2024湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测数学试卷及答案

武昌区2024届高三年级5月质量检测数学本试题共19题，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.z1iizz，则的虚部为（1.若复数满足）ii1212D.A.B.C.222nx2.已知二项式x展开式的二项式系数的和为64，则（）A.n5B.n82nx2nC.x展开式的常数项为20D.x的展开式中各项系数的和为1xRax,2,b3.已知x，向量，且ab，则ab在a上的投影向量为（）1,21A5B.5C.D.的前项和为，若（）anSnS3S981，则4.已知等差数列nA.288B.144C.96D.25fxxx，则关于的不等式的解集为（）xf2xf1x5.已知函数13131313,,,1A.B.C.D.6.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺π3Rhh，其中R是2的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V3球的半径，h是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取π3）第1页/共4页A.32000cm3B.33664cm3C.33792cm3D.35456cm37.已知抛物线C:y22pxp0的焦点为F，过F作直线交抛物线C,B于两点，过的面积分别为8和4，则MFN,B分别作准M,N线l的垂线，垂足分别为，若△和的面积为（）A.32B.16C.821D.8111a2e1,becsintan8.设20241012，则（）20242024A.bacB.cbaC.abcD.bca二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同$$$B.线性回归直线ybxa一定过样本点中心x,yC.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10.下列说法正确的是（A.若acbc2，则ab）baab2B.D.的最小值为2bm21bsinx1ab,mC.的最小值为2aamsinx12中，2是以,2m是的aa,a,,m2为首项，以为公差的等差数列，m1,m2,11.已知无穷数列10n1121*mmNn，对一切正整数，都有a=aa.设数列n以前为首项，以为公式的等比数列n2mn2nSn项和为，则（）第2页/共4页18A.当m3时，aB.当a2时，m8a20244m10mS31396成立2024m3C.当时，D.不存在，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.f1x的定义域为，则函数的定义域为f2x112.已知函数____________.____________.的部分图象如图所示，则fx2sin2x113.函数14的轨迹方程为，其中,，则Px,yx24y2x24y2m0m14.已知动点52x8y16的最小值为______________.4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2accosBbcosC015.在中，角（1）求B；,B,C的对边分别为a,b,c，已知.1（2）已知b3，求a2c最大值.216.如图，在四棱锥P中，平面PACABCDAD//BCABADCD2平面，，，BC4.（1）证明：；（2）若，求平面BPC与平面的夹角的余弦值.f(x)ax(a2)xx.217.已知函数第3页/共4页(1)讨论fx(2)若有两个零点，求的取值范围.fxa2y216上的动点，F0，M是线段EP上一点，且，设18.已知点P是圆E:x1点M的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程；3,B两点，且直线,（2）设不过原点的直线l与C交于的斜率的乘积为.平面上一点D满足4OAAD，连接BD交C于点（点在线段NNBD上且不与端点重合）试问△的面积是否为定.值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.19.利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将0.31化为分数是这样计算的：设0.31x，则310.3131.31100x，即31x100x，解得.99这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.12已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不33mm影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜ii3局.设甲P在净胜i局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为i.EXiX，期望为iP0①求甲获胜的概率；②求.EX0第4页/共4页武昌区2024届高三年级5月质量检测数学本试题共19题，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.z1iizz，则的虚部为（1.若复数满足）ii1212D.A.B.C.22【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.ii1i1i1i1i1i11zi，【详解】2221211则zi，则其虚部为，22故选：D.2nx2.已知二项式x展开式的二项式系数的和为64，则（）A.n5B.n82nx2xn20xC.x展开式的常数项为D.的展开式中各项系数的和为1【答案】D【解析】nx的指数为0求出k可判断D.x1即【详解】由题可知，2nn6.