2024届上海市长宁区9校中考数学考前最后一卷含解析

2024届上海市长宁区9校中考数学考前最后一卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图所示，若将△ABO绕点O顺时针旋转180。后得到△A1BQ,则A点的对应点Ai点的坐标是（）

A.(3,-2)B.(3,2)C.(2,3)D.(2,-3)

2.据国家统计局2018年1月18日公布,2017年我国GDP总量为827122亿元,首次登上80万亿元的门槛,数据827122

亿元用科学记数法表示为()

A.8.27122X1012B.8.27122xl013C.0.827122xl014D.8.27122xl014

3.小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开•若不考虑接缝，它是一个半径为12cm,圆心角为60的扇形,

则（）

A.圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cm

B.圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cm

C.圆锥形冰淇淋纸套的高为2J荻m

D.圆锥形冰淇淋纸套的高为6月cm

4.如图，在已知的AABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于^BC的长为半径作弧，两弧相交

2

于点M、N；②作直线MN交AB于点D,连接CD,则下列结论正确的是（）

C.CD+AC=ABD.AD+AC=AB

5.在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）

［榆入---［取杷反x2卜，+4”林出」

6.李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序

是（）

已知：如图，在ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC±,且DE//BC,DF//AC,

求证：ADEsDBF.

证明：①又DF//AC,②*DE//BC,③.•./A=4DF,④.•./ADE=/B,.-..ADE-.DBF.

A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①

7.如图，在AABC中，EF〃BC,AB=3AE,若SKWBCFE=16,则SAABC=()

A.16B.18C.20D.24

8.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）

A.9人B.10AC.11AD.12A

9.对于实数x,我们规定［x］表示不大于x的最大整数，如［4］=4,［百］=1,［-2.5］=-3.现对82进行如下操作:

93

82第i次]=9——朝一＞[j]=3——朝一＞[国]=1,这样对82只需进行3次操作后变为1,

类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（)

A.1B.2C.3D.4

10.--的绝对值是()

2

11

A.--B.一C.-2D.2

22

11.下列运算正确的是()

A.-(a-1)=-a-1B.(2a3)2=4a6C.(a-b)2=a2-b2D.a3+a2=2a5

12.如图，把AABC剪成三部分，边AB,BC,AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN〃AB,则

点O是4ABC的（）

A.夕卜心B.内心C.三条中线的交点D.三条高的交点

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，。0的直径CD垂直于AB,ZAOC=48°,贝!!NBDC=

14.已知x=2是一元二次方程X?-2mx+4=0的一个解，则m的值为

15.已知a、b是方程x2-2x-l=0的两个根，贝！Ja2-a+b的值是

16.如图，在正六边形A5CDEF中，AC于尸5相交于点G,则一值为

GC

17.一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸

出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是.

18.若一个多边形的内角和是900。，则这个多边形是边形.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题：出租车

的起步价是多少元？当x>3时，求y关于x的函数关系式；若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘

车的里程.

20.（6分）在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的测

量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部

A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你

认为这种测量方法是否可行？请说明理由.

BCD

21.（6分）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑

开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0

分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米.

（1）求x的取值范围；

（2）若NCPN=60。，求x的值;

（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y,求y关于x的关系式（结果保留兀）.

图①图②

22.（8分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生

进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是度；

⑵根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有人；

⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训,

请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率

23.(8分)如图，在AABC中，AB=AC,ZABC=72°.

(1)用直尺和圆规作/ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)中作出NABC的平分线BD后，求/BDC的度数.

24.(10分)如图，直线y=-x+2与反比例函数y(k^O)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点，过点A作

AC，x轴于点C,过点B作BD，x轴于点D.

(1)求a,b的值及反比例函数的解析式；

(2)若点P在直线y=-x+2上，且SAACP=SABDP,请求出此时点P的坐标；

(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得AMAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说

明理由.

25.(10分)(1)问题发现：

如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC

与AB的位置关系为；

(2)深入探究：

如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使

ZABC=ZAMN,AM=MN,连接CN,试探究NABC与NACN的数量关系，并说明理由；

(3)拓展延伸：

如图③，在正方形ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF,点N为正

26.(12分)为了丰富校园文化，促进学生全面发展.我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”

活动.今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A,B,C,D,E五个等级，该校部分学生

参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题.

(1)求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；

(2)求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数；

(3)已知A等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，请你用列表

法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率.

27.(12分)如图，抛物线丫=2。-1)2+4与*轴交于点4，B,与」轴交于点C,过点C作CD〃x轴，交抛物线的

对称轴于点D,连结BD,已知点A坐标为(-1,0).

求该抛物线的解析式；求梯形COBD的面积.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

由题意可知，点A与点Ai关于原点成中心对称，根据图象确定点A的坐标，即可求得点Ai的坐标.

