2023届辽宁省高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“\/工>0,耳%+1)>(%-1)2”的否定为()

A.X/x>0,x(x+1)>(X-1)?B.X/x„0,x(x+1)>(x-1)2

C.3x>0,x(x+1)„(x-1)2D.0,x(x+1)>(x-1)2

1,x>0

2.已知符号函数sg”x=<0,x=0/(x)是定义在R上的减函数，g(x)—f(x)-f(ax)(a>l),贝!J()

-Lx〈0

A.sgra[g(x)]=sg”xB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn\f(x)]

22

3.已知双曲线二-二=1(。〉人〉0)的右焦点为E,过歹的直线/交双曲线的渐近线于4B两点,且直线/的倾斜

ab

角是渐近线。4倾斜角的2倍，若A方=2EB，则该双曲线的离心率为()

A.3屈B.2GcD.立

4352

"x-y+420,

4.若x,y满足约束条件卜-2<0,且z=ta+y的最大值为2a+6,则a的取值范围是()

x+y-220,

A.[-l,+oo)B.(-oo,-l]C.(-1,+<»)D.(-oo,-l)

(X-1)7T

sin-------]W%V3

5.已知函数/(x)=2，——，若函数/(%)的极大值点从小到大依次记为4;4?%，并记相应的极

2/(x-2),3<%<100

n

大值为伉也，?一么，则Z(4+2)的值为()

Z=1

A.25°+2449B.250+2549C.249+2449D.249+2549

6.如图在直角坐标系x，y中，过原点。作曲线y=f+l（x20）的切线，切点为尸，过点尸分别作x、y轴的垂线,

垂足分别为4、B,在矩形Q4PB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）

7.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:

根据该折线图可知，下列说法错误的是（）

A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高

B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低

C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益

D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

俯视图

A.273B.4石C.友D.迪

33

9.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验

中成功次数X的期望为（）

11

A.3B.2C.1D.2

10.已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且P（XV2）=P（X2a）,则。=（）

A.3B.5C.6D.7

22

11.已知双曲线c：二Y-多-v=i（a>o,6>o）的右焦点为r，若双曲线c的一条渐近线的倾斜角7为T且点尸到该渐近

ab3

线的距离为G，则双曲线c的实轴的长为

A.1B.2

述

C.4D.

12.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该

单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-l<0

13.变量尤，丁满足约束条件x+y+120,则目标函数z=-2x+y的最大值是——.

x-y+3>0

2]

14.已知%6均为正数，S.a+b=l,幺扫-1的最小值为.

2ab

15.已知函数/(x)=e21则过原点且与曲线y=/(x)相切的直线方程为.

16.在三棱锥P-A5C中，ABLBC,三角形PAC为等边三角形，二面角尸—AC—5的余弦值为-逅，当三棱

3

锥P-ABC的体积最大值为工时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设抛物线。：/=2/(夕>0)的焦点为厂，准线为/,A3为抛物线C过焦点E的弦，已知以为直

径的圆与/相切于点(—1,0).

(1)求夕的值及圆的方程；

(2)设M为/上任意一点，过点M作C的切线，切点为N,证明：MFLNF.

18.(12分)已知凸九边形A4&4的面积为1，边长4垢=4。=1，2,，〃-1),44=4,其内部一点P到边

A4+1=q(i=l,2,，〃-1)的距离分别为4，4，4，&.求证：

22

19.(12分)已知椭圆E：=+当=1(a>b>0)的左、右焦点分别为耳和工，右顶点为A，且|前|=3,短轴

a~b

长为2g.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若过点A作垂直x轴的直线/,点T为直线/上纵坐标不为零的任意一点，过工作的垂线交椭圆E于点?和

Q,当里=速时，求此时四边形7PGQ的面积.

\PQ\24

20.(12分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:

年份20102012201420162018

需求量(万吨)236246257276286

(1)由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份―2014”为横坐标x,“需求量-257”为

纵坐标V,请完成如下数据处理表格：

年份一20140

需求量一2570

(2)根据回归直线方程夕=%+6分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该

地区的粮食需求？

参考公式：对于一组数据(七,%),(%,%)，…，(%，%)，其回归直线9=良+&的斜率和截距的最小二乘估计分

_n___

Tj^-nxy__

别为：B=胃-------，a=y-bx.

