右则口的值为

A.1B.2C.3D.4"

22

4•若a=（-|丁，b=（-|）\c=log||,则

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

5.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何

进制数均可转换为十进制数，如八进制数（3750）8转换为十进制数的算法为3x83+7x82+5

X81+0x8°=2024.若将八进制数落转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是

A.3B.4C.5D.6

6.函数f（x）=sin（wx+巾）（3>0,0<巾<n）的部分图象如图所示，其中A,B两点为图象与x

轴的交点，C为图象的最高点，且4ABC是等腰直角三角形，若

OB=-3OA,则向量而在向量近上的投影向量的坐标为

7.已知抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F,第一象限的两点A,B在抛物线上，且满足|AF|-1BF|=3,

|AB|=3四若线段AB中点的横坐标为3,则p的值为

A.2B.3C.4D.5

8.已知函数f（x）-ex~1—e1x+x3-3x2+3x,若实数x,y满足f（3x?）+f（2y2—4）=2,

则x+y的最大值为

A.1B.—C.V5

2D耳

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.i是虚数单位，下列说法正确的是

A.i2024=-l

B.若3=_1_曰i,则G）=3

C若|z|二l,zee,则|z-2|的最小值为1

D.若-4+3i是关于x的方程x?+px+q=0(p，q6R)的根,则q=7

10.假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙

袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是

A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为£

B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为以

C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为三”

D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为募

H.在棱长为2的正方体ABCD-AiBigDi中，E,F,G分别为AB,BC,gD1的中点，则下列说法正

确的是_

A.若点P在正方体的表面上，且瓦•闲=0,则点P的轨迹长度为24n

B.若三棱锥F-C1CE的所有顶点都在球0的表面上，则球0的表面积为14TT

C.过点E,F,D1的平面截正方体ABCD—AiBigDi所得截面多边形的周长为四+2代

D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最

小值为32

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知从小到大排列的一组数据：1,5,a,10,11,13,15,21,42,57,若这组数据的极差是其

第30百分位数的7倍，则a的值为.

13.已知关于x的不等式(x—kex)归一(k+3)x+9]W0对任意xC(0,+8)均成立，则实数k的

取值范围为.

14.记N；n={l，2,3,…，m}(mCN*),Ak表示k个元素的有限集，S(E)表示非空数集E中所有元素的

和，若集合Mmk={S(Ak)|AkGN,},则M43=，若S(Mm2)、817,则m的最小值为.

四,解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)如图，多面体PABCD中，aPB。和ACBD均为等边三角形，平面ABD,平面PBD,BD=2,PC

V3.

(1)求证：BD±PC；

(2)求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.

16.(15分)已知函数f(x)=sin«x+cos(ax+看)(其中«>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为

(1)若f(x)在(0,m)上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；

(2)将函数f(x)的图象向右平移g个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍

(纵坐标不变)，得到g(X)的图象，设"(x)=g(x)+[x,求h(z)在(一2n,:n)的极大值点.

17.(15分)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛,

现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占;，园艺类占;民族工艺类占;•根据以往

442

答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为看《持选手乙答对这三类题

目的概率均为去

(1)求随机任选1题，甲答对的概率；

(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，

比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若

两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影

响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.

,口2+a

18.(17分)已知数列｛a匚1｝满足a1.a2…a°_i・a；,=(/),nGN*.

(1)求数列｛am｝的通项公式；

⑵设数列山，的前n项和为SD,若不等式(一1)3—14wSn2对任意的nCN*恒成立，求

实数t的取值范围；

(3)记4=1-,求证：喑+陪+…+与警i<&(nCN*).

bb

log2anViV2Jba

19.(17分)已知平面直角坐标系xoy中，有真命题：函数y=mx+1(m>0,n

>0)的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y=mx和y轴.例如双曲线y=(的

渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点0顺时针旋转；得到双曲线x2

4

-y2=8的图象.