【题目详解】

由题意可知，点A与点Ai关于原点成中心对称，

•.•点A的坐标是（-3,2）,

点A关于点O的对称点A，点的坐标是（3,-2）.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征，熟知中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征是

解决问题的关键.

2、B

【解题分析】

由科学记数法的定义可得答案.

【题目详解】

解：827122亿即82712200000000,用科学记数法表示为8.27122xl0131

故选B.

【题目点拨】

科学记数法表示数的标准形式为ax10"（1W时＜10且n为整数）.

3、C

【解题分析】

根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高.

【题目详解】

解：半径为12cm,圆心角为60的扇形弧长是：里黑2=4兀(cm),

180

设圆锥的底面半径是rem,

贝！I2OT=4TI，

解得：r=2.

即这个圆锥形冰淇淋纸套的底面半径是2cm.

圆锥形冰淇淋纸套的高为7122-22=2735(cm).

故选：C.

【题目点拨】

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算•解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长•正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

4、B

【解题分析】

作弧后可知MN_LCB,且CD=DB.

【题目详解】

由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MNLCB,且CD=DB,贝!ICD+AD=AB.

【题目点拨】

了解中垂线的作图规则是解题的关键.

5、D

【解题分析】

先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可.

【题目详解】

由题意知，函数关系为一次函数y=-lx+4,由k=-l<0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4,

当y=0时，x=l.

故选D.

【题目点拨】

本题考查学生对计算程序及函数性质的理解.根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=-lx+4,

然后根据一次函数的图象的性质求解.

6,B

【解题分析】

根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；

【题目详解】

证明：②-.DE//BC,

④.•./ADE=/B,

①又DF//AC,

③.•.NA=/BDF,

ADEsDBF.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似.

7、B

【解题分析】

【分析】由EF〃BC,可证明△AEFsaABC,利用相似三角形的性质即可求出SAABC的值.

【题目详解】•；EF〃BC,

.'.△AEF^AABC,

VAB=3AE,

AAE：AB=1：3,

SAAEF：SAABC=1：9,

设SAAEF=X,

,•"S四边形BCFK=16,

.X_1

••16+「5'

解得：x=2,

••SAABC=18,

故选B.

【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.

8、C

【解题分析】

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

【题目详解】

设参加酒会的人数为x人，依题可得：

—x(x-1)=55,

2

化简得：x2-x-110=0,

解得：Xl=ll,X2=-10(舍去),

故答案为C.

【题目点拨】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

9、C

【解题分析】

分析：区表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可.

121113

详解：121第1次［一］=11第2冽=3第3次［7］=1

11VI1V3

.•.对121只需进行3次操作后变为1.

故选C.

点睛：本题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解.

10、B

【解题分析】

根据求绝对值的法则，直接计算即可解答.

【题目详解】

故选:B.

【题目点拨】

本题主要考查求绝对值的法则，掌握负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键.

11、B

【解题分析】

根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【题目详解】

解：A、因为-(a-1)=-a+1,故本选项错误；

B、(-2a3)2=4a6,正确；

C、因为(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项错误；

D、因为a3与a?不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键.

12、B

【解题分析】

利用平行线间的距离相等，可知点。到BC、AC.A6的距离相等，然后可作出判断.

【题目详解】

解：如图1,过点。作ODLBC于。，OELAC于E,于尸.

MN//AB,

:.OD=OE=OF(夹在平行线间的距离相等).

如图2：过点。作OD'LBC于。'，作于E,作OEUAC于尸.

由题意可知：OD=OD',OE=OE',OF=OF,

.,•OD'=OE'=OF',

二图2中的点。是三角形三个内角的平分线的交点，

二点。是AABC的内心，

故选B.

【题目点拨】

本题考查平行线间的距离，角平分线定理，三角形的内心，解题的关键是判断出OD=OE=N.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、20

【解题分析】

VOO的直径CD垂直于AB,

.—'

••BC=AO

•,.ZBOC=ZAOC=40°,

:.ZBDC=-ZAOC=-x40°=20°

22

14、1.

【解题分析】

试题分析：直接把X=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可.

试题解析：,•・x=l是一元二次方程x1-lmx+4=0的一个解，

.e.4-4m+4=0,

/.m=l.

考点：一元二次方程的解.

15、1

【解题分析】

根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出aZ2a=l、a+b=2,将其代入a^a+b中即可求出结论.

【题目详解】

；a、b是方程x2-2x-l=0的两个根，

a2-2a=l,a+b=2,

a2-a+b=a2-2a+(a+b)=1+2=1.

故答案为1.

【题目点拨】

hr

本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于・一、两根之积等于一是解题的关键.

aa

1

16、一.