£x；-nx

i=\

sin尤

21.(12分)已知函数/(%)=----，0＜X＜TI.

x

(1)求函数f(x)在X处的切线方程；

(2)当0＜相＜万时，证明：/(1)＜加1111+—对任意％6(0,万)恒成立.

x

22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程

%=2cosa

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为｛(a为参数).以直角坐标系原点O为极点，x轴的

y=sincu

正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为夕cos(9-?)=2近，点P为曲线C上的动点，求点P到直线1

距离的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

套用命题的否定形式即可.

【详解】

2

命题“VxeM,p(x)”的否定为“玉eM,-1P(x)”，所以命题“X/x>0,x(x+1)>(%-1)”的否定为

"Hr>0,x(x+1)<(x-1)?

故选：C

【点睛】

本题考查全称命题的否定，属于基础题.

2.A

【解析】

根据符号函数的解析式，结合/(x)的单调性分析即可得解.

【详解】

根据题意，g(x)=/(x)-f(ax),而/(x)是R上的减函数，

当x>0时，x<ax,则有/(x)>f(ax),则g(x)—f(x)-f(ax)>0,此时sg"[g(x)]=1,

当x=0时，x=ax,则有/(x)=/(ax),则g(x)=f(x)-f(ax)=0,此时sg”[g(x)]=0,

当x<0时，x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)—f(x)-f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=-1,

综合有：sgn[g(x)]=sgn(x)；

故选：A.

【点睛】

此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.

3.B

【解析】

2cihh

先求出直线/的方程为y=(x-c),与y=±—x联立，可得A,5的纵坐标，利用=求出。，方的

矿-ba

关系，即可求出该双曲线的离心率.

【详解】

r2y2b

双曲线A=1(«>&>0)的渐近线方程为y=±—x,

a一后a

•.•直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍,

.,_lab

.加厂炉，

二直线，的方程为产力(…)

blabclabc

与y=±—x联立，可得y—%—T或—7

a3a-ba+b

'・•AF=2FB，

labclabc

cr+b1-2,3a2-Z;2

:・a=\[3b,

'.c—2b,

a3

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题.

4.A

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断。的范围即可.

【详解】

作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z=ax+y的最大值为2a+6,所以z=ax+y在点4(2,6)处取得最大值,

则一aWL即a2—1.

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

5.C

【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,

而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点%的通项公式4=2〃，且相应极大值

bn=2"-',分组求和即得

【详解】

当时，f\x)=^cos

显然当x=2时有，尸(%)=0,

.•.经单调性分析知

尤=2为7Xx)的第一个极值点

又••,3<xW100时，/(x)=2/(x-2)

**•x=4,x=69%=8,…，均为其极值点

V函数不能在端点处取得极值

/.an=2n91<n<49,neZ

・••对应极值以=2〃"，1<n<499

之(q+Z)=(2+98)x49+lx(l-2*=249+

1=121-2

故选：C

【点睛】

本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列

和函数的熟悉程度高，为中档题

6.A

【解析】

y=kx(k>0)

设所求切线的方程为丫=依，联立?/，消去y得出关于x的方程，可得出A=o,求出左的值，进而求得

〔y=x+1

切点p的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设所求切线的方程为y="，贝！I左>0,

联立丫仕>°),消去y得尤2—京+1=0①，由A=左2—4=0,解得左=2,

〔y=x+1

方程①为2x+l=0,解得x=l,则点P(l,2),

所以，阴影部分区域的面积为5=j(x2+l-2x)4&=Qx3-x2+^|'=1,

V1

矩形Q4/有的面积为£=1义2=2,因此，所求概率为P=R=[.

故选：A.

【点睛】

本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

7.D

【解析】

用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.

【详解】

用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：

月份123456789101112

收益203020103030604030305030

所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；1-6月总收益140万元，7-12月总收益240

万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240-140=100万

元，所以D选项说法错误.故选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.

8.A

【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.

【详解】

由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：

FE

I-

M.….

DC

其中，底面为直角三角形，AD=2,AE=6,高为AB=2.

，该几何体的体积为V=LX2XG><2=28

2

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.

9.C

【解析】

21

p=­=一

每一次成功的概率为63,X服从二项分布，计算得到答案.