(1)求双曲线y=工的离心率：

X

(2)已知曲线E:x2-y2=2,过E上一点P作切线分别交两条渐近线于A,

B两点，试探究AAOB面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明

理由；

(3)已知函数丫=去+兴的图象为「，直线l:x+gy—3=0,过F

(1，旧)的直线与「在第一象限交于M,N两点，过此N作1的垂线，垂足分别为

C,D,直线MD,NC交于点H,求^MNH面积的最小值.

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数学参考答案及评分细则

评分说明：

I.本解答给出了一种或几种好注供萼苦,如果考生的解法。本解衿不同,可根据试圆的主婺有点内

容比照评分标准制定相应的评分细则.

2,对计算双，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后维部分的解答未&变谟鹿的内客和雄度，

可视密响的程度决定不婚加分的给分.但不得印过禹部分止确解答应给分散的T；如果后*部分的解答

有我再也的错误.较不再给分.

3.解答右端所注分数，衣示考生正确做到这步应用的累加分散.

4,只给整数分数,选择题和堵空8B不给中间分.

一、选择施：本大题考查基础知识和基本运算.期小题5分，满分40分.

1.C2.C3.D4.A5.A6.B7.B8,C

二、选择啊：本大题甘杳曜础知识和施本运算.斑小胭6分，满分18分.全部选对的得6分,

部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9.BC10.ACDII.BCD

三、填空题：本大两芍百基础知识和基本运算.每小题5分，满分15分.

12.613.[gj]14.16.7.&9}.21（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本人腮共5小题.共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演口步骤.

15.解法・：（1）证明：取8。的中点M,连接PW、MC,..............1分

V4BPD和4BCD均为等边三角形，

:・BDLPM，BDLCM..........................................2分

又P.MflCM=M,

二助,平面aw,...............................................3分

又YCFU平面CPM.

：,BD1CP.......................................................4分

（2）以M为原点，标，床所在直城为轴，过M作平面8C。的垂线所在宜

线为z轴，如图所示建立空间直角坐标系，.............................5分

•・•平面/MJ.平面「80.平面平面PW）=8D，PMu平面PBD,PM1BD

：.PMJ.平面480.

*

•；APBD和ACBD均为等边三角形.’/

:・PM=MC=PC=6ZPA/C=60°,

%I贞恭”或

.•.pjo#]}C(0.V3.0).fi(1.O,O)................................................................6分

....=卜W，Sc=(-1,73,0).加=(吟g)

设平面PBC的法向ft为m=(x,y\:)

■Ji3.

而=0.-X+——F4--Z=0,

_即2'2

mBC=0

-x+=0

取j=1.则m=(3,6」)，8分

平面.4皿的法向妣W*：10分

设平面与平面/$<:的夹角为0,

12分

.••平面/与平面P6C夹角的余弦值为我........................13分

13

解法二：<1）同解法一................................................4分

（2）如图，取A/C的中点E为原点，连接尸£,过煎E作EF”MB,交BC千点、F,

11］（I）知CM±BD,EF1WC,

又由（I）知8£）_L平面CPW.又：P£u平面CPM.・••附J.P£.

V△PRD和4CBD均为等边三角形且校长为2,

:・PM=MC=PC=6，,PE工MC,

**-----*

BDC\MC=MPE±平而C6Q»'r——«・

•,以£为原点.前.或.乔所在直线为轴.•I

■

建立空间直角坐标系，如图所示.......................................5分

,:平面ABD1平面PBD.平面ABDf\平面PRD=RD，PMu平面PBD.PM1BD

：.PM1平面ABD.

第2贞共II贞

.,.平面」8。的法向贵丽当g）..............................7分

.•.《oa；｝C„oj.8（1邛可............................8分

设平面PBC的法向址为m=（冗,%二），

|mCP=Ox3"O

一，即•83，取：=1,则m=3,有」,10分

mCB=O一$一J=o

〔2.2

设平面ABD与平面PBC的夹角为6,

皿"=.（诬"*）卜标*扁|=鲁

平面/双）、平面P8C夹角的余弦值为号.