2

【解题分析】

由正六边形的性质得出AB=BC=AF,NABC=NBAF=120。，由等腰三角形的性质得出NABF=NBAC=NBCA=30。，

证出AG=BG,ZCBG=90°,由含30。角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG,即可得出答案.

【题目详解】

,/六边形ABCDEF是正六边形，

：.AB^BC^AF,ZABC^120°,

，ZABF=ZBAC=ZBCA=30°,

：.AG^BG,NC5G=90。，

：.CG=2BG=2AG,

.AG_1

••;

GC2

故答案为：—.

2

【题目点拨】

本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30。角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和

含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

4

17、-

9

【解题分析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即

可求出答案.

【题目详解】

画树状图得：

第一加蓝红红

：AAA

第二次蓝红红瞌红红蓝红红

•••共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的由4种情况,

4

,两次摸出的球都是红球的概率是一，

9

4

故答案为§.

【题目点拨】

本题主要考查了求随机事件概率的方法，解本题的要点在于根据题意画出树状图，从而求出答案.

18、七

【解题分析】

根据多边形的内角和公式(〃-2卜180。，列式求解即可.

【题目详解】

设这个多边形是“边形，根据题意得，

(〃-2).180。=900。,

解得77=7.

故答案为7.

【题目点拨】

本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(l)y=2x+2(2)这位乘客乘车的里程是15km

【解题分析】

(1)根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当x>3时，y与x的函数关系式为y=kx+b(k/)),运用待定

系数法就可以求出结论；

(2)将y=32代入(1)的解析式就可以求出x的值.

【题目详解】

(1)由图象得：

出租车的起步价是8元；

设当x>3时,y与x的函数关系式为尸fcr+%(际0),由函数图象，得

,8=3k+b

[12=5左+b'

故y与x的函数关系式为：y=2x+2；

(2)*/32元>8元，

当y=32时,

32=2x+2,

x=15

答：这位乘客乘车的里程是

20、这种测量方法可行，旗杆的高为21.1米.

【解题分析】

分析：根据已知得出过F作FGJ_AB于G,交CE于H,利用相似三角形的判定得出AAGFsaEHF,再利用相似三

角形的性质得出即可.

详解：这种测量方法可行.

理由如下：

设旗杆高AB=X.过F作FGLAB于G,交CE于H(如图).

A

\E

G!1•……¥

BCD

所以△AGF^AEHF.

因为FD=L1,GF=27+3=30,HF=3,

所以EH=3.1-1.1=2,AG=x-1.1.

由小AGF^AEHF,

得生=包，

EHHF

x—1.530

即------=—,

23

所以x-1.1=20,

解得x=21.1(米)

答：旗杆的高为21.1米.

点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△AGFs/\EHF是解题关键.

9

21、(1)0<x<10；(1)x=6；(3)y=必4547tx.

4

【解题分析】

(1)根据题意，得AC=CN+PN,进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；

(1)根据等边三角形的判定和性质即可求解；

(3)连接MN、EF,分别交AC于B、H.此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边

的比相等，求得圆的半径即可.

【题目详解】

(1)；BC=1分米，AC=CN+PN=U分米，

,\AB=AC-BC=10分米，

••.X的取值范围是：0SX40;

(1)；CN=PN,NCPN=60°,

••.△PCN是等边三角形，

：.CP=6分米，

，AP=AC-PC=6分米，

即当NCPN=60。时，x=6；

(3)连接MN、EF,分别交AC于B、H,

VPM=PN=CM=CN,

:.四边形PNCM是菱形，

MN与PC互相垂直平分，AC是NECF的平分线,

在R3MBP中，PM=6分米，

AMB^PM1-PB3-(6--x)i=6x--x1.

24

VCE=CF,AC是NECF的平分线，

；.EH=HF,EF±AC,

VZECH=ZMCB,ZEHC=ZMBC=90°,

/.△CMB^ACEH,

.MBCM

/.-----=------,

EHCE

・•.*9)2,

EH218

.*.EH1=9«MB1=9»(6x--x1),

4

y=7r*EH1=97t(6x-

9

即y=7+54m

【题目点拨】

此题主要考查了相似三角形的应用以及菱形的性质和二次函数的应用，难点是第(3)问，熟练运用菱形的性质、相似

三角形的性质和二次函数的实际应用.

2

22、(1)72；(2)700；(3)

3

【解题分析】试题分析：（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用

360度乘以体育类人数所占比例即可得；（2）用样本估计总体的思想解决问题；（3）根据题意先画出树状图，得出所

有情况数，再根据概率公式即可得出答案.

试题解析：

（1）调查的学生总数为60+30%=200（人），

则体育类人数为200-（30+60+70）=40,

补全条形图如下：

“体育”对应扇形的圆心角是360虫——=72°；

200

70

（2）估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有：2000x—=700（人），

200

（3）将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2,树状图如图所示:

QO

所以P（2名学生来自不同班）

123

考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；用样本估计总体.

