上海市黄浦区市级2024届中考数学最后一模试卷含解析

上海市黄浦区市级名校2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.对于一组统计数据：1,6,2,3,3,下列说法错误的是（）

A.平均数是3B.中位数是3C.众数是3D.方差是2.5

2.如图，立体图形的俯视图是（）

D.1|

3.如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2,广告牌所占的面积是30m2

（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2,设矩形面积是xn?,三角形

面积是ym2,则根据题意，可列出二元一次方程组为（）

x+y—4=30x+y=26x+y—4=30

(x-4)-(y-4)=2、(x—4)—(y—4)=20一4)—(x—4)=2

x-y+4=30

x-y=2

33x

4.计算的结果为（）

333

CD

1-x-(i^-

5.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用

水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为（）

A.15mB.17mC.18mD.20m

6.下列运算正确的是()

A.-3a+a=-4aB.3X2»2X=6X2

C.4a2-5Ja2=a2D.(2x3)24-2X2=2X4

7.如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是（）

9.一、单选题

小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的

时间相等.设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）

120180120180120180120180

A.-------=——B.——=--------C.--------------D.-------=——

x+6xxx-6xx+6x-6x

10.如图，在口ABCD中，AB=2,BC=1.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P,交CD于点Q,再分

别以点P,Q为圆心，大于;PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是

()

11.已知A样本的数据如下：72,73,76,76,77,78,78,78,B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2,则A,

B两个样本的下列统计量对应相同的是（）

A.平均数B.标准差C.中位数D.众数

12.如图，半。。的半径为2,点尸是。。直径45延长线上的一点，尸7切。。于点7,M是。尸的中点，射线7M

与半。。交于点C.若/尸=20。，则图中阴影部分的面积为（）

71

A.1+-B.1+-

36

2兀2万

C.2sin200+——

9T

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分,共24分.)

13.在平面直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2.写出二个符合条件的点P的坐标

14.如图，A、B、C是。O上的三点，若NC=30。，OA=3,则弧AB的长为.（结果保留兀）

16.在数轴上，点A和点B分别表示数a和b,且在原点的两侧，若卜―4=2016,AO=2BO,贝！|a+b=

17.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,4=90°,AD^Scm,AB=6cm,BC=10cm,点。从点4出发以

lcm/s的速度向点。运动，点P从点3出发以2cm/s的速度向C点运动，P、。两点同时出发，其中一点到达终点

时另一点也停止运动.若DPwDQ,当/=_s时，ADPQ是等腰三角形.

A-D

18.在△ABC中，点D在边BC上，BD=2CD,AB=a>AC=b<那么AD=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,点D是AB上一点，以BD为直径的。。和AB相切于点P.

（1）求证：BP平分NABC；

20.（6分）如图，是。。的直径，点E是界上的一点，ZDBC=ZBED.

（1）请判断直线8C与。。的位置关系，并说明理由；

（2）已知AZ>=5,CD=4,求8c的长.

22.（8分）（操作发现）

（1）如图1,△ABC为等边三角形，先将三角板中的60。角与/ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋

转角大于0°且小于30。），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB

上取点E,使NDCE=30。，连接AF,EF.

①求NEAF的度数；

②DE与EF相等吗？请说明理由；

（类比探究）

（2）如图2,△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,先将三角板的90。角与NACB重合，再将三角板绕点C按顺

时针方向旋转（旋转角大于0。且小于45。），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点

F,使CF=CD,线段AB上取点E,使NDCE=45。，连接AF,EF.请直接写出探究结果：

①NEAF的度数；

②线段AE,ED,DB之间的数量关系.

c

23.（8分）已知关于x的一元二次方程V—（根—3）%-加=0.求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实根

为Xyf%29日.%+%2—/%2=7,求m的值.

24.(10分)(1)计算：也-4sin31°+(2115-7t)1-(-3)2

⑵先化简，再求值：1一六一得1'其中X、y满足…什⑵-y-3）M.

25.（10分）如图，NA=NB=30。

（1）尺规作图：过点C作CD±AC交AB于点D；

（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）

BC2=BD«AB.

26.（12分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高

度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角NHAC为118。时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后

一位：参考数据：sin28°=0.47,cos28°~0.88,tan28°~0.53)

27.（12分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问

题：

D

他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的

一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在AABC中，4。是边上的中线，若AD=BD=CD,

求证：440=90°.如图②，已知矩形ABC。，如果在矩形外存在一点E,使得AELCE,求证：BELDE.（可

以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果AAED恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边A6

与的数量关系.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得.