13分

I'''

=sin(t)x+cos(0!>.r+*)=^-sina)x+geos<y.r=sin(/y.v+y)

（1）由膻意/（X）

.................................................................2分

因为/（X）图象的两条相邻对称轴间的距离为：，

所以冏期7=胃=2弓，故3=2,所以/（X）=S"2X+T）,............4分

当xe（O.M）时,2x+yeIj,2m+jj,.............................5分

因为〃x）在区间（0,m）上育最大值无最小伯，所以;<2"+；£半，.....6分

解得所以M的取值范围为（卷，3]......................7分

第3贞票“或

(2)将函数/(x)图象向右平移：个单位长慢.

6

斛到iin[2(WusinZir的图象.............................8分

63_

再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，

得到氟.0=sinx的图象............................................9分

所以函数/r(x)=1x+sinx,所以〃(x)=：+cosx,...........................................10分

22

令“6=0得cosx=-1.

因为xw(-2*M,

所以当-—争忖,俏外>0,如0单调递增,..................II分

当xe(号尸争时.Af(x)<0,机外单调递减.....................12分

当xw(4,争时，r«>o,M幻单调递叫......................”分

当xe(与⑶时,nt)<0,加外单调递减............................14分

所以函数Mx)的极大值点为一9和三..............................15分

解法二：(1)同解法一..............................................7分

(2)将函数/(X)图望向右平移£个单位长度，

得到p=sin[20r-.).W]=sinZir的图象，............................8分

再将图象上所有点的横坐标变为板来的2倍(纵坐标不变)，

得到爪x)・§inx的图象，...........................................9分

:ft4贞共“贝

所以函数机x)=(x+sin-所以相....................10分

令h\x):0得cosx=一：，

当-与+2人笊<工<与♦然见时，俏外>0,加x)单调递增，

因为KW(-2JT,/T)

所以*=T时.-2<<*v-,.加工)单调递增......................II分

A=1时.-与<x<与％(外单调递增...............................12分

当与+24*<x<与+2A/T时，/?r(x)<0,加工)单调递减，

因为、€(-2★.此

*=0时,y<x<ff.就外单调递减,..............................13分

%=一|时.彗Vxv-容〃(外单调递减，........................14分

所以函数抑外的极大值点为-午和方...............................”分

解法三：(1)同解法一.............................................7分

(2)将函数/(力图坡向右平移£个单位长度.

得到p=sin[：(x-.)+g]=sin2x的图象，............................8分

再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，

得到g(x),sinx的图象，...........................................9分

所以函数加x)=：x+sinAT,所以相X>=2+85X..........................................10分

22

第3页共n贞

令A'(x)=O得COSX=_：

因为，6（-2万."），所以的变化情况如下:

（-2不•一与）4<（一竺一玛2"27

X

~T（3，3）"T（一7.石）T

1)+0-0*0-

极大极小极大

力（外单调递ifl单调递诚单调递增单调递减

值值III

14分

所以函数Mx）的极大值点为和................................15分

17.解；（D记曲机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件4（，=123）,

记防机任选1髓，甲答对为事件B,..............................I分

则/>（8）=£尸（4）N8|4）=P（4）H8|4）+P（4）P（8|4）+PG%）P（B|4）

i-|

.................................................................2分

1212143.八

=-x-+-x-+-x-=-,...........................................4分

4545255

所以随机任选1即，甲答对的概率为.............................5分

<2）乙答对记为事件C,则

HG="4）F（C|4）+尸⑷HC⑷+N4）HC[4）=m[+!*!=：

4242222

......................................................................7分

设每一轮比赛中甲得分为*.

则P(X=I)=尸=P⑻尸©=冲一扑得，......................8分

P(X=0)=P(j?CU5C)=P(fiC)+P(SC)=^xi4^l-|jx^-lj=l,.....9分

W6负能II91

...............10分

三轮比赛后，设甲总得分为八

则汽『)=㈢；与，..........

