2022-2023学年湖南省名校联盟高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年湖南省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B={x|y=14-x2}A．7 B．8 C．15 D．162．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，化简(eA．2 B．2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）已知α∈(π，3π2)，且sin(α-A．m1-m2 B．-m1-m4．（5分）已知向量a→、b→满足|a→+A．﹣2 B．2 C．32 D．5．（5分）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到A、B、C三个景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员．因工作需要，乙不能去A景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（）A．20 B．30 C．42 D．606．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，点P在直线l：x-y-22=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧AB及PA，PB所围成的平面图形的面积为A．2＜S＜3 B．1＜S≤2 C．1＜S≤3 D．0＜S＜17．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从{an}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}（则称数列{an}为一阶等差数列），或者{bn}仍旧不是等差数列，但从{bn}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}（则称数列{an}为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{an}：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则n=110logA．60 B．120 C．240 D．4808．（5分）若a=1.4-1，b＝sin0.2，c＝A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣2，an+1＝an+1，则（）A．a2023＝2020 B．数列{an}是递增数列 C．数列{Sn}中的最小项为S2 D．Sm、S2m、S3m（多选）10．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(1＜ω＜3)A．ω＝2 B．f（x）的最小正周期为π C．f（x）在区间[-5π12D．f(2023π)=（多选）11．（5分）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别是F1，F2，渐近线方程为3xA．双曲线的离心率为5 B．右焦点F2到渐近线的距离为6 C．过双曲线右焦点F2的直线l与C交于A，B两点，当|AB|＝30时，直线l有3条 D．若直线MF1与双曲线E的另一个交点为P，Q为MP的中点，O为原点，则直线OQ与直线PM的斜率之积为9（多选）12．（5分）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守．某乒乓球协会组织职工比赛，比赛规则采用五局三胜制，当参赛选手甲和乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级且比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负相互独立．假设甲在任一局赢球的概率为p（0≤p≤1），有选手晋级所需要比赛局数的期望值记为f（p），则（）A．打满五局的概率为C4B．f（p）的常数项为3 C．函数f（p）在(12D．f(三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）2023年3月，某市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，5，6，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的30%分位数是．14．（5分）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC，∠ABC＝60°，PA⊥PC．第二步：以AC为折痕将△PAC折起，得到三棱锥P﹣ABC，如图（二）．第三步：折成的二面角P﹣AC﹣B的大小为120°，则活动结束后计算得到三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．15．