【题目详解】

解：A、平均数为1+6+2+3+3=3,正确；

5

B、重新排列为1、2、3、3、6,则中位数为3,正确；

C、众数为3,正确；

D、方差为少[（1-3）2+（6-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（3-3）2]=2.8,错误；

5

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了众数、平均数、中位数、方差.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大（或

从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.

2、C

【解题分析】

试题分析：立体图形的俯视图是C.故选C.

考点：简单组合体的三视图.

3,A

【解题分析】

根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积-阴影面积=30；②(矩形面积-阴影面积)一(三角形面积-阴影

面积)=4,据此列出方程组.

【题目详解】

依题意得：

x+y-4=30

(x-4)-(y-4)=2'

故选A.

【题目点拨】

考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语,

找出等量关系，列出方程组.

4、A

【解题分析】

根据分式的运算法则即可

【题目详解】

3(1-x)3

解:原式=

(x-1)21-x

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查分式的运算。

5、C

【解题分析】

连结OA,如图所示：

VCD1AB,

1

，AD=BD=-AB=12m.

2

在RtAOAD中，OA=13,OD=7132-122=5,

所以CD=OC+OD=13+5=18m.

故选C.

6、D

【解题分析】

根据合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法逐项计算，结合排除法即可得出答案.

【题目详解】

A.-3a+a=-2a,故不正确；

B.3x2*2x^6x3,故不正确；

C.4a2-5a2=-a2,故不正确；

D.(lx3)2-?2X2=4X6V2X2=2X4,故正确；

故选D.

【题目点拨】

本题考查了合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.

7、A

【解题分析】

观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.

【题目详解】

左视图有2列，每列小正方形数目分别为2,1.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

8、D

【解题分析】

原式分解因式，判断即可.

【题目详解】

原式=2(x2-2x+l)—2(x-1)2o

故选：D.

【题目点拨】

考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

9,C

【解题分析】

解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间

和小张打180个字所用的时间相等,

一=,»加180

可列方3程得1一20

xx+6

故选C.

【题目点拨】

本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大.

10、B

【解题分析】

分析：只要证明BE=BC即可解决问题；

详解：；由题意可知CF是/BCD的平分线,

/.ZBCE=ZDCE.

V四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

/.ZDCE=ZE,ZBCE=ZAEC,

.\BE=BC=1,

；AB=2,

.\AE=BE-AB=1,

故选B.

点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键.

11、B

【解题分析】

试题分析：根据样本A,B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论：

设样本A中的数据为Xi,则样本B中的数据为yi=Xi+2,

则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2,只有标准差没有发生变化.

故选B.

考点：统计量的选择.

12、A

【解题分析】

连接OT、OC,可求得NCOM=30。，作CHLAP,垂足为H,则CH=L于是，STO=SAAOC+S«®OCB,代入可得结论.

【题目详解】

连接OT、OC,

T

；PT切。O于点T,

:.ZOTP=90°,

,:NP=20。，

.\ZPOT=70°,

；M是OP的中点，

/.TM=OM=PM,

ZMTO=ZPOT=70°,

VOT=OC,

:.NMTO=/OCT=70°,

ZOCT=180o-2x70°=40°,

.•.ZCOM=30°,

作CH_LAP,垂足为H,贝！）CH=LOC=1,

2

130〃x2?n

S阴影=SAAOC+S扇形OCB=—OA*CH+------------=1+—t

23603

故选A.

【题目点拨】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接

圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边

的关系.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1）,（—2,—1）（写出一个即可）

【解题分析】

【分析】根据点到X轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值，进行求解即可.

【题目详解】设p(X,y),

根据题意，得

|x|=2,|y|=l,

即x=±2,y=±l,

则点P的坐标有(2,1),(2,-1),(-2,1),(2,-1),

故答案为：(2,1),(2,-1),(-2,1),(2,-1)(写出一个即可).

【题目点拨】本题考查了点的坐标和点到坐标轴的距离之间的关系.熟知点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点

到y轴的距离即点的横坐标的绝对值是解题的关键.

14、71

【解题分析】

；NC=30°,

，NAOB=60°,

TTX，八,

.,6037171

••IAB=1QN=•即AB的长为•

AB180

15、-1

【解题分析】

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.

【题目详解】

方程两边都乘(x-1),得

x-1(x-1)=-m

•••原方程增根为x=l,

.•.把X=1代入整式方程，得m=-l,

故答案为：-1.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得

相关字母的值.

16、-672或672

【解题分析】

|ii|=2016,a-b=±2016,

VAO=2BO,A和点B分别在原点的两侧

a=-2b.

当a-b=2016时,.*.-2b-b=2016,

解得：b=-672.

.■=-2x(-672)=1342,

，a+b=1344+G672)=672.同理可得当a-b=-2016时，a+b=-672,/.a+b=±672,

故答案为：-672或672.