..............................................................11分

U0)1000

n，-2)-C)(w)X2-2O5,

..............................................................12分

p(r=i)=c；xlx(lpc；x(lpl=279.................................

.............13分

1000，

所以甲最终获得奖M的概率为

27279441

p=p(x=3)/>(r=2)+p(r=i)=—+...............15分

+1()(X1200~000-15)0'

18.(1)因为％5诉①

所以当②..............................1分

由:;得町-2*...................................................................................................................2分

因为〃=1时也符合上式........................................3分

所以数列卜」是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以q=2二和wN1..............................................................................................................4：:

(2)由⑴知，S=2。.2.)=犷2,.................................................................$分

"1-2

因为不等式(T)••第744s;对任意的”、•恒成立，又Z＞。且其单调递增，

..............................................................................................................................................6分

所以(-1广对任意的“w”恒成立.............................7分

因为E=z$・6,5户4.昂=30,.............................................................................8分

所以当”为偶数时，原式化简为，MS.+蔡对任意的".N•恒成立，即'4&+器)

因为其=6＞拒，所以当"=2时，rsg..............................................................10分

W7页饨II货

当”为奇数时.原式化府为TMS.+?对任意的“eN♦怛成立.即-12+/

因为*=2＜拒＜S,=I4,所以当ir=l时，T49,所以IN-912分

综上可知，-9S»Sy...........................................................13分

（3）因为..........................14分

所以也｝是单调递战数列，

所以历〈正...................................................15分

所以=2/-后）

＜2x^1=72

原不等式得证.....................................................”分

」

19.解法•：《1）由题意可知双曲线丁=’的文轴为》=工，联立'=，，

x

[*=1ff=-11

解得।或「即双曲线＞=工的两顶点为（UM-L-D.

l.v=lU,=-lx

故实轴长2="+1『+（1+1/=20,即a匚/7..........................................2分

函数1•=’的图象绕原点。顺时计旋转工后渐近线为N=±x,......................3分

x4

所以a=/＞=J^\c=2・所以，双曲线p=—的离心率©=J5"......................4分

（2）由（1）知函数v=1的图软绕原点。顺时针旋分三得到双曲线/-/=2的图象,

x4

所以,双曲线八小2的图象绕原点。逆时针旋转件到函数,W的图却

........................................................................................................................5分

弟*贞恭“或

其渐近线分别为X轴和］'轴.此时设P'（飞，,），

公

因为＞'T•.........................................................................................6分

V

所以户处切线斜率*=-2.严处切线方程为y-」=-±（x-A）...........7分

匕&v

过。作切线分别交两条渐近战于十佃2）•“（2x”0）.........................................8分

拓

所以S”=扪4|网=；目冈=2.

所以&＜。夕的面极为定值2,即乂。8的面枳为定值2...................................9分

（3）依题意知，函数丫=3工+3的两条渐近线分别为\，=亘'和FMb

32x3

则实轴为j，=6t

］尸包+立卜邛广

由.32x,联立解得，；，所以双曲魂实半轴氏a=JL

|y=6丫V=2

将函数的图软绕原点。顺时叶旋转［得到曲线「的方程为（-1=］,

32K33

...........................................................................................................................10分

将F（I,V3），直线/：x♦立］＞一3=0绕原点。顺时针旋轧y得到

尸（工0）,直线/*U==.....................................................................................11分

2

则过H2.0）直线交曲线「，右支于M\Nf两点.

设V区,内），则「4,卬，

因为出线斜率不为0,所以设直线MN方程为x=外，+2,

x=/ny+2,

X2,得加：-3）,尸+4朗y+1=0,

IT-/=,

第9贞轶II贞

-4/n

m2-3*0,…=R

且12分

A>0

3R

因为K%<0»所以M＜3，13分

因为一

T.所以MU方程为

2

令2/1""23二FM-公