（5分）已知函数f（x）＝ax+e（a＞0），g（x）＝xex，若∀x2∈（﹣∞，1]，∃x1∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）=x3-4x，x≤0-lnx，x＞0，若F（x）＝f（f（x）﹣t）有5个零点，则实数四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=23，2asinCcosB=asinA-bsinB+32bsinC，△（1）求A；（2）以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，求r的取值范围．18．（12分）在①a1+a2已知数列{an}的前n项和为Sn，若_____n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当n∈[ak2，ak+12)，k∈N注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，三角形PBC为正三角形．点E为BC的中点，点F在线段DE上运动．（1）求证：BC⊥PF；（2）若二面角A﹣BC﹣P的大小为60°，当3FE→=DF→时，求证：直线PB20．（12分）某商场在“五一”期间开展有奖促销活动，规则如下：对一次性购买物品超过2000元的参与者，该商场现有以下两种方案可供选择：方案一：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，参与者随机摸出一个球，若是红球，则放回箱子中；若是白球，则不放回，再向箱子中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后箱子中红球的个数为X，则该参与者获得奖金X百元；方案二：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，参与者一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则该参与者获得奖金Y百元．（1）若用方案一，求X的分布列与数学期望；（2）若你是参与者，从期望的角度出发，你会选择哪种参考方案？请说明理由．21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点M（m，1）到焦点的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）过点（﹣1，0）的直线交抛物线C于A，B两点，点Q（0，﹣2），连接QA交抛物线C于另一点E，连接QB交抛物线C于另一点F，且△QAB与△QEF的面积之比为1：3，求直线AB的方程．22．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣x2+3（a∈R）．（1）若方程f（x）＝0有3个零点，求实数a的取值范围；（2）若φ（x）＝﹣x2+2x+4﹣f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：0＜a＜2ee

2022-2023学年湖南省名校联盟高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B={x|y=14-x2}A．7 B．8 C．15 D．16【解答】解：由题意可得，A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，B={x|y=1所以A∩B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B真子集的个数为7．故选：A．2．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，化简(eA．2 B．2i C．1+i D．1﹣i【解答】解：因为eπ又(e所以(e故选：C．3．（5分）已知α∈(π，3π2)，且sin(α-A．m1-m2 B．-m1-m【解答】解：因为α∈(π，3π所以α-π4∈(所以α-π4∈(因此tan(α-π故选：B．4．（5分）已知向量a→、b→满足|a→+A．﹣2 B．2 C．32 D．【解答】解：由|a→+整理得a→化简得2a→⋅所以2|a所以|a故选：D．5．（5分）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到A、B、C三个景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员．因工作需要，乙不能去A景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（）A．20 B．30 C．42 D．60【解答】解：4人分3组，每组至少1人，则必有1组2人，若丙丁1组，则先安排乙，则乙可以去B，C两个景点，则共有C2若丙丁一人和甲一组，则有C2若丙丁一人和乙一组，则有C2则共有4+8+8＝20种不同的安排方法．故选：A．6．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，点P在直线l：x-y-22=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧AB及PA，PB所围成的平面图形的面积为A．2＜S＜3 B．1＜S≤2 C．1＜S≤3 D．