【详解】

p=—=~E㈤=­x3

每一次成功的概率为63,X服从二项分布，故3

故选：c

【点睛】

本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

10.C

【解析】

根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.

【详解】

〃=4,cr=3,

P(X<2)=P(X<4-2)=P(X>4+2)=P(X>6)=P(X>a),,-.a=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布则

P(X<jU-m)=P(^X>ju+m).

11.B

【解析】

双曲线C的渐近线方程为丫=±2苫，由题可知2=tan工=G.

aa3

设点尸(c,0),则点歹到直线>=氐的距离为=6,解得。=2,

所以，="+32=〃+3〃=4/=4,解得。=1,所以双曲线C的实轴的长为2。=2,故选B.

12.A

【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费

开支占总开支的百分比.

【详解】

250

水费开支占总开支的百分比为......-------x20%=6.25%.

250+450+100

故选：A

【点睛】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

13.5

【解析】

x+y+1=0x=-2

由＜可得＜

x-y+3=0C=1

可得A（—2,1）,

目标函数z=-2x+y变形为y=2x+z,

平移直线y=2x+z,

当直线y=2x+z经过A(-2,l)时，

可得z=-2x+y有最大值4+1=5，

故答案为5.

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变

形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

14.V2

【解析】

本题首先可以根据a+5=1将土里-1化简为9+2,然后根据基本不等式即可求出最小值.

2abb2a

【详解】

因为a+b=l,

所以小—1=片+("4—=

lab2abb2a\b2a

Z7b

当且仅当7=丁，即。=行一1、b=2—应时取等号，

b2a

故答案为：V2.

【点睛】

本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为a+6?2而(a0,^>0)，在使用基本不等式的时候要注意“=”

成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.

15.2ex-y=0

【解析】

设切点坐标为利用导数求出曲线y=/(x)在切点”,e")的切线方程，将原点代入切线方程，求出t的值，

于此可得出所求的切线方程.

【详解】

设切点坐标为Q/(x)=e2',.-./,(x)=2/\(⑺=2e”,

则曲线y=/(%)在点处的切线方程为y—e"=2e"(x—f),

由于该直线过原点，则—e2'=—2超”，得♦=

2

因此，则过原点且与曲线y=/(x)相切的直线方程为y=2ex,故答案为2ex-y=0.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：

(1)先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；

(2)将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；

(3)将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程.

16.8〃

【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角P-AC-B的平面角,再设出AB,BC的长,

即可求出三棱锥P-ABC的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P-A5C的体积最大值，从而得出各棱的长

度，最后根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系即可求出三棱锥P-A3C的外接球的表面积.

【详解】

如图所示:

过点P作PEL面ABC,垂足为E,过点E作DE±AC交AC于点。，连接PD.

则NPDE为二面角尸—AC—5的平面角的补角，即有COS/PDE=«5.

3

•.•易证AC,面ACLPD,而三角形P4C为等边三角形，二。为AC的中点.

设A8=a,8C=%AC=y]a1+b-=c-

：,PE=PDsinZPDE=-xcx^-=-.

232

故三棱锥P-ABC的体积为

2

丫7117c1c],ca(?

V=—x—abx—=——ab7c=——xab<——x--------=——

322121212224

当且仅当a=6=1c时，匕ax=4=工，即a=6=0，c=2.

2243

二B,D,E三点共线.

设三棱锥P-ABC的外接球的球心为。，半径为R.

过点。作，PE于尸,:.四边形ODEF为矩形.

则OD=EF=JR--1，DE=OF=PDcosNPDE=币x在=①,PE=1,

3

在RtP巳O中,尺2=2+(1—,“2—1)一,解得氏2=2.

三棱锥P—ABC的外接球的表面积为S=4〃R2=8%.

故答案为：8".

【点睛】

本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，意在考

查学生的直观想象能力，数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)2,(I?+/=4；(2)证明见解析.

【解析】

(1)由题意得/的方程为x=-孑，根据为抛物线。过焦点尸的弦，以为直径的圆与/相切于点(—L0)..利

用抛物线和圆的对称性，可得=圆心为b(1,0),半径为2.

