北京市密云县市级2024届中考一模数学试题含解析

北京市密云县市级名校2024年中考一模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，等腰直角三角板A5C的斜边与量角器的直径重合，点。是量角器上60。刻度线的外端点，连接CD交

AB于点E,则NCE3的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

2.等腰三角形一边长等于5,一边长等于10,它的周长是()

A.20B.25C.20或25D.15

3.已知正比例函数丁="（4工0）的图象经过点（1,-3）,则此正比例函数的关系式为（）.

1

A.y=-3xB.y=3xC.y=-xD.y=——x

33

4.下列运算正确的是（）

,1

A.a*a2=a2B.（ab）2=abC.3D.#+小=M

3

5.如图，ABLCD,且AB=CD.E、尸是AD上两点,CE_LAD,BF±AD.若CE=a,BF=b,EF=c，

则AO的长为（）

A.a+cB.b+cC.a—b+cD.a+b-c

6.g的值是()

A.1B.-1C.3D.-3

7.小明要去超市买甲、乙两种糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲种糖果的单价为a元/千克，乙种糖果的单

价为6元/千克，且。>瓦根据需要小明列出以下三种混合方案：（单位：千克）

甲种糖果乙种糖果混合糖果

方案1235

方案2325

方案32.52.55

则最省钱的方案为（）

A.方案1B.方案2

C.方案3D.三个方案费用相同

2x-l<3

8.不等式组尤11的解集在数轴上表示正确的是（）

D.—A-----i-b

-2-1012

9.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤,

这些粮食可供9万人吃一年.“32400000”这个数据用科学记数法表示为（）

A.324xlO5B.32.4xlO6C.3.24xl07D.0.32xl08.

10.二次函数y=ax2+bx+c（a^O）的部分图象如图，图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>

3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-l时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.小红沿坡比为1：G的斜坡上走了100米，则她实际上升了米.

B

12.用科学计数器计算：2xsinl50xcosl5*（结果精确到0.01）.

13.A,B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快

15千米/小时,且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x千米/小时,则根据题意,可列方程.

3%-2>%

14.不等式组1_的解是.

—x<3

12

15.如图，在RtAABC中，AB=AC,D、E是斜边BC上的两点，且NDAE=45。，将△ADC绕点A顺时针旋转90。

后，得到AAFB,连接EF,下列结论：①NEAF=45。；©AAED^AAEF；（3）AABE^AACD；©BE^DC^DE1.

其中正确的是.（填序号）

16.反比例函数y=的图像经过点（2,4）,则左的值等于.

17.将直线y=x沿y轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为,这两条直线间的距离为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4的打印

纸等，这些矩形的长与宽之比都为四：1,我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1）,在“完美矩形"A3。

中，点P为AB边上的定点，且AP=AD.求证：PD^AB.如图（2）,若在“完美矩形"A5CD的边BC上有一

动点E,当育的值是多少时，APDE的周长最小？如图（3）,点。是边AS上的定点，且BQ=BC.已知AD

=1,在（2）的条件下连接DE并延长交AB的延长线于点F,连接CF,G为CF的中点，M.N分别为线段QF

和CD上的动点，且始终保持QM=CN,MN与DF相交于点H,请问GH的长度是定值吗？若是，请求出它的

值，若不是，请说明理由.

ApB，_________1?32"P目_F

19.（5分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有

“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样.规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸

出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某

顾客刚好消费200元.

（1）该顾客至少可得到____元购物券，至多可得到_______元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率.

20.（8分）先化简，再求值：（［-a）+（1+^1±1）,其中a是不等式-、历<aV0的整数解.

a2a

3（x—1）..4x—5

(10分)计算：私―2sin60°+(—l)°+[g]

21.解不等式组，%-5，并写出它的所有整数解.

x-l>---

I3

22.（10分）“分组合作学习”已成为推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要措施.某中学从全校学生中随机抽取

部分学生对“分组合作学习，，实施后的学习兴趣情况进行调查分析，统计图如下：

请结合图中信息解答下列问题：求出随机抽取调查的学生人数；补全分组后学生学习兴趣的条形统计图；分组后学生

学习兴趣为“中”的所占的百分比和对应扇形的圆心角.