0＜S＜1【解答】解：圆O：x2+y2＝1的圆心O的坐标为（0，0），半径为1，如图所示：∵sin∠OPB=r|OP|=1|OP|，且y∴当|OP|最小时，∠OPB最大，即∠APB最大，此时OP垂直直线l，且|OP|=221从而四边形OAPB的面积为SOAPB设∠AOP＝θ，则∠AOB＝2θ，S扇形OAB从而劣弧AB及PA，PB所围成的平面图形的面积为S=3又∵sinθ=32，θ∈(0，π可得0＜S=3-θ=3故选：D．7．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从{an}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}（则称数列{an}为一阶等差数列），或者{bn}仍旧不是等差数列，但从{bn}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}（则称数列{an}为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{an}：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则n=110logA．60 B．120 C．240 D．480【解答】解：由题意，数列1，1，3，27，729，…为{an}，且为一阶等比数列，设bn-1=an其中b1＝1，b2＝3，公比为q=b2b则an=b所以log3a因为a1＝1，a2＝1，也适合上式，所以log所以n=1=1=1故选：B．8．（5分）若a=1.4-1，b＝sin0.2，c＝A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：构造函数g(x)=sinx-1+2x+1，可得g'(x)=cosx-11+2x，令g'(x)=cosx-11+2x=f(x)则f'(x)=1因为当x∈(0，14)时，y=1(1+2x)所以f'(x)=1所以f'(x)=1因为sin14＜所以g'(x)=cosx-1又g'(0)=cos0-11+0=0，从而g（x）在x∈(0，14)单调递增，所以所以g(0.2)=sin0.2-1+2×0.2+1＞0，从而得到b＞又因为c﹣b＝ln1.44﹣sin0.2＝2ln1.2﹣sin0.2，构造函数φ（x）＝2ln（1+x）﹣sinx，x∈(0，1所以φ'(x)=2x+1-cosx令φ'(x)=2x+1-cosx=m(x)因为当x∈(0，14)时，y＝sinx所以m'(x)=sinx-2所以m'(x)=sinx-2所以φ′（x）在x∈(0，14)所以φ（x）＝2ln（1+x）﹣sinx，x∈(0，14)单调递增，从而φ（x所以φ（0.2）＝2ln（1.2）﹣sin0.2＞0，所以c＞b，综上可得：c＞b＞a．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣2，an+1＝an+1，则（）A．a2023＝2020 B．数列{an}是递增数列 C．数列{Sn}中的最小项为S2 D．Sm、S2m、S3m【解答】解：因为an+1＝an+1，所以an+1﹣an＝1，所以数列{an}是公差为1的等差数列，因为a1＝﹣2，所以an＝﹣2+1×（n﹣1）＝n﹣3，所以a2023＝2023﹣3＝2020，故A正确；因为an+1﹣an＝1＞0，所以{an}是递增数列，故B正确；因为a1＝﹣2＜0，a2＝﹣1＜0，a3＝0，an+1﹣an＝1＞0，即n≥4时，an＞0，所以数列{Sn}中的最小项为S2或S3，故C错误；当m＝1时，S1＝﹣2，S2＝﹣3，S3＝﹣3，显然不是等差数列，故D错误．故选：AB．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(1＜ω＜3)A．ω＝2 B．f（x）的最小正周期为π C．f（x）在区间[-5π12D．f(2023π)=【解答】解：因为f(-5π12-x)=f(-5π12+x)，所以则-5π12ω+π3=π2+kπ，k又因为1＜ω＜3，所以ω＝2，故A正确；所以f(x)=sin(2x+π3)，所以T=令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k当k＝0时，[-5π12，π12所以f（x）在区间[-5π12，f(2023π)=sin(2×2023π+π3)=sin故选：ABD．（多选）11．（5分）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别是F1，F2，渐近线方程为3xA．双曲线的离心率为5 B．右焦点F2到渐近线的距离为6 C．过双曲线右焦点F2的直线l与C交于A，B两点，当|AB|＝30时，直线l有3条 D．若直线MF1与双曲线E的另一个交点为P，Q为MP的中点，O为原点，则直线OQ与直线PM的斜率之积为9【解答】解：由渐近线方程为3x±y＝0，可设双曲线E：x2∵点R(4，63)在双曲线E上，∴m＝4，可得双曲线E：故a=2，b=6，c=210，∴离心率为e=10，故由题可知右焦点为F2则点F2(210，0)到渐近线3x﹣y＝0的距离为若l⊥x轴，当x=210时，将其代入x24-y236∴直线l与右支不可能有两个交点；若l与x轴不垂直，与C的左，右支交于A，B两点，∵|AB|＝30＞2a＝4，∴存在两条直线分别交左右两支各一点．综上可得：满足条件的直线有2条，故C错误；设M（x1，y1），P（x2，y2），Q（x3，y3），则x3=x∵P，M在双曲线E上，∴x124-y①﹣②并整理得y1∵kMP=y1-y2x1-x故选：BD．（多选）12．