则AB64，则错误；6k2x26kx展开式中的第k1项为TCxk6(2Cx.kkk662kk1x62k0，得k3，则4323Cx6616036令，故C错误；第1页/共18页26126x1x令x1得1，则的展开式中各项系数的和为1，故选：D.3.已知xRax,2,b，向量，且ab，则ab在a上的投影向量为（）1,21A.5B.5C.D.【答案】C【解析】【分析】借助向量垂直可得x1，结合投影向量定义计算即可得解.【详解】由ab，则有ab2x20，即x1，abaa32aab2.则，故aaa12122222故选：C.的前项和为，若（）anSnS3S981，则4.已知等差数列nA.288B.144C.96D.25【答案】B【解析】n【分析】利用等差数列的前项和列方程组求出adS，进而即可求解.1232298Sad93ada1d23111，解得.【详解】由题意，即a4d91S9ad819121211S1212144.于是2故选：B.fxxx，则关于的不等式的解集为（）xf2xf1x5.已知函数13131313,,,1A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.第2页/共18页x,x02fxxx【详解】由fx在上单调递增，，故Rx,x021f2xf1x，有2x1x由x，即.3故选：A.6.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺π3Rhh，其中R是2的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V3球的半径，h是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取π3）A.32000cm3【答案】B【解析】B.33664cm3C.33792cm3D.35456cm3【分析】由勾股定理求出R，则可得h，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..32832cm，则Rh16cm，【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为22122R2，由圆柱的底面圆直径为24cm，则有Rh122R2，可得R20h4，则，即1624πV+球24122ππ20326044233345632000179233664.故选：B.7.已知抛物线C:y22pxp0的焦点为F，过F作直线交抛物线C,B于,B两点，过分别作准第3页/共18页的面积分别为8和4，则MFN的面积为（M,N线l的垂线，垂足分别为，若△和）A.32B.16C.82D.8【答案】C【解析】pAB:xmyS,△，相乘化简可得△【分析】设直线代入抛物线方程，利用韦达定理，计算2128m21182.，由三角形面积公式可得△MFN4p2m2ppAB:xmy【详解】设直线，2y22pyyp220，代入抛物线方程，消元可得212p222pyyA,y,B,y,yy2pm设，则，12121221121y122ppSy8，122211ypSy2y4，2222p2211yp214yySAFMSBFN2y21y22241244p421pp142pp4p2m22244p24p4m2，4128p42m1于是SSm218432，即，p44第4页/共18页pp128p4S1y2yy241y2p2m21p2821222故选：C.1111a2e1,becsintan8.设20241012，则（）20242024A.bac【答案】A【解析】B.cbaC.abcD.bca(0,)得该函数是大于0还是小于0，从而可判断a、b的大小关系；用同样的方法进一步构造函数并求导来比较a、c的大小关系，最终确定a、b、c的大小关系.h00，易求，hxe2x12e【详解】令xhx2e2x2e0时，x0hx，所以在(0,)单调递增，当12024120241所以hx＞h00h0e101212e202410，所以，即h，所以a.π6fx2e令x1sinxtanx,x，1πxf(x)2ex,x)则，2x6π62sinx令fx,xg(x)2esinx，gxx，则x3π13x)因为，则，2e0＜sin＜,x＜＜6221222sinx83＜2，则g(x211＜2＞0，可得3x333222πg(x＞g(0)0，g(x))在所以内单调递增，则6ππ即f(x0在)内恒成立，则f(x)在)内单调递增，66第5页/共18页1111f(＞f(0)0＞2e20241sintan＞c，所以，可得，即202420242024综上所述：bac故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理构造函数，利用导数研究其单调性，然后再代入比较相关大小关系.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同$$$B.线性回归直线ybxa一定过样本点中心x,yC.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好【答案】ABD【解析】【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；$$$$$一定过样本点中心x,yybxa，故正确；对B：由aybx，故线性回归直线Br对C：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D正确.故选：ABD.10.下列说法正确的是（A.若acbc2，则ab）baab2B.D.的最小值为2bm21bsinx1ab,mC.的最小值为2aamsinx12【答案】AD【解析】第6页/共18页【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.