23.（12分）某初中学校组织400位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间，甲、乙两位同学分别调

查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表1和表2：

表1：甲调查九年级30位同学植树情况统计表（单位：棵）

每人植树情况78910

人数36156

频率0.10.20.50.2

表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表（单位：棵）

每人植树情况678910

人数363116

频率0.10.20.10.40.2

根据以上材料回答下列问题：

(1)表1中30位同学植树情况的中位数是棵；

(2)已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是,正确的数据应该是；

(3)指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本估计本次活动400位同学一共植树多少

棵？

24.(14分)如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=AD,NBAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.

(1)求证：四边形ABED是菱形；

(2)若NABC=60。，CE=2BE,试判断△CDE的形状，并说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、D

【解题分析】

解：连接OD

,.,ZAOD=60°,

/.ACD=30o.

VZCEB是4ACE的外角，

:.ACEB=ZACD+ZCAO=30°+45°=75°

故选:D

2、B

【解题分析】

题目中没有明确腰和底，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系分析即可.

【题目详解】

当5为腰时，三边长为5、5、10,而5+5=10,此时无法构成三角形；

当5为底时，三边长为5、10、10,此时可以构成三角形，它的周长=5+10+10=25

故选B.

3、A

【解题分析】

根据待定系数法即可求得.

【题目详解】

解：•.•正比例函数方区的图象经过点（1,-3）,

-3=k,BPk=-3,

...该正比例函数的解析式为：y=-3x.

故选A.

【题目点拨】

此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题.

4、C

【解题分析】

根据同底数幕的乘法法则对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据负整数指数幕的意义对C进行判断；根

据二次根式的加减法对D进行判断.

【题目详解】

解：A、原式=a3,所以A选项错误；

B、原式=a2b2,所以B选项错误；

C、原式=:,所以C选项正确；

D、原式=26，所以D选项错误.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根

式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.也考查了整式的运算.

5、D

【解题分析】

分析：

详解：如图，

VAB±CD,CE±AD,

•\Z1=Z2,

XVZ3=Z4,

A180°-Zl-Z4=180°-Z2-Z3,

即NA=NC.

VBF±AD,

/.ZCED=ZBFD=90o,

VAB=CD,

/.△ABF^ACDE,

/.AF=CE=a,ED=BF=b,

又；EF=c,

AD=a+b-c.

故选:D.

点睛:本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明AABFgZkCDE是关键.

6、B

【解题分析】

直接利用立方根的定义化简得出答案.

【题目详解】

因为（-1）3=-1,

V-i=■1•

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键.，

7、A

【解题分析】

求出三种方案混合糖果的单价，比较后即可得出结论.

【题目详解】

方案1混合糖果的单价为失处，

方案2混合糖果的单价为1至,

a+b

方案3混合糖果的单价为25—2.5。

2

'：a>b,

2a+2ba+b3a+2b

:.--------<------<--------

525

•••方案1最省钱.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了加权平均数，求出各方案混合糖果的单价是解题的关键.

8、A

【解题分析】

分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可.

'2%-"3①

详解：\x11台

一+一〉一②

〔326

由①得，烂1,

由②得，x>-l,

故此不等式组的解集为：

在数轴上表示为：

-----6--------------

-2-1012

故选A.

点睛：本题考查的是在数轴上表示一元一此不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,N向右画；

<,W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那

么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时股“，的”要用实心圆点表示；“V”，要用空心圆点

表示.

9、C

【解题分析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlOl其中lw|a|V10,n为整数，据此判断即可.

【题目详解】

32400000=3.24x107元.

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为axlOl其中iw|a|V10,确定a与n的值是解题的关键.