（5分）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守．某乒乓球协会组织职工比赛，比赛规则采用五局三胜制，当参赛选手甲和乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级且比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负相互独立．假设甲在任一局赢球的概率为p（0≤p≤1），有选手晋级所需要比赛局数的期望值记为f（p），则（）A．打满五局的概率为C4B．f（p）的常数项为3 C．函数f（p）在(12D．f(【解答】解：设实际比赛局数为X，则X的可能取值为3，4，5，可得P（X＝3）＝p3+（1﹣p）3，P(X=4)=CP(X=5)=C因此打满五局的概率为C42p由f(p)=3[＝6p4﹣12p3+3p2+3p+3，常数项为3，故B正确；由f′（p）＝24p3﹣36p2+6p+3＝3（2p﹣1）（4p2﹣4p﹣1），因为0≤p≤1，所以4p2﹣4p﹣1＝（2p﹣1）2﹣2＜0，令f′（p）＞0，则0≤p＜12；令f′（p）＜0，则则函数f（p）在(12，1]又由f(12)=6×故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）2023年3月，某市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，5，6，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的30%分位数是6.5．【解答】解：依题意这10个数据从小到大排列为5、6、6、7、8、8、9、9、10、10，又10×30%＝3，所以这组数据的30%分位数是第3与第4个数的平均数6.5．故答案为：6.5．14．（5分）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC，∠ABC＝60°，PA⊥PC．第二步：以AC为折痕将△PAC折起，得到三棱锥P﹣ABC，如图（二）．第三步：折成的二面角P﹣AC﹣B的大小为120°，则活动结束后计算得到三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为529π【解答】解：由题意得第一步：∵AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，∴△ABC是边长为2的正三角形，第二步：可三棱锥P﹣ABC外接球的球心是过底面△ABC外心的平面ABC的垂线，与过△PAC外心的平面PAC的垂线的交点，如图所示：∵△ABC为正三角形，∴△ABC的外心O1为△ABC的中心，∵△PAC为以AC为斜边的直角三角形，∴△PAC的外心O2为AC的中点，三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，∵AB＝BC＝2，PA＝PC，∴PO2⊥AC，O1O2⊥AC，故∠PO2O1为二面角P﹣AC﹣B的一个平面角，∴∠PO2O1＝120°，∵△ABC为正三角形，∴O1又OO2⊥平面PAC，PO2⊂平面PAC，则OO2⊥PO2，即∠PO2O＝90°，∴∠OO2O1＝30°，∴cos∠OO∴OO设外接球的半径为R，则R2故外接球的表面积为4πR故答案为：52915．（5分）已知函数f（x）＝ax+e（a＞0），g（x）＝xex，若∀x2∈（﹣∞，1]，∃x1∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是[e+1e【解答】解：已知g（x）＝xex，函数定义域为（﹣∞，1]，可得g′（x）＝（x+1）ex，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当﹣1＜x≤1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以当x＝﹣1时，函数g（x）取得极小值也是最小值，最小值f（﹣1）=-1又g（1）＝e，且当x→﹣∞时，g（x）→0，已知f（x）＝ax+e（a＞0），函数定义域为[﹣1，2]，可得函数f（x）在定义域上单调递增，所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，f（﹣1）＝e﹣a，当x＝2时，函数f（x）取得极大值也是最大值，f（2）＝2a+e，若∀x2∈（﹣∞，1]，∃x1∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，所以e-a≤-1解得a≥e+1则实数a的取值范围为[e+1故答案为：[e+116．