灯8T7

34

【解题分析】

根据题意，用时间t表示出DQ和PC,然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，①当。尸=。尸时，画出对应的图形,

可知点P在。。的垂直平分线上，QE=；OQ,AE=BP,列出方程即可求出t；②当时，过点。作QEL3C

于E,根据勾股定理求出PQ,然后列出方程即可求出t.

【题目详解】

解：由运动知，AQ=t,BP=2t,

AD=8,BC=10,

/.DQ=AD—AQ=(8—t)(cm),PC=BC—BP=(10—2z)(cm),

ADP。是等腰三角形，且。。片。尸，

①当。尸=。尸时，过点P作PELAD于点E

，点P在OQ的垂直平分线上，QE=；OQ,AE=BP

AQ+^DQ=BP,

tH—(8-%)=21

2f

.,8

..t——

39

②当DQ=PQ时，如图，过点Q作QE，3c于E，

A-＞。D

AD//BC,4=90°,

:.ZA=ZB=90°,

四边形ABEQ是矩形，

/.EQ=AB=6,BE=AQ=t,

PE=BP—BE=t9

22

在RtAPEQ中，PQ=y/PE^EQ=7^+36,

DQ=8-t

…+36=8-A，

t——7,

4

点。在边BC上，不和c重合，

.-.o„2/<10,

.\0„t<5,

此种情况符合题意，

Q7

即/=或―S时，ADPQ是等腰三角形.

34

o7

故答案为：;或一.

【题目点拨】

此题考查的是等腰三角形的定义和动点问题，掌握等腰三角形的定义和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.

12,

18、一uH—b

33

【解题分析】

首先利用平行四边形法则，求得的值，再由BD=2CD,求得5。的值，即可求得AD的值.

【题目详解】

AB=a>AC=b，

•*,BC=AC-AB=b-a，

•.•BD=2CD,

22

•*-BD=~BC=-(b-a),

212,

AD=AB+BD=a+-(b-a)=-a+—b.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明见解析；(2)BC=41-

【解题分析】

试题分析：(1)连接OP,首先证明OP〃BC,推出NOPB=NPBC,由OP=OB,推出NOPB=NOBP,由此推出

ZPBC=ZOBP；

(2)作PHJ_AB于H.首先证明PC=PH=1,在RtAAPH中，求出AH,由△APHs/\ABC,求出AB、BH,由

RtAPBC^RtAPBH,推出BC=BH即可解决问题.

试题解析：

(1)连接0P,

•••AC是。。的切线，

/.OPLAC,

：.NAPO=NAC3=90。，

J.OP//BC,

：.NOPB=NPBC,

'：OP=OB,

：.NOPB=NOBP,

：.ZPBC=ZOBP,

.•.3尸平分/ABC；

(2)作尸于H.则NAHP=N8HP=NAC3=90。，

又,：NPBC=NOBP,PB=PB,

:APBC妾APBH,

：.PC=PH=1,BC=BH,

在RtAAPH中，AgApi-PH?=20，

在RtZkACB中，ACa+B^AB2

/.(AP+PQ2+BC2=(AH+HB)2,

即毕+BC=(2母+BC)2,

解得BC=yf2-

20、(1)BC与。。相切；理由见解析；

(2)BC=6

【解题分析】

试题分析：(1)8€：与0。相切；由已知可得NBAD=NBED又由NDBC=NBED可得NBAD=NDBC,由AB为直径

可得NADB=90。，从而可得NCBO=90。，继而可得BC与。O相切

(2)由AB为直径可得NADB=90。，从而可得NBDC=90。，由BC与。。相切，可得NCBO=90。，从而可得

ZBDC=ZCBO,可得zL48C〜4BDC,所以得等=真得BC?=CD-AC>由CD=4,4D=5可得AC=9,从而可得BC=6

(BC="-6"舍去)

试题解析：(1)BC与相切；

••,勒—鼎，.*.ZBAD=ZBED，VZDBC=ZBED,NBAD=NDBC，；AB为直径，.，.NADB=90。，

.,.ZBAD+ZABD=90°,/.ZDBC+ZABD=90°,/.ZCBO=90°,.•.点B在。O上，，BC与。。相切

(2)；AB为直径，；.NADB=90。，AZBDC=90°,1•BC与。O相切，/.ZCBO=90°,AZBDC=ZCBO,

BCACi/

:MABC〜4BDC，；・五=薮，：・BC?0=CD*AC，CD=4,AD=5,AAC=9,：.BC2=4x9=36fABC=6(BC=H-6n

舍去)

考点：L切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.勾股定理.

1

21、x=—,x=-2

2

【解题分析】

方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.