10、B

【解题分析】

根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y<0,由此即可判定②；观察图象可得，当x=l时，y

>0,由此即可判定③；观察图象可得，当x>2时，1•的值随、值的增大而增大，即可判定④.

【题目详解】

由抛物线的对称轴为x=2可得-《=2,即4a+b=0,①正确；

观察图象可得，当x=-3时，y<0,即9a-3b+c<0,所以a+c<36,②错误；

观察图象可得，当x=l时，y>0,即a+b+c>0,③正确；

观察图象可得，当x>2时，y的值随1•值的增大而增大，④错误.

综上，正确的结论有2个.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax?+bx+c（a邦），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，

当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物

线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2

个交点；A=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、50

【解题分析】

根据题意设铅直距离为X,则水平距离为石X，根据勾股定理求出X的值，即可得到结果.

【题目详解】

解：设铅直距离为X,则水平距离为氐，

根据题意得：x2+（V3x）2=1002,

解得：％=50（负值舍去），

则她实际上升了50米，

故答案为：50

【题目点拨】

本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离.

12、0.50

【解题分析】

直接使用科学计算器计算即可，结果需保留二位有效数字.

【题目详解】

用科学计算器计算得0.5,

故填0.50,

【题目点拨】

此题主要考查科学计算器的使用，注意结果保留二位有效数字.

_2002001

13、--^=2-

【解题分析】

直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可.

【题目详解】

解：设乙车的速度是X千米/小时，则根据题意，

2007

可列方程：

Vx+1521

200200

故答案为：—

x+15

【题目点拨】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键.

14、l<x<6

【解题分析】

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【题目详解】

3%-2>x①

<1

-x<3@

12

解不等式①，得x>l,

解不等式②，得烂1,

所以不等式组的解集是

故答案是：IVxgl.

【题目点拨】

考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不

到(无解).

15、①②④

【解题分析】

①根据旋转得到，对应角NCAD=NBAF,由NEAF=NBAF+NBAE=NCAD+NBAE即可判断

②由旋转得出AD=AF,NDAE=NEAF,及公共边即可证明

③在△ABEs△AC。中，只有AB=AC、N4BE=N4a>=45。两个条件，无法证明

④先由△ACD也Z\ABF,得出NACZ>=NA5F=45。，进而得出NEBF=90。，然后在RtABEF中，运用勾股定理得出

BEi+BFi=EF1等量代换后判定④正确

【题目详解】

由旋转，可知：ZCAD=ZBAF.

VZBAC=90o,ZDAE=45°,

:.ZCAD+ZBAE=45°,

/.ZBAF+ZBAE=ZEAF=45°,结论①正确；

②由旋转，可知：AO=A尸

AD=AF

在4AED和4AEF中，<ZDAE=ZEAF=45°

AE=AE

：.(SAS),结论②正确;

③在△ABEs△AC。中，只有A3=AC,、NA3E=NAC0=45。两个条件，

无法证出△ABEs△AC。，结论③错误；

④由旋转，可知：CD=BF,ZACD^ZABF^45°,

：.ZEBF=ZABE+ZABF=9Q°,

：.BFl+BEx^EFl.

'.'AAED^AAEF,

EF=DE,

又,：CD=BF,

/.BE^DC^DE1,结论④正确.

故答案为：①②④

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键

16、1

【解题分析】

k-2k-2

解：•.•点(2,4)在反比例函数y=——的图象上，,4=即仁1.故答案为1.

x2

点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.

17、y=x+l72

【解题分析】

已知直线y=x沿y轴向上平移1个单位长度，根据一次函数图象的平移规律即可求得平移后的解析式为y=x+l.再

利用等面积法求得这两条直线间的距离即可.

【题目详解】

•.•直线y=x沿y轴向上平移1个单位长度，

二所得直线的函数关系式为：y=x+l.

；.A(0,1),B(1,0),

，AB=10,

过点O作OFJ_AB于点F,

OAOB2x2

/.OF=V2,

AB2V2

即这两条直线间的距离为0.