【详解】对于A，若ac2bc2，则ab，A正确;baabbab220对于B，或，因为不知道和的大小关系，B错误；ababmbamabmmbaaambab,m0对于C，若，则，而aamaam，但是与的大小不能确定，故C错误；mba0aam011sin2x12，当且仅当sin2x1sinx0取等号，对于D，，即D正sin2x1sinx12确.故选：AD中，是以是的aa,a,,a2为首项，以为公差的等差数列，a,a,,a11.已知无穷数列10n12mm1m22m121*a.设数列nmmNn，对一切正整数，都有a=a以前为首项，以为公式的等比数列n2mn2nSn项和为，则（）18A当m3时，aB.当a2时，m8a20244m10mS31396成立2024m3C.当时，D.不存在，使得【答案】ABD【解析】【分析】由等差等比数列的通项和数列为周期数列，当m3时，差数列中的项，求出项数n，根据数列为周期数列，周期为aa求值判断选项A；2和4是等62m，解出的值判断选项BC；若mm122fm1012mm，S2024m3313961012mm2303601012，设，有1m，由fm，，可得结论判断选项D.gm3036030360gm3036010122a10n122n12m,nNnm，*【详解】等差数列通项公式：，且，nnm1nm111mn2m等比数列通项公式：an，m,nN且*222n对一切正整数，都有a=a，∴数列为周期数列，周期为n2mn2m，第7页/共18页31218当m3时，126，A选项正确；a22n122n7，得，当时，由题意知，2是等差数列中的项，在等差数列中，令7223m7，n对一切正整数，都有an2m=a,k,mN*，则有n解得m8，B选项正确；a20244时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令42n124n4，得，当422024，n对一切正整数，都有an2m=a,k,mN*，则有nm41010k,mN*m5，方程有多组解，如等等，C选项错误；得m12121mm1S2024m31012S2m123101210m286，1212m12103610121012mm231396，若S2024m31m23036010121012mm2则有，11，函数图象抛物线对称轴fm1012mm令2mN*，2所以在m5fmf5f630360，或m6时取最大值fm1m2gm30360，令gm303601012，则1m1012mm2303601012所以2不可能成立，m即不存在，使得S31396，D选项正确.2024m3故选：ABD.【点睛】关键点点睛：数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式2mm第8页/共18页n2n12m1项到第2m项构成等比数列，通项公式为项构成等差数列，通项公式，第nm1n，而2和4是等差数列中的项.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.f1x的定义域为，则函数的定义域为____________.f2x112.已知函数【答案】2【解析】【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.f2x1【详解】由函数的定义域为2x11,3，，则有令11x3，解得2x2.故答案为：2.的部分图象如图所示，则fx2sin2x113.函数____________.π【答案】【解析】31【分析】令fx0sin2x，解出，根据图中零点得到方程解出即可.212fx2sin2x10【详解】令sin2x，则，π根据图象得x为函数零点，零点左右函数为上升趋势，4π4π22k,kZ则则，6ππ2π,kZk0，则，，因为，33π故答案为：.3第9页/共18页14的轨迹方程为，其中m,，则Px,yx24y2x24y2m014.已知动点52x8y16的最小值为______________.4855855【答案】【解析】##1m,x24y2t0，由，42ttm0，转化为【分析】令545x28y165y8y16t2，进行求解.2424y2t0，则x2t24y2且t2tm04264，【详解】令x55454则x28y165y28y16t25yt2455645t855842x,y，当且仅当取等号.5455855故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2accosBbcosC0，已知15.在中，角（1）求B；,B,C的对边分别为a,b,c.13，求a2c的最大值.（2）已知b2π【答案】（1）B；3（2）21.【解析】12B1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到B的大小；1a2csinA4sinC,C关系减少变量，最后利用三角恒等变换和（2）利用正弦定理得到，再根据2三角函数的值域即可得到最大值.第10页/共18页【小问1详解】∵2accosBbcosC0，由正弦定理得2sinAsinCBsinBC0，2cosBsinABsinCsinBcosC02BsinAsinBCBsinC，即，2BsinAsinBCsinA所以，12Aπ，∴sinA0B∵∵，∴，π0BπB，∴；3【小问2详解】acb332由正弦定理，得sinAsinCsinB，212π3a2csinA4sinCsinA4sinA∴2sinA23A2sinA3sinA23A21sinA，0A21sinA最大值为21，又∵，为锐角，∴31a2c∴的最大值为21.216.如图，在四棱锥P中，平面PACABCDAD//BCABADCD2平面，，，BC4.（1）证明：；（2）若，求平面BPC与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；5（2）.13【解析】第11页/共18页，得到，在结合面面垂1）取BC的中点，连接EAE，通过证明AEBEEC直、线面垂直的性质即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解.