23、（1）作图见解析（2）ZBDC=72°

【解题分析】

解：（1）作图如下：

E

D

G

--------

(2)•.•在AABC中，AB=AC,ZABC=72°,

ZA=180°-2ZABC=180°-144°=36°.

；AD是NABC的平分线，/.ZABD=-ZABC=-x72°=36°.

22

VZBDC是4ABD的外角，:.NBDC=NA+NABD=36°+36°=72°.

(I)根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出NABC的平分线：

①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于」EF为半径画圆，两圆相较于点G,连接BG交AC于点D.

2

(2)先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出NA的度数，再由角平分线的性质得出

ZABD的度数，再根据三角形外角的性质得出NBDC的度数即可.

3

24、(1)y=-一；(2)P(0,2)或(一3,5)；(3)M(-1+^23，0)或(3+病，0).

x

【解题分析】

(1)利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a,b,最后用待定系数法求出反比例函数解析式;

(2)设出点P坐标，用三角形的面积公式求出SAACP=；X3X|II+1|,SABDP=yXlx|3-n|,进而建立方程求解即可得

出结论；

(3)设出点M坐标，表示出MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+l,AB2=32,再三种情况建立方程求解即可得

出结论.

【题目详解】

k

(1)•・•直线y=-x+2与反比例函数y=—(后0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点，・・.-a+2=3,-3+2

x

=b,

；・a=-Lb=-1,

/.A(-1,3),B(3,-1),

k

•・•点A(-1,3)在反比例函数y=—上，

x

3

•••反比例函数解析式为y=—―；

x

(2)设点P(n,—n+2),

VA(-1,3),

AC(-1,0),

VB(3,-1),

•*.D(3,0),

1111

•.SAACP=-ACx|xp—XA|=-x3x|n+l|,SABDP=-BDX|XB-xp|=-xlx|3—n|,

2222

■:SAACP=SABDP,

11

~x3x|n+l|=—xlx|3-n|,

.,.n=0或n=-3,

AP(0,2)或(-3,5)；

(3)设M(m,0)(m>0),

VA(-1,3),B(3,-1),

/.MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+l,AB2=(3+1)2+(-1-3)2=32,

VAMAB是等腰三角形，

①当MA=MB时，

(m+1)2+9=(m-3)2+1,

.,.m=0,(舍)

②当MA=AB时，

A(m+1)2+9=32,

.,.m=-l+75^或(舍)，

AM(-1+V23,0)

③当MB=AB时，(m-3)2+1=32,

；.m=3+庖或m=3-庖(舍)，

AM(3+用，0)

即：满足条件的M(-1+V23-0)或(3+同，0).

【题目点拨】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问

题是解本题的关键.

25、(1)NC〃AB；理由见解析；(2)ZABC=ZACN；理由见解析；(3)2aT；

【解题分析】

(1)根据AABC,AAMN为等边三角形，得至!]AB=AC,AM=AN且/BAC=NMAN=60。从而得到

ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM,即NBAM=NCAN,证明△BAMg/\CAN,即可得到BM=CN.

(2)根据△ABC,AAMN为等腰三角形，得至UAB：BC=1：1且NABC=NAMN,根据相似三角形的性质得到

——=——，利用等腰三角形的性质得到NBAC=NMAN,根据相似三角形的性质即可得到结论；

AMAN

(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到NABC=NBAC=45。，NMAN=45。，根据相似三角形的性质得出

也=丝，得至!JBM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案.

CNAC

【题目详解】

(1)NC〃AB,理由如下：

,/AABC与4MN是等边三角形，

/.AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN,=60°,

/.ZBAM=ZCAN,

在小ABM与AACN中，

AB=AC

<ZBAM=ZCAN,

AM=AN

.,.△ABM丝△ACN(SAS),

:.ZB=ZACN=60°,

,.•ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60°+ZCAN=180°,

.,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60°+ZCAN=ZBAN+ZANC=180°,

ACN/ZAB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下:

ABAM

—=------=1且nNABC=NAMN,

BCMN

/.△ABC-AAMN

•AB-AC

"AMAN'

VAB=BC,

/.ZBAC=-(180°-ZABC),

2

；AM=MN

AZMAN=-(180°-ZAMN),

2

VZABC=ZAMN,

:.ZBAC=ZMAN,

/.ZBAM=ZCAN,

/.△ABM-AACN,

/.ZABC=ZACN；

(3)如图3,连接AB,AN,

•••四边形ADBC,AMEF为正方形，

.,.ZABC=ZBAC=45°,ZMAN=45°,

/.ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC

即/BAM=/CAN,

•.•理=州=0

BCAN

•AB_AC

"AMAN"

.「△ABM〜AACN

.BMAB

"'~CN~~AC'

,CNACVI

=-----