故答案为y=x+l,y/2.

【题目点拨】

本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k#))的图象为直线，当直线平移时k不

变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析(2)(3)72

2

【解题分析】

(1)根据题中“完美矩形'’的定义设出AD与AB,根据AP=AD,利用勾股定理表示出PD,即可得证；

(2)如图，作点P关于BC的对称点P，，连接DP，交BC于点E,此时APDE的周长最小，设AD=PA=BC=a,表示

出AB与CD,由AB-AP表示出BP,由对称的性质得到BP=BP。由平行得比例，求出所求比值即可；

(3)GH=&,理由为：由(2)可知BF=BP=AB-AP,由等式的性质得到MF=DN,利用AAS得到△MFH丝△NDH,

利用全等三角形对应边相等得到FH=DH,再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即

可.

【题目详解】

(1)在图1中，设AD=BC=a,贝！I有AB=CD=&a,

•••四边形ABCD是矩形，

.•.NA=90°,

VPA=AD=BC=a,

•*-PD=[AD。+P解=&a，

；AB=&a,

，PD=AB；

(2)如图，作点P关于BC的对称点P，，

连接DP，交BC于点E,此时APDE的周长最小,

J'

设AD=PA=BC=a,贝!|有AB=CD=后a,

VBP=AB-PA,

/.BPr=BP=72a-a,

VBPr/7CD,

.BEBP_4ia-a

CECD\[2a2

(3)GH=Ji,理由为：

由⑵可知BF=BP=AB-AP,

VAP=AD,

ABF=AB-AD,

VBQ=BC,

/.AQ=AB-BQ=AB-BC,

VBC=AD,

.\AQ=AB-AD,

ABF=AQ,

:.QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB,

VAB=CD,

/.QF=CD,

VQM=CN,

.\QF-QM=CD-CN,即MF=DN,

VMF/7DN,

.\ZNFH=ZNDH,

在AMFH和ANDH中,

ZMFH=ZNDH

{ZMHF=ZNHD,

MF=DN

/.△MFH^ANDH(AAS),

/.FH=DH,

；G为CF的中点，

；.GH是ACFD的中位线，

11厂厂

/.GH=-CD=yxV2x2=V2•

【题目点拨】

此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位

线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.

19、解：(1)10,50；

（2）解法一（树状图）:

第一次0102030

XTv

第二次102030020300103001020

和102030103040203050304050

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果,

OO

因此P（不低于30元）=^=~；

解法二（列表法）：

欠

0102030

第二

0102030

10103040

20203050

30304050

（以下过程同“解法一”）

【解题分析】

试题分析：（1）由在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”元，“10”元，“20”元和“30”元的字样,

规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以再箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）.即可求得

答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与顾客所获得购物券的金额不低于30元的

情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

试题解析：（1）10,50；

⑵解法一（树状图）：

第一次木AAA

第二次102030020300103001020'

和102030103040203050304050

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果,

o2

因此P（不低于30元）=—=—；

123

解法二（列表法）：

0102030

0--102030

1010--3040

202030--50

30304050--

从上表可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果,

因此P（不低于30元）=—=—；

123

考点：列表法与树状图法.

【题目详解】

请在此输入详解！

2（1-a）

20、----1.

1+a

【解题分析】

«2.1

首先化简（:-a）+（1+幺/）,然后根据a是不等式-0VaV后的整数解，求出a的值，再把求出的a的值

代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可.

【题目详解】

"+11—2a=2(1—a)

解：(—_a)+(1+

a2aa(a+1)1+a

；a是不等式-J^<a<也的整数解，；.a=-l,1,1,

Va^l,a+l^l,Aa#,-1,.,.a=l,

当a=l时,

原式二笔/位

21、（1）7-5（1）0,1,1.

【解题分析】

（1）本题涉及零指数塞、负指数幕、特殊角的三角函数值，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实

数的运算法则求