(2)设/(—1,%)，"N的方程为y=M尤+1)+%，代入C的方程，得外2-4>+4(%+左)=0,根据直线与抛物线

122

相切，令A=16-16人(％+上)=0,得%+%=；,代入外2_分+4(%+k)=0,解得y=：.将y=：代入C的方程，

kkk

得x=J,得到点N的坐标为:然后求解F".FN.

【详解】

(1)解：由题意得/的方程为x=-

2

所以—4=—1,解得，=2.

又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为b(L0),半径为2.

所以圆的方程为(x—lf+y2=4.

（2）证明：易知直线跖V的斜率存在且不为0,

设M（—1,%），的方程为了=人（》+1）+%，代入。的方程,

得外2_4y+4(%+%)=0.

令八=16_16左（%+左）=0,得%+左=：,

k

所以由2一4尸4（%+3上芈以=0,解得y".

kk

将＞=:代入C的方程，得x=*，即点N的坐标为

所以式M=(-2,%)]N=

FM-FN=2-^+yQ

故MF工NF.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属

于中档题.

18.证明见解析

【解析】

由已知，易得d+a2d2卜a/*=2,所以

2a2al2a小

L幺+&+3+&++"利用柯西不等式和基本不等式即

—+—+…+—^=2=(aldi+a2d2++andn)才+才

“d2dn4d24,,2

可证明.

【详解】

因为凸〃边形的面积为1,所以+a2d2+…+a&=2,

所以一^二十…+—=2幺+毁+…+区

d

4d2dnM"2n)

=+a,d、++

d2d„

++历『,宗）2（由柯西不等式得）

=(4+%+,,,+〃”)

..(做几点—[)2(由均值不等式得)

【点睛】

本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.

19.(1)—+^-=1(2)生1

437

【解析】

a+c=3

(1)依题意可得卜=百，解方程组即可求出椭圆的方程；

a2=b2+c2

⑵设T(2,—m)(m/0),贝用国=而工，设直线PQ的方程为一“阳+1,联立直线与椭圆方程，消去x,设

P(%,yJ，。(孙％)，列出韦达定理，即可表示IPQI,再根据^^=当求出参数相，从而得出“.，最后

由点可到直线PQ的距离得到S.PQ=SAF[PQ，由S四边形7PGQ-SATPQ+SM阳=2SA侬即可得解;

【详解】

a+c=3a=2

解：（1）,：＜b=y[3...解得＜。=6,

a2=b2+c2C=1

22

•••椭圆E的方程为L+上=1.

43

（2）V4（2,0）,.•.可设T（2,-m）（m/0）,，|叫|=+1.V砧=—=-m,

.•.左p0=L,.•.设直线P。的方程为％=〃2、+1,

m

x=my+1

\x1y2_,/.（3m2+4）/+6my-9=0,显然/＞0恒成立.

----1-----1

143

设P（%j）,Q®,%），则%+%=弁，%%=藐匕,

二IPQI=J（芯-々），（％一丁2）2=J[，心1-%）丁+（%-%『

=J"+l)[(X+%)2-4让]=/(疗+1)『六)+高12(源+1

3m2+4

.四=3疗+4_3-+4_7点

"\PQ\12"+1)121△24，

，18根4—根2_]7=0,工解得冽2=1,解得加=±1,

•••1%=后,\PQ\=,，；.s.pQ=g义拒义,=弩

•..此时直线PQ的方程为x土y—l=O,4(—1,0),

...点《到直线PQ的距离为d==夜,

血

•e=q,e=9e=3

**Q四边形TP^Q一口ATPQ十^\FXPQ~乙口bTPQ~口

即此时四边形"EQ的面积为芋

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

20.(1)见解析；(2)能够满足.

【解析】

(1)根据表中数据，结合以“年份一2014”为横坐标X,“需求量—257”为纵坐标y的要求即可完成表格;

(2)根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断.

【详解】

(1)由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下:

年份一2014-4-2024

需求量一257-21-1101929

(2)由题意可知，变量y与x之间具有线性相关关系,

由(1)中表格可得，7=0，7=3.2,

-—4x(—21)+(—2)x(—11)+0x0+2x19+4x29—5x0x32260__

b=-----------(—4)2+(—2)2+02+22+45x02-----------=4=6.5一内-标=3.2.由上述计算结果可

知，所求回归直线方程为3=6.5%+3.2,

利用回归直线方程，可