（5分）已知函数f（x）=x3-4x，x≤0-lnx，x＞0，若F（x）＝f（f（x）﹣t）有5个零点，则实数t的取值范围是【解答】解：由x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）＝0（x≤0），解得x＝0或x＝﹣2；由﹣lnx＝0（x＞0），解得x＝1，因为F（x）＝f（f（x）﹣t）＝0，所以f（x）﹣t＝0或f（x）﹣t＝1或f（x）﹣t＝﹣2，即f（x）＝t或f（x）＝t+1或f（x）＝t﹣2，因为F（x）＝f（f（x）﹣t）有5个零点，所以数f（x）的图象与三条直线y＝t，y＝t+1，y＝t﹣2共有5个交点，因为函数y＝﹣lnx的图象与三条直线y＝t，y＝t+1，y＝t﹣2共有3个交点，所以f（x）＝x3﹣4x（x≤0）的图象与三条直线共有2个交点，当x≤0时，f'(x)=3x所以x∈(-∞，-233)时，f′（x）＞0，x∈(-233，0)时，f′（x）＜0，所以x=-233时，f（x）取得极大值也是最大值f(-结合f（x）的图象，可知t＞1639解得163故答案为：(16四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=23，2asinCcosB=asinA-bsinB+32bsinC，△（1）求A；（2）以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，求r的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理可得2accosB=a由余弦定理得2ac⋅a所以c=3又因为b=23，所以c又△ABC的面积为92，所以1即12×23又因为0＜A＜π2，所以（2）由（1）及余弦定理可知a2即a2=21-63又若C为圆心，r为半径的圆与边AB相切，设切点为D，则sinA=CDAC，得所以要使以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，必须满足3＜r≤21-6所以r的取值范围为(3，21-618．（12分）在①a1+a2已知数列{an}的前n项和为Sn，若_____n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当n∈[ak2，ak+12)，k∈N注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：（1）选①：∵a1∴当n≥2时，a1两式相减得，an=2当n＝1时，a1＝2，满足上式，∴an选②：∵a1∴当n≥2时，a1两式相除得，an当n＝1时，a1＝2，满足上式，∴an（2）由（1）可知，n∈[2k﹣1，2k），k∈N*，而[2k﹣1，2k）上所有整数依次为2k﹣1，2k﹣1+1，2k﹣1+2，…，2k﹣1+（2k﹣1﹣1），它们构成首项为2k﹣1，公差为1的等差数列，且项数为2k﹣1，所以T＝2k﹣1+（2k﹣1+1）+（2k﹣1+2）+…+[2k﹣1+（2k﹣1﹣1）]=219．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，三角形PBC为正三角形．点E为BC的中点，点F在线段DE上运动．（1）求证：BC⊥PF；（2）若二面角A﹣BC﹣P的大小为60°，当3FE→=DF→时，求证：直线PB【解答】证明：（1）∵ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△BCD为等边三角形，又点E为BC中点，∴DE⊥BC．∵在正三角形PBC中，PE⊥BC，又DE∩PE＝E，DE，PE⊂平面DEP，∴BC⊥平面DEP，又PF⊂平面DEP，∴BC⊥PF；（2）∵PE⊥BC，DE⊥BC，∴∠DEP就是二面角A﹣BC﹣P的平面角，∴∠DEP＝60°，在△DEP中，PE=DE=3，∴△DEP为边长为3取DE中点O，则PO⊥DE，又由（1）可知，平面DEP⊥底面ABCD，平面DEP∩底面ABCD＝DE，PO⊂平面DEP，所以PO⊥底面ABCD．过点O作BC的平行线交AB于点G，则OG⊥DE，∴OG，OE，OP两两相互垂直，∴以OG→，OE→，OP→所在的方向分别为x，y∵在△POE中，OE=32，∴A(2，-32，0)，B(1，32，0)，又3FE→=∴AF→=(-2，334设n→=(x，y，z)为平面则-2x+334设直线PB与平面PAF所成角为θ，则sinθ=|cos〈n→，∴直线PB与平面PAF所成的角小于π620．（12分）某商场在“五一”期间开展有奖促销活动，规则如下：对一次性购买物品超过2000元的参与者，该商场现有以下两种方案可供选择：方案一：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，参与者随机摸出一个球，若是红球，则放回箱子中；若是白球，则不放回，再向箱子中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后箱子中红球的个数为X，则该参与者获得奖金X百元；方案二：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，参与者一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则该参与者获得奖金Y百元．（1）若用方案一，求X的分布列与数学期望；（2）若你是参与者，从期望的角度出发，你会选择哪种参考方案？请说明理由．【解答】解：（1）若选择方案一，由条件可知X可能的取值为3，4，5，6，P(X=3)=1P(X=4)=1P(X=5)=1P(X=6)=1∴X的分布列为：X3456(X)=3×1（2）对于方案二，由条件可得Y可能的取值为3，4，5，6，P(Y=3)=CP(Y=4)=CP(Y=5)=CP(Y=6)=C∴Y的期望值E(Y)=3×1∵E（Y）＞E（X），所以参与者选择方案二获得奖金数额的数学期望值会更高．所以作为参与者，应该选择方案二．21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点M（m，1）到焦点的距离为2．（1）求抛物线C的