【小问1详解】如图，取BC中点E，连接AE，EC//AD,ECAD因为，所以四边形ADCE为平行四边形.因为AD，所以四边形ADCE为菱形，所以AEBEEC，即点A在以BC为直径的圆上，所以.PACABCDPACABCDAC，ABABCD平面，因为平面平面，平面平面所以平面因为平面，所以.【小问2详解】由（1）可知平面，PAPCAC中点为OPO.因为，取，连，所以因为AEEC，O为AC中点，所以，PACABCDPACABCDAC，PO平面，又因为平面平面，平面平面所以平面ABCDABCD，因为OE平面，POOE所以，所以OE,OC,OP两两互相垂直，以点O为原点，x为轴，为y轴，z的为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，B3,0,C3,0,D1,0,0,P0,3.CP3,3,BC2,23,0,3,0所以第12页/共18页设平面的法向量为，mx,y,z111CPm031310由取得，BCm02x23y011z11y3,x3m3,1，得，则，113y20n0xnx,y,z2设平面的法向量为，由得，222CPn03y3z022z12y3,x3n3,1取，得，则，22mn,n513135所以.mn13,n5设平面BPC与平面的夹角为，则.135所以，平面BPC与平面夹角的余弦值为.13f(x)ax(a2)xx.217.已知函数(1)讨论的单调性；fx(2)若有两个零点，求的取值范围.fxa【答案】(1)见解析；(2)【解析】aa0a1）将函数求导后，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当a0时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当a0时，利用函数于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围.的最小值小fxaa1ax12x1x01）f'x2axa2xx第13页/共18页若若a0，f'x0，fx在上单调递减；11axf'x0fx1a0，当时，，即在上单调递减，a1x,，即在f'x0fx,上单调递增.当时，aaa0，fx在上单调递减，（2）若至多一个零点，不符合题意.fx1a1fx的最小值为fa1a0若，由（1）可知，a111haa1，h'a2在上单调递增，0，所以ha令aaa又h0ha时，，至多一个零点，不符合题意，0afx，当当ha0a0,1时，1eaa2ee11ea又因为，结合单调性可知在fx有一个零点f10,e21x1gxxxg'x令x0,1gxxgx时，单1，，当时，单调递减，当xx调递增，的最小值为，所以xxg110gx3ax当时，afxax2a2xxaxfx2a2xxax2a3xxaxa303a结合单调性可知在,有一个零点a综上所述，若有两个零点，的范围是fx0,1a【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最值来解决.2y216上的动点，F0，M是线段EP上一点，且，设18.已知点P是圆E:x1点M的轨迹为C.第14页/共18页（1）求轨迹C的方程；34,B两点，且直线,（2）设不过原点的直线l与C交于的斜率的乘积为.平面上一点D满足OAAD，连接BD交C于点（点在线段NNBD上且不与端点重合）试问△的面积是否为定.值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.x2y21【答案】（1）43235（2）是，S【解析】1）借助椭圆定义计算即可得解；2xx4yy1（22Ax,y,Bx,y12121y22111122312S3，设BNN在曲线C上计算可得的值，即可得△的面积.计算可得BD，结合点【小问1详解】PMEP4EF2因为，所以点M的轨迹是以点E,F为焦点的椭圆，x22y221ab0，则2a4，即a2.设C:ab由c1知ba2c3，2x2y2所以点M的轨迹C【小问2详解】的方程为1；43设，则由OAAD，得D2x,2y11.Ax,y,Bx,y1122第15页/共18页214213xy11,B均在曲线C因为点上，所以，x224y223x2116x22y219y221x21y2222y211同向相乘得1221xyy1121y22121整理得：243121y122341x4yy123kk20又因为，所以，121Sxyxy233所以，，AOB1221221121x12y2NN设BNBD，则y22211x22y1yN在曲线C12又因为点整理得：上，所以1，4322224223xyxx4yy3xy121，421414112123x214y2131x4yyx224y2232120，1，又因为3代入上式得：4121，即20，222又因为0，所以=，52223所以SSS.555SNABSNABS【点睛】关键点点睛：本题关键点在于计算出后，利用面积公式得到，从而SSBN可通过计算的值得解.BD19.利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将0.31化为分数是这样计算的：设0.31x，则310.3131.31100x，即31x100x，解得.99这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有第16页/共18页很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不1233mm影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜ii3局.设甲P在净胜i局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为i.EXiX，期望为iP0①求甲获胜的概率；②求.EX02