【题目详解】

3_x

2x+21-x9

则2x(x+1)=3(1-x),

2X2+5X-3=0,

(2x-1)(x+3)=0,

解得：Xl=—,X2=-3,

2

检验：当x=—，x=-2时，2(x+1)(1-x)均不等于0,

2

故*=^,x=-2都是原方程的解.

2

【题目点拨】

本题考查解分式方程的能力.(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；(2)解分

式方程一定注意要验根；(3)去分母时要注意符号的变化.

22>(1)①110°②DE=EF；(1)①90°②AE1+DBi=DEi

【解题分析】

试题分析：(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,ZBAC=ZB^60°,求出NACF=NBCD,证明AAC尸且△3C。，

得出NCA尸=N5=60°,求出NEA尸=N3AC+NCA歹=110。；

②证出/。。£=/尸。6由SAS证明△DCE^/XFCE,得出DE=EF即可；

(1)①由等腰直角三角形的性质得出AC=5C,ZBAC=ZB=45°,证出NAC尸=N5CZ),由SAS证明△ACFgZ^BCD,

得出NC4尸=N5=45°,AF=DB,求出NEAF=NR4C+NCAF=90°；

②证出NOCE=NJFCE,由SAS证明AOCE丝△尸CE,得出OE=EF；在RtAAE尸中，由勾股定理得出44+4歹1=6尸1,

即可得出结论.

试题解析：解：(1)①；△ABC是等边三角形，：.AC=BC,ZBAC=ZB=60°.,：ZDCF=60°,：.ZACF=ZBCD.

在△AC尸和△3C£)中，:AC=BC,NACF=NBCD,CF=CD,.♦.△AC尸乌△5CZ>(SAS),：.ZCAF=ZB^6Q0,

：.ZEAF=ZBAC+ZCAF=1M°；

②DE=EF.理由如下：

,/ZDCF=6Q°,ZDCE=30°,：.ZFCE=60°-30°=30°,/.ZDCE=ZFCE.在AOCE和ZkFCE中，VCD=CF,

ZDCE=ZFCE,CE=CE,：./\DCE^AFCE(SAS),：.DE=EF；

(1)①；△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,：.AC=BC,ZBAC=ZB=45°.VZ£)CF=90°,：.ZACF=ZBCD.在

△AC尸和△3C。中，'：AC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,：./\ACF^/\BCD(SAS),:.NCAF=NB=45°,AF^DB,

：.ZEAF=ZBAC+ZCAF=90°；

@AEx+DBl=DEl,理由如下：

VZDCF=90°,ZDCE=45°,：.ZFCE=90°-45°=45°,/.ZDCE=ZFCE.在AZ)CE和AFCE中，'：CD=CF,

ZDCE=ZFCE,CE=CE,J.ADCE^AFCE(SAS),：.DE=EF.在RtAAE尸中，AE^AF^EF1,又；AF=DB,

.,.AE^DB^DE1.

23、(1)证明见解析(1)1或1

【解题分析】

试题分析：(1)要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；

(1)根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值.

试题解析：(1)证明：f—(租―3)x—%=0,-(,«-3)I1-4xlx(-m')=m1-lm+9=(m-1)1+8>0,

.•.方程有两个不相等的实数根；

2

(1)Vx-(m-3)x-m=0,方程的两实根为占，x2,且x；+工2?-芯％2=7，,七+%=根-3,xrx2=-m,

(玉+龙2)——3%g2=7,:.(/n-3)1-3x(-m)=7,解得，m\=\,im=l,即胆的值是1或1.

V1

24、(1)-7；⑵—一

x+y3

【解题分析】

(1)原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数基法则计算，最

后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；

(2)原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，利用非

负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值.

【题目详解】

⑴原-式=3-4x—1+1-9=-7；

2

.%一>(x+2y)2.x+2yx+y-x-2yy

(2)原式=1-------~~-=1--^—=-------------=----;

x+2y(x+y)(x-y)兀+y%+y%+y

V|x-2|+(2x-y-3)2=l,

[x-2=0

[2x-y=3

解得：x=2,y=l,

当x=2,y=l时，原式=-g.

y

故答案为(1)-7；(2)-

x3"

【题目点拨】

本题考查了实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握实数的运算、非负数的性质与分

式的化简求值的运用.

25、见解析

【解题分析】

(1)利用过直线上一点作直线的垂线确定D点即可得；

(2)根据圆周角定理，由NACD=90。，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到/DCB=NA=30。，推出

△CDB-AACB,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【题目详解】

(1)如图所示，CD即为所求；

(2)VCD1AC,

ZACD=90°

；NA=NB=30。，

:.ZACB